第一章小结本章主要研究群的有关问题:定义性质、子群及不变子群、三类重要的群——变换群、置换群、循环群、同态与同构,主要内容有：一、 基本概念 单位元、逆元、元素的阶、子群在群中的指数 .二、 主要结论1.群的基本性质: 1）—-5)，定理12.2;2元素阶的性质:定理1.23-——1.243．子群的判别条件（重点) 为群 的非空子集 则 为 的子群的充分必要条件是: （1） 任给 ， 有 ,任给 ， 有 2)任给 , 有 .（3）任给 , 有 （只适合有限子集)子群的性质:子群的交集仍是子群4．陪集、商群性质 设 是 的子群, 则 (1)aH=Ha=H当且仅当 a∈H （2)当且仅当 ， ； （3） 当且仅当 ， ； （4） 的任何两个左(右）陪集或者完全相同, 或者无公共元素. 因此 可以表示成一些不相交的左（右）陪集之并 （5）（拉格朗日定理） 有限群 的任一子群 的阶数是群 的阶数的因子且|G|=|H|[G:H］（6）有限群 的任一元素a 的阶都是群 的阶数的因子.即|a｜||G|(7)设 为有限群. ， 则对任意的 , .5 正规(不变）子群的判别条件N是群 的子群，则N是G的不变子群的充要条件是（1） 任意的 ， 都有 aN=Na（2）， ; (3）, ， 。
6. 变换群、置换群、循环群的结论（1） 一个集合A的所有一一变换作成一个变换群2）（凯莱定理) 任一群都同构于一个变换群 推论:任一个有限群都同构于一个置换群3） 个元素的全体置换关于置换的乘法构成群.（4) 每一置换可唯一表为若干个不相交轮换（循环置换）的乘积(5) 每一循环置换都可以表为若干个对换的乘积.(6) 每一置换都可表为若干个对换的乘积 （7)设 为群， , 则|a|=|a—1｜（8)设 为群, ，ΙaΙ=n且 , 则 .（9）设 为群， , 如果 ｜a｜=n，则 ｜ar｜=n/d （d=（r,n））（10） 设 为 阶循环群， . 则 为 的生成元的充分必要条件是（11） 循环群必是交换群.（12）循环群的子群必是循环群（13）设 为循环群， 且G=（a）则 如果 ， 则 ； 如果 , 则 7 同态、同构性质(1) 设G是一个群， 是一个非空集合，若G与对于它们的乘法来说同态,则也是一个群(2) 定理18.2 设 与是群， 是 到的同态映满射 1） 如果 是 的单位元, 则 是的单位元； 2) 对于任意的 ， 是 在中的逆元。
即 (3） 定理18.3-——-—满射、单射的条件 (4) 定理1.8.4—-同态映射保子群、正规子群. （5） 定理15---——-同态基本定理三、 基本方法与题型1、 群的判别-——-定义法2、 子群的判别方法(四种方法）：定义法； 定理1；定理2；定理3（有限）；3、 正规子群的判别方法（四种方法）：定义法； 定理1）—3）;4、 求有限群的子群方法：（重点掌握循环群的子群求法）1）确定子群的可能阶数； 2）按阶数确定可能的子集;3）判断哪个是子群5、 求正规子群方法:1）求子群； 2）判别哪些子群是正规子群（交换群的子群都是正规子群）6、 求陪集:定义法7、 求商群方法：按定义8、 计算置换的乘积、逆、阶-——-定义方法9、 把置换表成不相连的循环置换的乘积或对换的乘积10、 求元素的阶:1)定义方法 2）有关性质11、判别循环群方法：定义法12、同态、同构映射的判断:定义方法13、群同态、同构的证明：构造同态或同构映射14. 单、满、双射的判断-——-定义法15等价关系的判断 ——-—定义法，传递性文中如有不足，请您指教！ / 。