第二章 等式与不等式 21 等 式 . - 1 - 21.1 等式的性质与方程的解集 . - 1 - 21.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系 . - 11 - 21.3 方程组的解集 . - 19 - 22 不 等 式. - 30 - 22.1 不等式及其性质 . - 30 - 22.2 不等式的解集 . - 41 - 22.3 一元二次不等式的解法 . - 49 - 22.4 均值不等式及其应用 . - 59 - 第 1 课时 均值不等式 . - 59 - 第 2 课时 均值不等式的应用 . - 70 - 21 等等 式式 21.1 等式的性质与方程的解集等式的性质与方程的解集 1.常用乘法公式 (1)公式： 公式名称 符号表示 文字表示 平方差公式 (ab)(ab)a2b2 两个数的和与这两个数的差 的积等于这两个数的平方差 完全平方公式 (a b)2a2 2abb2 两数和(或差)的平方，等于 这两数的平方和， 加上(或减 去)这两数积的 2 倍 其他恒等式 (ab)(a2abb2)a3b3； (ab)3a33a2b3ab2b3； (abc)2a2b2c22ab 2bc2ac (2)本质：常用乘法公式的本质就是将每个括号内的每一项与另一括号内的每一项 依次相乘后再求和得到 (3)应用：利用公式或恒等式进行表达式的化简与求值 (1)平方差公式的左右两边分别有什么特点？ 提示：公式的左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另 一项互为相反数；右边是相同项的平方减去相反项的平方 (2)完全平方公式的左右两边分别有什么特点？ 提示：公式左边都是二项式的平方，右边是一个二次三项式；公式右边第一、三 项分别是左边第一、第二项的平方；第二项是左边两项积的 2 倍 2十字相乘法 具体形式： 二次项系数为 1 时： x2(ab)xab(xa)(xb) 二次项系数不为 1 时： acx2(adbc)xbd(axb)(cxd) 记忆口诀：拆两头，凑中间 十字相乘法分解因式的关键是什么？ 提示：把二次项系数和常数项分解，交叉相乘，得到两个因数，再把两个因数相 加，看它们的和是不是正好等于一次项系数 3.方程的解集 (1)定义： 方程的解(根) 能使方程左右两边相等的未知数的值 方程的解集 一个方程所有解组成的集合 (2)本质：方程的解(根)就是保证等式成立的未知数的值，注意解与解集的不同 (3)应用：求解方程的解(或解集). 把方程通过适当变换后，求出的未知数的值都是这个方程的解(根)吗？ 提示：把方程通过变换，求出的未知数的值不一定是这个方程的根，也可能是这 个方程的增根 1辨析记忆(对的打“”，错的打“”). (1)计算(2a5)(2a5)2a225.( ) 提示：(2a5)(2a5)(2a)2254a225. (2)因式分解过程为：x23xy4y2(xy)(x4).( ) 提示：x23xy4y2(xy)(x4y). (3)用因式分解法解方程时部分过程为： (x2)(x3)6，所以 x23 或 x32.( ) 提示：若(x2)(x3)0，可化为 x20 或 x30. 2分解因式：x22xyy24 【解析】x22xyy24(xy)24 (xy2)(xy2). 答案：(xy2)(xy2) 3(教材例题改编)已知三角形两边长分别为 4 和 7，第三边的长是方程 x217x 660 的根，则第三边的长为_ 【解析】由方程 x217x660 得： (x6)(x11)0，解得：x6 或 x11， 当 x6 时，三边长为 4，6，7，符合题意； 当 x11 时，以 4，7，11 为三边构不成三角形，不合题意，舍去，则第三边长为 6. 答案：6 类型一类型一 常用乘法公式的应用常用乘法公式的应用(数学运算数学运算) 1若多项式 x2kx24 可以因式分解为(x3)(x8)，则实数 k 的值为( ) A5 B5 C11 D11 【解析】选 A.由题意得 x2kx24(x3)(x8)x25x24. 2计算(x3y)2(3xy)2的结果是( ) A8x28y2 B8y28x2 C8(xy)2 D8(xy)2 【解析】选 B.方法一：(x3y)2(3xy)2 x26xy9y2(9x26xyy2) x26xy9y29x26xyy28y28x2. 方法二： (x3y)2(3xy)2 (x3y)(3xy)(x3y)(3xy) (x3y3xy)(x3y3xy) (4x4y)(2x2y)4(xy) 2(xy) 8y28x2. 3已知 a2b22a4b50，则 2a24b3 的值为_. 【解析】a2b22a4b5(a22a1)(b24b4) (a1)2(b2)20，所以 a1，b2， 所以 2a24b32 (1)24 237. 答案：7 常用乘法公式的应用技巧 (1)使用公式化简时，一定要分清公式中的 a，b 分别对应题目中的哪个数或哪个 整式 (2)利用公式化简时，要注意选择公式，公式选择恰当，可以有效地简化运算 类型二类型二 十字相乘法分解因式十字相乘法分解因式(数学运算数学运算) 【典例】把下列各式因式分解 (1)x23x2. (2)6x27x5. (3)5x26xy8y2. 【思路导引】二次项系数与常数项分别拆分，交叉相乘再相加，保证和为一次项 系数即可 【解析】(1)x23x2(x1)(x2) 1 21 13 (2)6x27x5(2x1)(3x5) 2 (5)3 17 (3)5x26xy8y2(x2y)(5x4y) 1 (4y)5 (2y)6y 十字相乘法因式分解的形式 尝试把某些二次三项式如 ax2bxc 分解因式，先把 a 分解成 aa1a2，把 c 分 解成 cc1c2，并且排列如下： 这里按斜线交叉相乘的积的和就是 a1c2a2c1， 如果它正好等于二次三项式 ax2bx c 中一次项的系数 b，那么 ax2bxc 就可以分解成(a1xc1)(a2xc2)，其中 a1， c1是图中上面一行的两个数，a2，c2是下面一行的两个数 分解下列各因式：(1)8x226xy15y2； (2)7(ab)25(ab)2. 【解析】(1)8x226xy15y2(2xy)(4x15y). (2)7(ab)25(ab)2(7a7b2)(ab1). 【拓展延伸】齐次式的因式分解 (1)齐次式是指合并同类项后， 每一项关于 x， y 的次数都是相等的多项式 次 数为一次就是一次齐次式，次数为二次就是二次齐次式如 x2y 是一次齐次式； x2xy 是二次齐次式 (2)二元二次齐次式是高中最常见的齐次式之一，通常可以写为 ax2bxycy2的 形式，常见的因式分解方法有两种，一是将原式中的 y 看作参数直接进行因式分 解；二是在解决此类问题的等式时可以同除以 y2转化为x y 的二次形式后利用因式 分解进行分解或求值 【拓展训练】 x213xy30y2分解因式为( ) A(x3y)(x10y) B(x15y)(x2y) C(x10y)(x3y) D(x15y)(x2y) 【解析】选 D.x213xy30y2(x15y)(x2y) 1 2y1 (15y)13y 类型三类型三 方程的解集方程的解集(数学运算数学运算) 一元一次方程的解集 【典例】若 x3 是方程 3xa0 的解，则 a 的值是( ) A9 B6 C9 D6 【思路导引】方程的解定能满足方程，代入求解即可 【解析】选 C.把 x3 代入方程 3xa0 得：9a0，解得：a9. 一元二次方程的解集 【典例】解下列一元二次方程： (1)2x27x30； 【思路导引】(1)(2)直接利用十字相乘法解方程，(3)(4)移项合并同类项后，再利用 十字相乘法解方程 【解析】原方程化为(2x1)(x3)0，解得 x1 2 或 x3，所以原方程的解 集为 3，1 2 . (2)2x27x30； 【解析】原方程化为(2x1)(x3)0， 解得 x1 2 或 x3， 所以原方程的解集为 1 2，3 . (3)3x24x40； 【解析】原方程化为 3x24x40， 即(3x2)(x2)0， 解得 x2 3 或 x2， 所以原方程的解集为 2，2 3 . (4)6x(x2)x4. 【解析】原方程化为 6x211x40， 即(2x1)(3x4)0， 解得 x1 2 或 x 4 3 ， 所以原方程的解集为 1 2， 4 3 . 分类讨论思想的应用 【典例】解方程 ax2(a1)x10. 【思路导引】把二次项系数分为 a0 和 a0 两种情况讨论，第一种情况是解一元 一次方程，第二种情况是解一元二次方程 【解析】当 a0 时，原方程可化为x10， 所以 x1， 当 a0 时， 对于 ax2(a1)x1 来说， 因为 a 1a， (1) (1)1， a (1)1 ( 1)(a1).如图所示： ax2(a1)x1(ax1)(x1)， 所以原方程可化为(ax1)(x1)0， 所以 ax10 或 x10， 所以 x1 a 或 x1. 1利用因式分解法解一元二次方程的步骤 (1)将方程的右边化为 0； (2)将方程的左边进行因式分解； (3)令每个因式为 0，得到两个一元一次方程； (4)解一元一次方程，得到方程的解 2对于二次三项式分解因式的注意事项 对于二次三项式，采用十字相乘法分解因式时，要注意把二次项系数和常数项分 解，交叉相乘，两个因式的和正好等于一次项系数注意，交叉相乘横着写 3形如 ax2bxc0(含参)的方程的解法 方程的二次项系数中含有参数时，要讨论二次项系数是否可以等于零，当二次项 系数等于零时，讨论方程变为一元一次方程或其他情况，当二次项系数不为 0 时， 解一元二次方程 1多项式 x5 与 2x8 互为相反数，则 x( ) A1 B0 C1 D2 【解析】选 C.根据题意得：x52x80，移项合并得：3x3，解得 x1. 2求下列方程的解集： (1)5x22x1 4 x 22x3 4 . (2)12x25x20. 【解析】(1)移项、合并同类项，得 4x210. 因式分解，得(2x1)(2x1)0. 于是得 2x10 或 2x10，即 x1 2 或 x 1 2 ， 因此方程的解集为 1 2， 1 2 . (2)分解因式得： 12x25x2(3x2)(4x1) 3 (1)4 25 因为 12x25x20，所以(3x2)(4x1)0， 所以 3x20 或 4x10， 即 x2 3 或 x 1 4 ，因此方程的解集为 2 3， 1 4 . 3.解方程 12x2axa20. 【解析】当 a0 时，原方程可化为： 12x20，所以 x0，当 a0 时，因为 3 412，a aa2，3 a4 (a)3a 4aa，如图所示 所以 12x2axa2(3xa)(4xa)， 所以原方程可化为(3xa)(4xa)0. 所以 3xa0 或 4xa0，所以 x1a 3 ，x2 a 4 . 【补偿训练】 (2020 苏州高一检测)若方程(x2)(3x1)0，则 3x1 的值为( ) A7 B2 C0 D7 或 0 【解析】选 D.由方程(x2)(3x1)0， 可得 x20 或 3x10，解得 x12，x21 3 ， 当 x2 时，3x13 217； 当 x1 3 时，3x13 ( 1 3 )10. 备选类型备选类型 方程的解的应用方程的解的应用(数学建模、数学运算数学建模、数学运算) 【典例】我市某楼盘准备以每平方米 15 000 元的均价对外销售，由于国务院有关 房地产的新政策出台后，购房者持币观望，为了加快资金周转，房地产开发商对 价格按同一百分率经过连续两次下调后，最终以每平方米 12 150 元的均价销售， 则平均每次下调的百分率是( ) A8% B9% C10% D11% 【思路导引】设出每次下调的百分率，根据原价及两次下调后的价格列出关系式， 求得方程的解 【解析】选 C.设平均每次下调的百分率为 x， 则：15 000 (1x) (1x)12 150， 所以(1x)20.81，所以 1x0.9 或 1x0.9， 。
