本文格式为Word版，下载可任意编辑三年级奥数详解答案 第十八讲 多笔画及应用问题 第十八讲 多笔画及应用问题 上一讲中，我们主要研究了利用奇偶点来判别一笔画，学习了利用一笔画来研究一些简朴的实际问题.然而，实际生活中，大量问题的图并不能一笔画出，也就是说，一笔画理论不能直接用来解决这些问题.因此，在一笔画的根基上，我们有必要对这一类的问题作一些深入研究 一、多笔画 我们把不能一笔画成的图，归纳为多笔画.首先，我们来考虑一个不能一笔画成的图，至少用几笔才能画完呢？（为了研究的便当，我们依旧只研究连通图，非连通图可转化为连通图.） 下面，我们就用简朴熟谙的图来研究这个问题.通过前面的学习我们已经知道：当奇点个数不是0或2时，图不能一笔画出.因此，我们可以揣摩；奇点个数是研究多笔画问题的关键 查看下面的图形，并列稀奇点的个数与笔画数（至少几笔画完此图）的关系表格 为了表示得领会一些，我们把图中第一笔画出的片面用实线表示，其次笔画出的片面用虚线表示，第三笔画出的片面用点线表示，其余片面请大家自己画出. 奇点个数与笔画数的关系可列表如下： 轻易看出，笔画数恰等于奇点个数的一半.事实上，对于任意的连通图来说，假设有2n个奇点（n为自然数），那么这个图确定可以用n笔画成.公式如下： 奇点数÷2=笔画数，即2n÷2=n。
细心的同学可能会问：2n是表示一个偶数，但倘使有奇数个奇点怎么办？实际上，这种处境不成能展现，连通图中，奇点的个数只能是偶数.想一想，这是为什么呢？ 例1 查看下面的图，看各至少用几笔画成？ 分析解答 （1）图中有8个奇结点，因此需用4笔画成 （2）图中有12个奇点，需6笔画成 （3）图是无奇点的连通图，可一笔画成 例2 判断下面的图能否一笔画成；若不能，你能用什么方法把它改成一笔画？ 分析解答 图中共有4个奇点，因此，鲜明无法一笔画成.要想改为一笔画，关键在于裁减奇点的数目（把奇点的个数裁减到0或2），概括方法有两种： ①去边.即将多余的两奇点间的边去掉.这种方法只适用于多余的两奇点间有边相连的处境，如对下图就不适用. 此题中，可去掉连结奇点B、C的边BC ②添边.即在多余的两奇点间添上一条边.此题中，可以在奇点A、C间添上边AC.添边的方法适用于任意多笔画的图 改为一笔画时，概括实现的方案好多，如此题中，我们可以通过上述两种方法把奇点个数裁减到0。
小结：对于有2n（n为大于1的自然数）个奇点的连通图来说，改为一笔画的方法一般是：在多余的n-1（或n）对奇点间，各添上一条边；假设这n-1对（或n对）奇点间都有边相连，也可以在这n-1（或n）对间各去掉一条边 例3 将下图改为一笔画. 分析解答 图（1）中有6个奇点，因此可添上两条（或3条）边后可改为一笔画；又由于这个图中，把这6个奇点任意分为3对后，最多只有两对奇点间有边相连，因此，可去掉两条边后改为一笔画，举例如图（3）～（6） 图（2）中有4个奇点，因此，可添上2条（或1条）边后改为一笔画；又由于把奇点按A与B，C与D（或A与D，B与C）分为两对后，每对间均有边相连，因此，可去掉两条（或1条）边后改为一笔画.举例如图（7）～（8）. 说明：图（6）运用了两种方法，去掉边BC，添上边AD与EF. 二、应用问题 在学习了一笔画与多笔画的理论以后，我们来看看这些理论在实际问题中的应用 例4 下图是某少年宫的平面图，共有五个大厅，相邻两厅之间都有门相通（D与E两厅除外），并且有一个入口和一个出口.问游人能否从入口入，一次不重复地穿过全体的门？假设可以，请指明穿行路线；假设不能，请你想一想，关闭哪扇门后就可以办到？ 分析解答 类似于上一节中的问题，我们把每个厅看作一个结点（室外也看作一个结点），两厅之间有门相通可看作两结点之间有线相连，于是问题转化为图（2）能否一笔画完的问题. 鲜明，图中有四个奇点：A、B、C、F，不成能一笔画出，即游人不成能一次不重复地穿过全体的门。
4个奇点时，只要把连接其中两个奇点的一条边去掉，这个图就只剩下两个奇点，就可以一笔画出，即游人可以用剩下的两个奇点分别作为起点和终点，不重复地穿过全体的门.关掉一扇门实际上就是去掉一条边.因此，我们可以考虑去掉边AC或AB.但是，值得留神的是：游人务必从入口进入，也即结点F务必作为起点，而此题中有4个奇点且只允许去掉一条边，因此F务必是奇点，也即不能去掉与F相连的边 通过上面的分析，我们知道：只要关闭A、C之间的门，或A、B之间的门，游人就可以从入口（边FC或FD或FE）入，一次不重复地穿过全体的门 例5 下图是某个花房的平面图，它由六间展室组成，每相邻两室间有一门相通.请你设计一个出口，使参观者能够从入口处A进去，一次不重复地经过全体的门，结果由出口走出花房 分析解答 同上分析，可把每个花室看作一个点（花房外也看作是一个结点），每个门看作是连接两结点的边，于是，上图就转化为右图.设计一个出口，实际上是添一条与结点A相连的边，使新图能够以A为起点和终点一笔画出，也就是说，新图中，全体的点都务必是偶点. 查看右图， 察觉只有A、F两个奇点，所以，应把边添在A与F之间（如右图），即：把出口开在花室F处。
例4与例5都是把多笔画改为一笔画的实际应用 例6 下图中的每条线都表示一条街道，线上的数字表示这条街道的里数.邮递员从邮局启程，要走遍各条街道，结果回到邮局.问：邮递员怎样走，路线最合理？ 分析解答 邮递员走的路程最短时，路线最合理.利用一笔画的学识分析可得：由于邮递员从邮局作为起点和终点，所以没有奇点是最梦想的，但实际上图中却有8个奇点，邮递员务必重复走某些路线.根据多笔画改为一笔画的方法得知：重复走的路线的两个端点应为奇点.重复的总路程理应尽可能短 我们把需重复走的路线，用虚线添在图中，通过分析与计算可知；当邮递员所走的路线如右图时，重复的路程最短，全程共走了56＋4＝60（里）.其中56为全体街道的总长，4为所重复走的路程 此题属于最短邮递路线问题.解决这样的题目时，有两点值得留神：①在所给图中，每条边都有概括的长度，这与前面其他问题中不考虑长度是不同的；②邮递路线中，邮递员务必以邮局作为起点和终点，即在结果能一笔画出的图中，全体的点都务必是偶点.这也与前面游人可以选择进出口的问题不同 例7 右图是某地区街道的平面图，图上的数字表示那条街道的长度。
清早，洒水车从A启程，要洒遍全体的街道，结果再回到A.问：如何设计洒水路线最合理？ 分析解答 这又是一个最短路线的问题.通过分析可以知道：在洒水路线中，K是中间点，因此务必成为偶点，这样洒水车务必重复走KC这条边（如下左图）.至此，奇点的个数并未裁减，仍是6个，但问题却转化为例6的类型.类似于例6，轻易得出，洒水车务必重复走的路线有：GF、IJ、BC.即洒水路线如下右图 — 7 —。