第四章 海洋中的声传播理论水声传播常用的方法：波动理论（简正波方法）——研究声信号的振幅和相位在声场中的变化；射线理论（射线声学）——研究声场中声强随射线束的变化，它是近似处理方法，且适用于高频，但它能有效、清晰地解决海洋中地声场问题4.1 波动方程和定解条件1、波动方程当介质声学特性是空间坐标的函数，则可得小振幅波的运动方程、连续性方程和状态方程： 状态方程可写为：由状态方程和连续性方程可得：利用运动方程从上式中消去可得注意：当介质密度是空间坐标的函数时，波动方程的形式和密度均匀介质中波动方程的形式不同引入新的从变量：，则可得对于简谐波，，则上式可写为：式中，注意：不是声场势函数，也不是波数在海水中，与声速相比密度变化很小，可将其视为常数，则，于是 如果介质中有外力作用，例如有声源情况，则有在密度等于常数时，有 上述赫姆霍茨方程是变系数的偏微分方程——泛定方程2、定解条件满足物理问题的具体条件——定解条件一）边界条件物理量在介质边界上必须满足的条件1）绝对软边界绝对软边界条件：声压为零界面方程表示为，——不平整海面也称为第一类齐次边界条件如果已知边界面上的压力分布，则，称为第一类非齐次边界条件。
2）绝对硬边界绝对硬边界条件：法向质点振速为零——平整硬质海底界面方程为表示，则硬边界条件为：——不平整硬质海底也称为第二类齐次边界条件如果已知边界面上质点振速分布，则，称为第二类非齐次边界条件3）混合边界条件混合边界条件：压力和振速线性组合——阻抗型海底若为常数，则称为第三类边界条件若，则称阻抗边界条件：注意：负号的含义4）边界上密度或声速的有限间断边界上压力连续和法向质点振速连续：——液态海底或同一种介质内部密度或声速发生突变² 若压力不连续，质量加速度区域无穷的不合理现象² 若法向振速不连续，边界上介质“真空”或“聚集”的不合理现象注意：上述边界条件质限制波动方程一般解（通解）在边界上的取值二）辐射条件无穷远处没有声源存在时，其声场应具有扩散波的性质——辐射条件1）平面波情况平面波的辐射条件：（2）柱面波和球面波情况柱面波声辐射条件：球面波声辐射条件：——也称为索末菲尔德（Sommerfeld）条件注意：加减号取决于时间因子三）奇性条件对于声源辐射的球面波，在声源处存在奇异点，即，，它不满足波动方程；如果引入狄拉克函数，它满足非齐次波动方程狄拉克函数的定义=========================================================证明上述非其次波动方程正确性：对于简谐球面波，有对上式进行体积积分，有利用高斯定理：，则有上式左端第二项积分为零，可证明左端与右端的值相等。
结论：非齐次方程包含奇性定结条件四）初始条件当求远离初始时刻的稳态解，可不考虑初始条件4.2 波动声学基础1、硬底均匀浅海声场如图所示波导模型，上层为均匀水层，其厚度为H，声速为；下层为硬质均匀海底；海面和海底均平整点声源位于处一）简正波由于问题的圆柱对称性，则水层中声场满足以下波动方程：根据三维狄拉克函数定义可以，在圆柱对称情况下，求得：令，则可得令，经分离变量求得，本征函数的通解为：式中，为本征值，它是波数的垂直分量根据边界条件：² 自由海面：² 硬质海底：求得：，根据的正交归一化条件，可求得：，于是同理可得的解为：式中，为零阶第二类汉克尔函数；波数的水平分量声场中的声压：对于远离点源，，根据汉克尔函数的近似表达式：第n阶简正波为：每阶简正波沿深度z方向作驻波分布、沿水平r方向传播的波；不同阶数的简正波其驻波的分布形式不同注意：级数求和的数目与传播的频率和层中参数有关二）截止频率由简正波水平波数表达式可得，其阶数最大取值为：当简正波阶数时，为虚数，简正波的振幅随r作指数衰减，但衰减很快，只有在r接近零时，才对解有贡献因此，在远场，声场可以表示成有限项和：临界频率：最高阶简正波的传播频率 注意：声源激发频率时，波导中不存在第N阶及以上各阶简正波的传播。
截止频率：简正波在波导中无衰减传播的最低临界频率 声源频率时，所有各阶简正波均随距离按指数衰减，远场声压接近零注意：对于绝对硬界面的平面波导，零阶简正波的截止频率为零，任何频率的声波均能在波导中传播；若声波频率小于一阶简正波的截止频率，则波导中只有均匀平面波一种行波三）相速和群速相速：等相位面的传播速度注意：浅海波导属于频散介质群速度：简正波的群速小于相速随增加而减小；随增加而增加和满足：简正波相速和群速的区别：简正波可写成：简正波在z方向上是由两个波迭加而形成的驻波两平面波与z轴夹角等于： 相速：虚斜线沿r方向的传播速度群速：波形包络的传播速度注意：波导为频散介质，导致脉冲波形传播畸变四）传播损失前面讨论的简正波表达式也用于情况，假设单位距离处声压振幅为1，则在远距离处的传播损失：当和均为实数时，上式等于：式中，第二项的大小依赖于各阶简正波相位之间的相关程度，随距离作起伏变化；而第一项与之无关，随距离单调增加注意：声强随距离增加作起伏下降，呈现干涉曲线当声传播条件充分不均匀，简正波之间相位无关，则对于硬质海底的浅海声场的传播损失：注意：简正波相位无规假设下的声传播损失假设声源远离海面和海底，和在0和1之间随机取值，对深度取平均，有，则如果波导中简正波个数较多，则 则有因此，传播损失为：讨论：（1） 声波掠射角的变化式中，为临界掠射角。
² 硬质海底，² 非绝对硬海底，，掠射角声波受到海底全反射，声波净海底反射很快衰减它的传播损失大于硬质海底的TL值2） 声源位置的变化² 声源位于海面附近，TL变大² 声源位于海底附近，TL变小注意：主要是取值概率变化，使其平均值不等于1/2；靠近海面，小于1/2，靠近海底，大于1/22、液态海底均匀浅海声场如图所示波导模型，又称Pekeris模型（分层介质模型）液态海底没有切变波，其声速通常大于海水声速，但对于高饱和海底沉积层会出现相反情况一）简正波同硬质海底情况一样，可以求得液态海底均匀浅海声场底简正波为；式中，，若海底为硬质海底，有，，则在液态下半空间（）中，振幅沿深度按指数规律衰减，频率越高，振幅衰减越快高频声波在界面发生全反射时，能量几乎全被反射会水层中，波的能量几乎被限制在层内传播二）截止频率简正波临界频率：声源激发频率时，波导中可产生第n阶及以上各阶简正波该波导的截止频率：注意：根据临界频率，可以反演海底介质的声速若海底为硬质海底，有，则三）传播损失海底的全内反射临界掠射角，有，则传播损失近似公式为：对于某阶简正波，在层内声压振幅沿z作正弦分布；在底层，声压振幅随深度指数分布。
4.3 射线声学基础射线声学：把声波的传播看作是一束无数条垂直等相位面的射线的传播声线：与等相位面垂直的射线声线途经的距离代表波传播的距离；声线经历的时间为波传播的时间；声线束所携带的能量为波传播的声能量射线声学不代表波动方程的精确解，它是代表在一定条件限制下波动方程的近似解沿任意方向传播的平面波可以写为：式中，为波矢量，其大小，其方向为波的传播方向；为观察点位置矢量矢量方向可以用它的方向余弦表示： ² 均匀介质平面波：声线相互平行，互不相交，声波振幅处处相等² 均匀介质球面波：声线由点源沿外径方向放射的声线束，互不相交，等相位面（波阵面）为同心球面，声波振幅随距离衰减² 非均匀球面波：声线方向因位置变化而变化，声线束由点源向外放射的曲线束组成，等相位面（波阵面）不再是同心球面1、射线声学的基本方程波动方程：式中，声速假设其形式解为：式中，为声压振幅；，为参考点声速，为折射率；为相位值程函：为长度量纲，故称程函的面为等相位面；梯度代表声线的方向，它处处与等相位垂直将形式解代入波动方程：实部和虚部均等于零，则当，则有射线声学的两个基本方程：² 程函方程：² 强度方程：（一）程函方程（1）程函方程的其他形式程函方程：不仅给出声线方向，而且可以导出声线的轨迹和传播时间。
假设声线方向为，其单位矢量，其方向就是方向，则由程函方程可得：则可以求得： （1）由上述两式可得声线的方向余弦： （2）如图所示，声线的方向余弦等于：、、而同理可导出下列方程组： 写成矢量方程形式： （3）程函方程的其它表示形式：式（1）（2）（3）2）应用举例² 声速为常数由式（3）可得：、、，、、为声线的起始出射方向角结论：声速为常数时，声线为直线² 声速由式（3）可得： 由式可得：假设起始值，，则比值沿声线各处永远不变，即称为折射定律或Snell——射线声学的基本定律由式可得： 则讨论：² 正声速梯度：，则，所以，声线向上弯曲² 负声速梯度：，则，所以，声线向下弯曲结论：声线总是弯向声速小的方向求解程函的显示：讨论xoz平面问题，假设、，令程函，则有： 根据Snell定律有：是声线方向角的起始值根据Snell定律有，则有：则程函为：射线声学近似下平面问题的声压表示式：（二）强度方程（1）方程意义根据声强的定义，采用声压的复数表示，则声强为：式中，是复共轭。
为简单计，只考虑分量，它正比于在高频或声压振幅随距离相对变化甚小，则有：，同理，则声强：强度方程：射线声学中声强矢量为管量场根据奥高定理：封闭面S选沿声线管束的侧面和官束两端的横截面S1和S2，侧面的面积分为零，则：因此，有：即：结论：声能沿声线管束传播，端面大，声能分散，声强值减小；端面小，声能集中，声强值增加，因而声强I与面积S成反比注意：管束内的声能不会通过侧面向外扩散2）声强的基本公式式中常数的确定：由声源的辐射声功率来确定设声源单位立体角的辐射声功率为，则声强等于：如果声源为轴对称的，考虑掠射角到立体角内的声线管束，则：当声线到达观察点P处，则有：起始掠射角的声线轨迹方程，则可求出掠射角到时水平距离r增量： 可得射线声学计算声强的基本公式：如果不计入常数因子，声压振幅：可求得平。