第5章 曲 线 及 曲 面 第5章 曲 线 及 曲 面 5.1 曲线、曲面的理论基础 5.2 抛物线调配曲线 5.3 三次参数样条曲线 5.4 最小二乘法拟合曲线 5.5 Bézier曲线 5.6 B样条曲线 5.7 Bézier曲面 5.8 B样条曲面 5.9 Coons曲面 5.10 一般B样条曲线、曲面与NURBS曲线、曲面 5.11 等值线 第5章 曲 线 及 曲 面 5.1 曲线、曲面的理论基础 1. 曲线、曲面的分类 曲线分为规则曲线和拟合曲线(不规则曲线)两大类 所谓 规则曲线就是具有确定描述函数的曲线，如圆锥曲线、正弦曲 线、渐开线等由离散的特征点(或称为型值点)构造函数来描述 的曲线称为拟合曲线，也称自由曲线这里的特征点是通过实 验、测量或计算得到的对于同样的特征点，由于构造函数的 方法不同， 因而出现了诸如最小二乘法拟合曲线、三次参数样 条曲线、Bézier曲线、B样条曲线、非均匀有理B样条(NURBS) 曲线等众多曲线 第5章 曲 线 及 曲 面 曲面也分为规则曲面和拟合曲面(不规则曲面)两大类。
规 则曲面就是具有确定描述函数的曲面，如二次曲面(圆柱、圆锥 、 圆球、 双曲面、 抛物面等)、 螺旋面、直纹曲面、扫描曲面 (旋转扫描面即旋转曲面、 拉伸曲面)等， 它们都是轨迹曲面 由离散特征点构造函数来描述的曲面称为拟合曲面，也称自由 曲面，如Coons曲面、Bézier曲面、 B样条曲面、非均匀有理B 样条曲面等 第5章 曲 线 及 曲 面 2. 插值与逼近 按照曲线(或曲面)与特征点的位置关系划分，拟合曲线(或 曲面)可分为插值曲线(或曲面)与逼近曲线(或曲面)若由部分 特征点构造的曲线(或曲面)通过所有的特征点， 则称其为插值 曲线(或曲面) 若由特征点构造的曲线(或曲面)不通过或部分通 过特征点，并在整体上接近这些特征点，则称其为逼近曲线(或 曲面)插值曲线(或曲面)与逼近曲线(或曲面)种类较多，本章 仅介绍常用的几种类型 第5章 曲 线 及 曲 面 3. 曲线、曲面的光顺 由特征点构造的曲线、曲面应尽量满足光顺的要求，这样 才能达到美观的效果曲线、曲面的光顺分为平面曲线光顺、 空间曲线光顺以及曲面光顺平面曲线光顺的准则有三条：曲 线达C2(即二阶导数)连续、没有多余拐点、曲率变化较均匀。
第一条是数学上光滑的概念，第二条要求曲线凹、凸变化较小 ， 第三条要求曲线臌、 瘪的地方尽可能少空间曲线的三个 正投影为平面曲线，只要这三条投影曲线光顺就认为空间曲线 是光顺的 曲面通常用两簇相交的网格线来表示，只要空间网格线( 平面曲线或空间曲线)光顺就认为曲面是光顺的 第5章 曲 线 及 曲 面 4. 样条曲线与曲面 样条曲线是由若干条n次曲线段连接而成的拟合曲线，且 在连续处达到n-1阶导数连续(通常取n=3)样条曲面是由若干 张n次曲面片连接而成的拟合曲面， 且在连接处达到n-1 阶导数 连续(通常取n=3) 第5章 曲 线 及 曲 面 5. 几何连续性 由于物体的几何外形往往是比较复杂的，要用一个单一的 数学函数式确切地描述整条曲线或整张曲面，那是很困难的， 为此人们采用若干条曲线段连成一条曲线或采用若干张曲面片 拼成一张曲面为了达到整条曲线或整张曲面光顺的要求， 在 连接处应满足拼接条件，我们称之为几何连续性 第5章 曲 线 及 曲 面 对于曲线， 几何连续性包括： ① 位置连续，用G0表示，即两段曲线在连接点处不存在间 断点 ② 斜率连续，用G1表示，即两段曲线在连接处的切线方向 相同。
③ 曲率连续，用G2表示，即两段曲线在连接处曲率应连续 变化，不能出现跳跃对于曲面，几何连续性包括： ① 位置连续，用G0表示，即两曲面片在连接处的边界应一 致 ② 斜率连续，用G1表示，即在连接处，两曲面片应有连续 变化的切平面 第5章 曲 线 及 曲 面 不少文献对G1、G2连续与C1、C2连续不加区分我们认为 对两者加以区分是必要的C1、C2连续可以认为是要求在连接 处关于参数的一阶导数、二阶导数相等，这种导数相等的连接 条件(称为参数连续性)可以推广到高次曲线或曲面中G1、G2 连续限于低次(四次以下)曲线和曲面，在连接处关于参数的一 阶导数、二阶导数可以不相等，这种连接条件增加了曲线、曲 面拼接的灵活性，拼接自由度大，可以构造出适合各种需要的 样条曲线或曲面若在连接处C1、C2连续，则必然有G1、G2连 续，反之则不然 第5章 曲 线 及 曲 面 6. 曲线、 曲面的矢量参数表示形式 我们知道，要用数学式表示曲线与曲面，既可以用参数形式 也可以用非参数形式如对平面曲线，可以用非参数的显函数 y=f(x)或隐函数f(x,y)=0 表示，也可以用参数方程x=f(t), y=g(t)来表 示(t为参数)。
但非参数形式表示的曲线和曲面与坐标系的选择有 关，方程也较复杂，而且曲线范围不好确定特别是在绘制曲线 时，当x取相等的间隔来计算点时，这些点沿曲线将不是均匀分 布的，这会影响图形输出的质量和准确性另外，当曲线对某坐 标轴的斜率(一阶导数)为无穷大时，会造成计算机处理上的困难 因此，人们采用参数形式来描述曲线和曲面在计算机图形 学中绝大多数拟合曲线与曲面都采用参数表示形式 第5章 曲 线 及 曲 面 采用参数形式表示曲线、曲面有几个明显的优点：一是曲 线、曲面的方程与坐标系选择无关，可以不依赖于坐标系来研 究图形的几何性质， 这一点称为几何不变性二是曲线、曲面 上的点计算容易且边界容易确定 这是因为坐标分量x, y, z都 是参数的显函数三是易于用矢量和矩阵表示几何分量，通过 对其参数方程直接进行平移、旋转、比例等几何变换实现对曲 线、曲面的几何变换，从而简化了计算 第5章 曲 线 及 曲 面 用坐标分量的参数形式描述曲线、曲面需要二至三个方程， 而用矢量参数形式描述只需一个方程，这就是采用矢量参数表示 法的缘由 曲线、 曲面的矢量参数表示法是由美国波音飞机公 司的弗格森 (Ferguson )于 1963 年首先提出的。
如果把曲线的动点P看作是从原点出发的位置矢径的端点， 当位置矢径变化时，动点P的轨迹就形成了一条曲线，如图 5.1.1 所示设曲线上任一点的位置矢径为p，它可以表示为参数t的函 数，即 第5章 曲 线 及 曲 面 当t=0 时，p1=p(0) ，为曲线的起点；当t=1时，pn=p (1)， 为曲线的终点这就是曲线的矢量参数表示法 由于曲面是一个二元函数，将曲线的矢量参数表示法作一 拓广就得到曲面的矢量参数表示法，即 p=p (u,w) 0≤u, w≤1 第5章 曲 线 及 曲 面 图 5.1.1 曲线的矢量参数表示 第5章 曲 线 及 曲 面 7. 曲线、曲面的微分几何基础 1) 曲线的切矢及法平面 曲线p=p(t)的一阶导矢(导数矢量)定义为(见图 5.1.2) p′(t)是以点P为切点的切线上的矢量，称之为点P的切矢 曲线p=p(t)上t=t0的点的位置矢径为p(t0)，其切矢为p′(t0)， 则切线方程为 p(λ)=p(t0)+λp′(t0) 式中λ为参数，表示从切点到切线上任意点p(λ)的距离 第5章 曲 线 及 曲 面 图 5.1.2 曲线的切矢 第5章 曲 线 及 曲 面 若设p=［x y z］为法平面上任意一点的位置矢径，则过曲 线上点p (t0)的法平面方程为 对于曲线p=p(t), 若设p=［x y z］，p (t)=［x(t) y(t) z(t)］， 则其矢量参数方程写成坐标分量形式便为 x=x(t) y=y(t) z=z(t) 0≤t≤1 第5章 曲 线 及 曲 面 若将曲线的切矢、切线方程和法平面方程中的矢量用坐标 分量形式表示，则切矢为： p′(t)=［x′(t) y′(t) z′(t)］ 切线方程为 x=x(t0)+λx′(t0) y=y(t0)+λy′(t0) z=z(t0)+λz′(t0) 法平面方程为 (x-x(t0))x′(t0)+(y-y(t0))y′(t0)+(z-z(t0))z′(t0)=0 第5章 曲 线 及 曲 面 2) 曲线的主法矢和副法矢 如图 5.1.3 所示，设T为曲线上任意一点的单位切矢，则 上式中，p(s)为以弧长s为参数表示的曲线， ds=|p′(t)| dt。
由于T的模为 1，则有T2=1，求导后得到T′·T=0，即T′⊥T 定义T′的方向为主法线的方向在T′上取单位矢量N， 于是 称N为曲线在该点的主法矢，它是主法线上的单位矢量 令B=T×N，定义B的方向为副法线方向，称B为副法矢 由T、N、B构成三个平面，分别称为密切平面、法平面、从 切平面 第5章 曲 线 及 曲 面 图 5.1.3 曲线的主法矢和副法矢 第5章 曲 线 及 曲 面 3) 曲线的曲率和挠率 定义曲线的曲率k为 它表明曲线切线方向对于弧长的转动率，反映了曲线的弯曲程 度，k值越大，曲线弯曲变化越快曲线半径为 定义曲线的挠率τ为 它表明曲线副法矢方向对于弧长的转动率，反映了曲线的扭转程度 第5章 曲 线 及 曲 面 曲率k和挠率τ的计算公式为 其中， (p′(t), p″(t), p(t))为这三个矢量的混合积 第5章 曲 线 及 曲 面 4) 曲面的法矢和切平面 曲面p=p(u,w)用坐标分量形式表示，则为 x=x(u,w) y=y(u,w) z=z(u,w) 设曲面p=p(u,w)上有一点pij=p(ui,wj)，则该点沿u线(即p(u,wj)) 和w线(即p(ui,w)) 的切矢分别为 0≤u, w≤1 pu(ui,wj)=［xu(ui,wj) yu(ui ,wj) zu(ui,wj)］ pw(ui,wj)=［xw(ui,wj) yw(ui,wj) zw(ui,wj)］ 第5章 曲 线 及 曲 面 该点的法矢N可写成 通过该点的切平面方程为(p为切平面上任意一点) (p-pij)·N=0 第5章 曲 线 及 曲 面 或写成 第5章 曲 线 及 曲 面 5.2 抛物线调配曲线 1. 过三点的抛物线曲线段 设pi, pi+1, pi+2为三个相邻的型值点，如图 5.2.1 所示。
过此 三点的抛物线方程为 pi(t)=Ai+Bit+Cit2 0≤t≤1 (5-1) 我们构造的抛物线曲线段要满足t=0, 0.5, 1时，曲线分别通过pi, pi+1、pi+2三点下面我们来确定Ai, Bi, Ci三个系数 第5章 曲 线 及 曲 面 第5章 曲 线 及 曲 面 将t=0, 0.5, 1分别代入式(5-1)，得 求解，得 (5-2) 第5章 曲 线 及 曲 面 将式(5-2)代入式(5-1)并整理， 得 pi(t)=(1-3t+2t2)pi+(4t-4t2)pi+1+(2t2-t)pi+2 0≤t≤1 (5-3) 式(5-3)即为过三点的抛物线曲线段的矢量表达式 对式(5-3)求导，得 将t=0.5 代入式(5-4) ，得 可见点pi+1的切矢方向平行于pipi+2，大小等于pipi+2，如图 5.2.2 所示 (5-4) 第5章 曲 线 及 曲 面 图 5.2.2 抛物线中间点的切矢 第5章 曲 线 及 曲 面 图 5.2.3 抛物线调配 第5章 曲 线 及 曲 面 2. 抛物线调配曲线的形成 如图 5.2.3 所示，由pi, pi+1, pi+2三点定义的抛物线记为S1(t1) ， 则 由pi+1, pi+2, pi+3三点定义的抛物线记为S2(t2)，则 第5章 曲 线 及 曲 面 由于S1(t1)的后半部与S2(t2)的前半部重叠，因此我们用直线 的权函数(也叫调和函数或混合函数，它表明一个型值点对整段 曲线所起作用的大小。