品数学文化第三讲 主讲人 杨 辉 主要内容 幻方溯源 幻方的构造 幻方奇趣 幻方溯源yi 两个传说在我国古老的《易经》中有这样一句话：“河出图，洛出书，圣人则之后来，人们根据这句话传出许多神话 相传，在上古伏羲氏时代，洛阳东北孟津县境内的黄河里跃出一匹龙马，龙马背上驮了一幅图，上面有黑白点55个，用直线连成10数（如图），献给伏羲后人称之为“河图”伏羲依此而演绎成八卦，后为《周易》来源 又相传在公元前23世纪大禹治水的时候，在黄河支流洛水中，浮现出一个 大乌龟，甲上背有9种花点的图案，献给大禹后人称之为“洛书”大禹依此治水成功，并依次划天下为九州，制定九章大法，治理社会，流传下来收入《尚书》中，名《洪范》 •直观地考察河图洛书，不难发现，这两幅图具有数字性和对称性这两个明显特点：•第一，数的概念直接而又形象地包含在河图洛书之中两图中黑点组成的数都是偶数（古代称阴数），白点表示的数是奇数（古代称阳数）河图含有1~10共10个自然数，洛书含有1~9共9个自然数因此，数字性是河图洛书的基本内容之一 •第二，对称性河图洛书的结构对称。
河图，以两个数字为一组，分成五组，以[5，10]居中，其余四组[7，2]、[9，4]、[6，1]、[8，3]依次均匀分布在四周；洛书，以数5居中，其余8个数均匀分布在八个方位 • 与河图相比，洛书标志着中国原始文化的更高成就，她只用了9个自然数排列成一个正方形，形成华夏历史上影响深远的九宫图，且奇妙结构和无穷变化，令中外数学家为之叹服！她的魅力吸引了许多中外学者对她进行长期的研究， 古人对洛书推崇备至，认为她能含盖人间万事万物，其小无内，其大无外，用之言天则天在其中，用之言地则地在其内，用之言人而人不在其外，尤其是纵、横、对角线上的3个数之和均等于15，使其成为我国古代都城的规划模式 洛书开了幻方世界的先河，成为组合数学的鼻祖数学家华罗庚对洛书非常推崇，称“洛书可能作为我们和另一星球交流的媒介 几千年来，“河图”与“洛书”成了我们中华民族通晓自然奥秘的宝库，哲学、天象、医学、数学、音乐等都从中得到启蒙 （1）洛书与幻方 把“洛书”用数字表达就是下面的数表，这就是我们今天要讨论的一个“幻方” 492357816 •最早有关幻方的文字记载是中国古代数学书《数术拾遗》，那里记载了上述源自“洛书”的方图，当时称为“九宫图”，我国南宋数学家杨辉称这种图为纵横图，欧洲人称之为魔术方阵或幻方。
长期以来，纵横图被作为一种数字游戏直到南宋时期，杨辉将她作为一个数学问题而加以深入的研究 杨辉在他的《续古摘奇算法》一书中，不仅搜集到了大量的各种类型的纵横图，而且对其中的部分纵横图还给出了如何构造的规则和方法，从而开创了这一组合数学研究的新领域 一般地，把n2个不同数字依次填入由n×n个小方格构成的正方形中，使得横行数字之和、直列数字之和以及对角线数字之和都相等，这样的数图叫做一个（n阶）幻方，各直线上数字之和叫幻和是否对任意自然数n都存在n阶幻方？对每个n存在多少个n阶幻方？如何构作？这就是组合数学研究的问题之一 （2）为什么要研究幻方？幻方有多少？ 为什么要研究幻方？幻方起源于古老的传说，自古有一种神秘色彩，人们把她当作护身避邪的吉祥物许多人热衷于研究幻方，起初，只是因为她包含了无尽的神奇之美，而且，研究幻方本身也是对人的智力的开发喜欢幻方、研究幻方的人不仅限于数学家，还有物理学家、政治家；不仅有成年人，也有孩子现代科学家研究幻方，已经远远不是为了好玩或驱灾避邪电子计算机出现以后，幻方在程序设计、组合分析、人工智能、图论等许多方面发现了新用场 •例1、食堂现有单价分别为1元——9元的菜各一种，按照三种菜为一组分配，须保证每组菜的合计价格都为15元，问有多少种分配方案?•例2、台湾黎凯旋的《易数浅谈》中有这样的描述：从日本学习飞机知识的台湾驾驶员，第一堂课上的就是幻方知识课，因为幻方的构造原理与飞机上的电子回路设置密切相关。
•例3、海上漂浮建筑， 首先要解决的问题，就是要将建筑面分割成方阵格，每格的建筑重量的确定，需要象构造幻 方一样巧妙设计，因为只有各线各方向上的重量处处均衡才能是建筑物不致于倾斜 幻方中各数若是从1到n2的连续自然数，则称之为标准幻方n阶标准幻方的幻和为 研究幻方，可以分类进行按照幻方阶数的奇偶性，幻方可以分为奇数阶幻方与偶数阶幻方；偶数阶幻方中，阶数为4的倍数的幻方叫做双偶阶幻方（如4，8，12等阶）;其它的叫单偶阶幻方（如6，10，14等阶） 还有一些特殊性质的幻方:如果一个幻方中的各数换为它的平方数后得到的数图还是幻方，则这个幻方叫做双重幻方或平方幻方；如果一个幻方的各横行、直列、对角线上各数字之积也分别相等，则称之为乘积幻方 幻方有多少？ 可以很容易地证明，2阶幻方是不存在的我国南宋时期数学家杨辉早在1275年就给出了3—10阶的幻方目前，国外已经排出了105阶幻方，我国数学家排出了125阶幻方 同一阶幻方，可以有多种不同的排法，阶数越大，排法越多如果不包括通过旋转或反射得到的本质上相同的幻方，我们有： Ø3阶幻方只有1种；Ø4阶幻方有880种；Ø5阶幻方有275305224种（约两亿七千五百万）；Ø7阶幻方有363916800种（约三亿六千四百万） ；Ø8阶幻方超过10亿种。
幻方的构造2 刚才已经介绍，在阶数大于3时幻方的种类有很多，但能够具体构造出来的却不是很多下面我们介绍4种构造幻方的通用方法 （1） 杨辉与奇数阶幻方的构造 我国南宋时期数学家杨辉曾对幻方有过深入系统的研究，他于1275年给出了3—10阶的幻方这里我们给出他关于奇数阶幻方的构造方法，这些方法记载于他的《续古摘奇算经》上比如，对于3阶幻方，方法是：“九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺进具体操作如下图： 九子斜排 上下对易，左右相更 四维挺进 1 4 2 7 5 3 8 6 9 9 4 2 3 5 7 8 6 1 492 357 816 类似的原理可以构造5阶、7阶、9阶等奇数阶幻方下图给出了5阶幻方的构造过程 1 6 2 11 7 3 16 12 8 4 21 17 13 9 5 22 18 14 10 23 19 15 24 20 25 25子斜排 上下对易，左右相更 25 24 20 11 7 3 4 12 8 16 5 17 13 9 21 10 18 14 22 23 19 15 6 2 1 四维挺进 25 24 20 11247203 44122581616 5 17513219 21 1010181142222 23 6192 15 6 2 1 11247203412258161751321910181142223619215 （2） 奇数阶幻方的劳伯尔（De La Loubère）构造 原理：1 居居上上行行正正中中央央,下下数数依依次次右右上上放放。
上上出出格格时时往往下下放放,右右出出格格时时往往左左放放排排重重便便往往自自下下放放,右右上上出出格一个样格一个样 12345678910111213141516171819202122232425 1 居上行正中央居上行正中央,下数依次右上放下数依次右上放 上出格时往下放上出格时往下放,右出格时往左放右出格时往左放排重便往自下放排重便往自下放,右上出格一个样右上出格一个样 如果给定一个等差数列，我们也可以按照以上方式依次将数列数字填入方格构造出奇数阶幻方 3. 偶数阶幻方的海尔(Hire)构造偶数阶幻方的构造总的来说要比较困难下面介绍的是法国人海尔的方法为此，我们先引入一个概念： 根数——在一个n阶幻方的构造过程中，数字 p = 1，2，…，n的根数为n(p-1)例如，在四阶幻方中，1的根数为0，3的根数为8；在10阶幻方中，3的根数为20，5的根数为40 下面是海尔构造n阶偶数阶幻方的方法与步骤（以4阶为例具体填数）： （1）将1到4这4个数字分别从左到右（左小右大）填入方阵的两条对角线中,得方阵A；（2）把A中每一行的空格中填入1到4该行尚没有的剩余数字（左大右小）,使每行每列数字之和均为10,得方阵B； 1 4 23 23 1 41324423142311324方阵 A方阵B （3）把方阵B转置，即交换行列，此时得到方阵C，C中的数叫原始数； （4）把C中各原始数分别用其相应的根数替换，得方阵D； 144132232332411401212084484884120012方阵C方阵D （5）最后将B、D两方阵中对应数分别相加，便得到一个n阶幻方E。
11514412679810115133216132442314231132401212084484884120012幻方E 4. 双偶阶幻方的构造 对于双偶阶幻方，我们有比较简单的构造方法为此，我们先给出一个概念： 补数——在一个n阶幻方的构造过程中，数字p=1，2，…，n2的补数为n2 + 1 – p.例如，在四阶幻方中，1的补数为16，3的补数为14；在8阶幻方中，1的补数为64，5的补数为60, 10的补数为55 下面我们以8阶幻方为例说明双偶阶幻方的构造方法 首先将从1到82这82个自然数依次连续填入方阵各方格内（如图） 12345678910111213141516171819202122232425262728293031323334353637383940414243444546474849505152535455565758596061626364 然后将两条对角线及方阵内与对角线平行间隔为两格的的斜线上的数字分别换为各自的补数，得到的方阵即是一个n阶（双偶阶）幻方 64236160675795554121351501617474620214342244026273736303133323435292838392541232244451918484915145253111056858595462631 幻方奇趣 3 •九宫数图最基本的规律，是其纵横及对角线上三数之和都为15，且九个数相加之和为45，是15的3倍。
4923578161. 九宫图的奥秘 •438+951+276 = 834+159+672492357816香港业余数学家黄志华先生发现了下面有趣的现象：用幻方中的1，3，9，7顺时针构造四个两位数：97，71，13，39，以及逆时针构造四个两位数：31，17，79，93 •他用计算器验算：•97+71+13+39=31+17+79+93； •顺着这种思路，我们构造两个三位数组：139，397，971，713及79，793，931，317．用计算机验算，同样发现• 139+397+971+713=179+793+931+317， 深入研究其数字的排列组合，还可以发现以下规律：•①其8组数列中包含4组等差数列：[4、5、6] 、[3、5、7]、 [8、5、2] 、[1、5、9]，以5为中心，逆时针方向，各数列的公差分别为1、2、3、4，这又是一个以1为公差的等差数列 ②另四组数列也有一定的规律（如图所示），从图中可以看出，这四个数列相邻两数的差颠倒对称，而且四边的数中，均有相邻两数之差为5，且各个数字均不重复，具体为：上[4、9、2]9-4=5；下[8、1、6]6-1=5；左[4、3、8]8-3=5；右[2、7、6]7-2=5。
•③奇数和偶数相互交错排列，四角之数为偶数，中间之数为奇数，同时，中间除5之外的四个数，任何两个之差都为偶数，且分别为四角四个数，具体为：9-7=3-1＝2；9-3=7-1=6；9-1=8；7-3=4 •另外：任何一个另外：任何一个角上的数都等于角上的数都等于与这个数不在同与这个数不在同一行、同一列及一行、同一列及对角线上的两个对角线上的两个数之和的一半数之和的一半例如，在图中，例如，在图中，右上角的右上角的“2”等等于第于第2行第行第1列的列的“3”与第与第3行第行第2列的列的“1”之和的之和的一半 492357816 2. 画家杜拉（Albrecht Dűrer）的铜版画 1514年，著名画家杜拉（Albrecht Durer）画了一幅描绘知识分子忧郁情调的铜版画《忧郁》（有的书上称为《沉思》），其中载入一个使人入迷的4阶幻方（如下图） 16321351011896712415141 其引人入胜之处在于她具有许多美妙的性质比如： （1）幻方中间四个角和中心位置四个小正方形中四个数字之和都相等，而且恰好等于该幻方的幻和34； 16321351011896712415141 （2）这个幻方的上下半部，左右半部，各奇数行，各偶数行，各奇数列，各偶数列，两条对角线，全部非对角线的八个数字，不仅其和分别相等（68），而且其平方和也分别相等（748） ；16321351011896712415141 （3）两条对角线上各数的立方和等于非对角线上各数的立方和（9248）； 16321351011896712415141 （4）幻方的最后一行的中间两数字15、14恰好表述了该画的创作年代1514。
16321351011896712415141 3.陕西历史博物馆二楼展厅陈列着一块刻着印度——阿拉伯数码的铁板，这是1957年在西安东郊元代安西王府遗址出土的这个蕴含着数字原理的六六幻方，在古代被视为奇妙的神秘之物人们把它郑重地埋入房基中，用作镇宅和防灾辟邪的吉祥物 翻译如图所示这个幻方每行、每列及两条对角线上的6个数之和都相等，都是111比如第一行的六个数之和就是 28+1+3+31+35+10=111这个幻方铁板是我国数学史上应用阿拉伯数字的最早实物资料，也是元代西安接受阿拉伯文化影响的具体体现 •对这个幻方进行了仔细研究，发现这个六阶幻方不是普通的幻方，它还具有两个独特的性质• 其一，该幻方是一个二次幻方幻方中第一行和第六行中六个数的平方和也相等： 282+42+32+312+352+102=3095 272+332+342+62+22+92=3095第一列和第六列中六个数的平方和也相等： 282+362+72+82+52+272=2947 102+12+302+292+322+92=2947这是一般幻方所不具有的特性。
•其二，这个幻方是一个回套幻方即去掉最外面一层，中间剩下的部分仍然是一个四阶幻方这个四阶幻方由11—26这16个数组成，其每行，每列及两条对角线上的4个数之和都是74比如18+21+24+11=7420+15+14+25=7421+12+26+15=7424+17+19+14=7428、、04、、03、、31、、35、、1036、、18、、21、、24、、11、、0107、、23、、12、、17、、22、、3008、、13、、26、、19、、16、、2905、、20、、15、、14、、25、、3227、、33、、34、、06、、02、、09 •4.百子回归碑 •设在珠海市板樟山森林公园（又称澳门回归公园）的山顶平台上 •百子回归碑是一幅十阶幻方，中央四数连读及“ 1999 · 12 · 20 ”，标示澳门回归日 百子回归碑是我国碑史上的第一座数字碑在碑史上只有文字碑、书法碑、符号碑、图画碑、图象碑或无字碑等，这座百子数字碑则为我国碑文化增添了新的一页 •百子回归碑是一部百年澳门简史，记载着百年来澳门沧桑巨变的重大历史事件以及有关史地、人文资料等如中间两列上部（系十九世纪）：“ 1887 ”年《中葡条约》正式签署，从此成为葡人上百年（到99年为 100 余 13 年）“永久管理澳门”的法律依据。
又如中间两列下部（系二十世纪）：“ 49 ”年中华人民公和国成立，从此中国人民站起来了；“ 97 ”年香港回归祖国；“ 79 ”年中葡两国正式建立外交关系，澳门主权归属是建交谈判中的主要问题；“ 88 ”年中葡两国互换关于澳门问题的《联合声明》批准书，从此澳门踏上了回归祖国的阳光大道据最新资料：澳门陆地面积“ 23 · 50 ”平方公里 伊斯兰教徒佩带的玉挂伊斯兰教徒佩带的玉挂•上海博物馆存有一块伊斯上海博物馆存有一块伊斯兰教徒佩带的玉挂，它是兰教徒佩带的玉挂，它是从浦东陆家嘴附近一个名从浦东陆家嘴附近一个名叫陆深的墓中发现的据叫陆深的墓中发现的据考证，陆深是三国时东吴考证，陆深是三国时东吴大将陆逊的后人玉挂的大将陆逊的后人玉挂的正面刻有：正面刻有：“万物非主，万物非主，唯其真宰，穆罕默德为其唯其真宰，穆罕默德为其使者玉挂的反面却整玉挂的反面却整齐地刻着齐地刻着16 个阿拉伯数字，个阿拉伯数字，经过专家的破译，原来是经过专家的破译，原来是个四阶完全幻方个四阶完全幻方 •这个幻方具有如下特点：•①纵、横、对角线四数之和（34）都相等•②对角线“折断”平行线上四数之和也相等，如：•11＋13＋4＋6＝3＋5＋14＋12＝34•14＋2＋3＋15＝5＋9＋12＋8＝13＋16＋4＋1＝11＋7＋6＋10 •③幻方中，任何一个2×2 正方形中四数之和也相等。
如•8＋11＋13＋2＝11＋14＋2＋7＝14＋1＋7＋12＝34•④幻方中，任何一个3×3 正方形，它的四个角数字之也是34！如：•8＋9＋14＋3＝11＋6＋1＋16＝34 用用1-100个连续的自然个连续的自然数巧妙组合而成的，数巧妙组合而成的，主题为主题为“100年沧桑，年沧桑，1997．．7．．1回归祖国回归祖国”的的“牛牛”字型幻方字型幻方群图，由首钢矿山职群图，由首钢矿山职校教师罗震编制校教师罗震编制 香港回归祖国香港回归祖国 弗里安逊的九阶幻方弗里安逊的九阶幻方 “幻方大王幻方大王”弗里安逊制作的九阶幻方堪称一弗里安逊制作的九阶幻方堪称一绝：绝： •这个幻方也有许多独特的性质：这个幻方也有许多独特的性质： • (1)虚线框出的涂粉红色的虚线框出的涂粉红色的25个数字，个数字，恰好构成一个五阶幻方恰好构成一个五阶幻方(幻和值为幻和值为205)；； 5,63,21,79,37; 55,23,81,39,7; 25,73,41,9,57; 75,43,1,59,27; 45,3,61,19,77 •(2)虚线框中没有圈上的数字恰好构成一虚线框中没有圈上的数字恰好构成一个四阶幻方个四阶幻方(幻和值为幻和值为164)；； • 31,11,51,71; 49,33,65,17; 15,67,35,47; 69,53,13,29 • (3)虚线框内数字虚线框内数字(包括边界上的数字包括边界上的数字)全为奇数；框外数字全部为偶数；全为奇数；框外数字全部为偶数； • (4)幻方中奇数的末位数字与水平轴线幻方中奇数的末位数字与水平轴线对称；偶数的末位数字也与水平轴线对对称；偶数的末位数字也与水平轴线对称．称． 5. 富兰克林的八阶幻方 美国政治家富兰克 林 （ 1706—1790）制作过一个8阶幻方（如下图）。
它具有许多独特的性质 （1）每半行半列上各数字之和分别相等而且等于幻和（260）之半（130）；（2）幻方四角四个数字与幻方中心四个数字之和等于幻和（260）；52614132029364514362514635301953605122128374411659544338272255587102326394298575641402524506321518313447161644948333217 （3）上下各两半对角线8数字之和等于幻和 52614132029364514362514635301953605122128374411659544338272255587102326394298575641402524506321518313447161644948333217 6. 日本幻方专家片桐善直的八阶幻方 •这是一个奇特的八阶幻方这是一个奇特的八阶幻方它除了具有富兰克林幻方的性质以外，这个幻方还是一个这个幻方还是一个“间隔幻方间隔幻方”，即相，即相间地从大幻方中取出一些数，可以组成小的幻方，比间地从大幻方中取出一些数，可以组成小的幻方，比如下面便是其中的两个四阶幻方如下面便是其中的两个四阶幻方( (它的制作方法，兰色它的制作方法，兰色和黄色各为一个幻方和黄色各为一个幻方) )：： •我们先把上图中数字逐个间隔地取出来，排成如下面我们先把上图中数字逐个间隔地取出来，排成如下面的四阶方阵，再分析它们的特点的四阶方阵，再分析它们的特点 7. 杨辉的九阶幻方 我国南宋时期数学家杨辉在他的《续古摘奇算经》上给出的九阶幻方也有许多更为奇特的性质（有些性质是近来才被发现的）。
（3）若把上述9个3阶幻方的幻和值写在3阶方阵中，又构成一个3阶幻方这个幻方的九个数分别为首项为111，末项为135，公差为3的等差数列如果将将这些数按大小顺序的序号写入三阶方阵，所得图表正是“洛书”幻方； 120135114117123129132111126492357816 •(4)将幻方中从外向里看．则每个将幻方中从外向里看．则每个“回回”形上圈里的八形上圈里的八个数字与中心数个数字与中心数41又分别可构成三阶幻方又分别可构成三阶幻方(共四层，即共四层，即四个四个)，即它嵌套着四个三阶幻方即它嵌套着四个三阶幻方 8. 魔鬼幻方 所谓魔鬼幻方，是指幻方中各副对角线上各数字之和也等于幻和如下图的四阶幻方就是一个魔鬼幻方法国数学家密克萨（Francis L. Miksa）发现5阶幻方中有3600种魔鬼幻方，而且他已全部制表列出 15103645169141127181312 9. 双重幻方 下图是一个双重幻方，即把其各方格中数字平方后得到的新方阵也是一个幻方原幻方的幻和是260，新幻方的幻和是1118020世纪初，法国人里列经过长期探索找到了近200个双重幻方。
53135605734830199534647561812162242395261271633725243144450264644938431323415115221286240544820111017554536586293273359 10. 乘积幻方 下图是一个乘积幻方，即其各横行、直列、对角线上数字之和分别相等，同时，各数字之积也分别相等该幻方的幻和是840，其各行数字乘积是2058068231856000 4681117102157620020319602321755469153782161611752171905875135114508718418913681502614538911369227119104108231742255730116251331205126162207393413824310029105152 9. 六角幻方前面所谈到的幻方都是正方形幻方，那么有没有正六边形的幻方呢？也就是说，能否在边长为n的正六边形内的各小六边形内填入不同的数字，使得各条直线上各数字之和都相等呢（称为n阶六角幻方）？1910年，有一个叫亚当斯的青年开始试图排出一个3阶六角幻方。
后来人们研究发现，只有当n=3时，六角幻方才是存在的3阶六角幻方的幻和为38 151310121484965111718173219163阶六角幻方 。