信号系统-7讲述

第七章 离散信号与系统时域分析 7-0 引言 一、在信号与系统的研究中，以新的观点---数字信号处理 (Digital Signal Processing,DSP)的观点来认识和分析各种问题； 二、离散时间信号与系统的分析方法与连续时间信号与系统 的分析方法在许多方面有着并行的相似性； 1、信号分析：时域、频域； 2、离散时间系统用差分方程描述，差分方程的求解与微分 方程的求解在相当大程度上是一一对应的； 3、卷积和分析法在离散时间系统中有着相当重要的地位； 4、全响应的分解； 5、在离散时间系统中，同样用各种变换域方法和系统函数 的概念，如z变换、离散傅立叶变换、沃尔什变换、离散余 弦变换等； 四、二者在理论上存在很多差异，如数学模型的建立和求解，系 统性能分析和系统实现原理等由于差异的存在使得离散系统表 现出某些独特的性能； 五、与连续系统相比有许多优点，如： 1、容易做到精度高、可靠性好，便于实现大规模集成，从而 在重量和体积方面有其优越性； 2、数字系统容易运用可编程技术，借助软件控制，修改系统 的各种需求，改善了系统的灵活性和通用性； 六、离散系统不能完全取代连续系统；如A/D、D/A，高频信 号的处理。

三、对连续信号的抽样，只是给出离散信号的方式之一，离散 信号源更一般的例子如数字计算机系统输入、输出信号； 7-1 离散时间信号 一、定义: 只在一系列离散的 时间点上才有确定值的信号 取样间隔为均匀间隔T，得到抽样信号： f(kT)或f(nT) 而在其它的时间上无意义，因此它在时间上是不连续的序列, 是离散 时间变量的tk函数 获取方法： 1）直接获取 2）连续信号取样 表示方法： 1）图形表示 2）数据表格 k 1 2 3 4 5 6 7 u(k ) 1.21.41.31.71.11.91.8 3）序列表示 简化记为f(k)或f(n) 1.5 1 2 2 1 0.5 4）函数表示 K或n只能取整数 例: 试写出其序列形式并画出图形 解：序列形式 波形： 序列的几种形式 单边序列： 双边序列：-

其中U(k)为： 三、离散信号时域运算 1.相加: 用同序号的值对应相加后构成新的序列 y(k)=f1(k)+f2(k) 2.相乘: 同序号的数值对应相乘后构成新的序列 y(k)=f1(k)f2(k) 3、数乘: 完成序号值的比例运算 y(k)=Af(k) 4、累加和: 序号前k项值累加得到一个新序列 5.差分: 序列与其移序序列的差而得到一个新序列 一阶后向差分： 一阶前向差分： 二阶后向差分： 二阶前向差分： 前向差分用在状态变量法较为方便， 后向差分用在分析单输入单输出系统较为方便 四、离散信号时域变换 1.移序: y(k)=f(k-m) 2.折叠: y(k)=f(-k) 3.倒相: y(k)=-f(k) 4.展缩: y(k)=f(ak) （横坐标k只能取整数） 注意：压缩后不能恢复原序列； 2 4 6-2 f(0) f(-1) f(1 ) f(2) f(3 ) k 1.单位序列（单位取样序列、单位脉冲序列、单位函数） 推广： 性质： (k) 类似于(t)， 但二者有较大差别： 五、常用离散信号 (t) ：奇异信号，数学抽象函数； (k)：非奇异信号，可实现信号。

(t)用面积（强度）表示， (幅度为,强度为有限值) (k)的值就是k=0时的瞬时值（不是面积） 利用单位序列(k)表示任意序列： 例： 2.单位阶跃序列 U(k)可以看作是无穷个出现在不同时刻的单位序列信号之和 推广：性质： U(t) ：奇异信号，数学抽象函数； U(k)：非奇异信号，可实现信号 U(k) 类似于U(t)， 但二者有较大差别： 如： 3.单位矩形序列（单位门序列） 4.单位斜坡序列 5.单边指数序列 6.正弦序列 例：  =0.2 N=10 其中：为正弦序列的数字角频率，单位为rad 如： 与连续正弦信号 存在很大差异 永远是周期的； 离散正弦序列的举例： 以Ts为抽样间隔时间： 模拟角频率： 令： （数字角频率） 连续时间信号： 则： 抽样间隔Ts必须满足： 为正整数之比，得到的正弦序列才为周期的 采样周期：Ts=4/3(s) t/s 24680 k 12 4 3 56 0 1 1 1 -0.5 -0.5-0.5 -0.5 计算：当采样周期： Ts=8/3(s)，N=? 7.虚指序列 为正整数之比，才为周期的。

与连续时间信号差别： 1）连续时间信号的越大，信号震荡的频率就越高， 而对于离散信号 周期为 2）连续时间信号对于任何都是周期的，对于离散信号的 取值要满足2/为整数之比 分析ejk时，仅在2间隔内选择一般选 关于离散虚指信号振荡速率问题： 为直流 为直流 由0到增加， f(k)=ejk 的振荡速率变大， =时 振荡速率最大 由到2增加， f(k)=ejk 的振荡速率变小 23 离散复指信号的低频部分 (慢变化部分)是 在的 偶数倍附近，高频部分是 在的奇数倍附近 由0到增加， f(k)=ejk 的振荡速率变大， =时 振荡速率最大 由到2增加， f(k)=ejk 的振荡速率变小 动态系统 静态系统 7-2 离散时间系统基本概念 一、定义： 激励、响应均为离散时间信号的系统 二、分类： 线性系统： 时不变系统： 因果系统： 时不变系统 时 变 系 统 稳定系统 不稳定系统 线性系统 非线性系统 因果系统 非因果系统 k0时刻的响应只与k=k0和 k

离散离散LTILTI因果系统的充要条件是：当因果系统的充要条件是：当k<0k0， f(k)=(k) =0，故可将(k)的作用等效为系统响应的初始值 ，等效初值为h(0)、、h(n-1)，h(k)形式与零输入响应形式相同（方程 右边不含f(k)的移序序列）即有： （3）传输算子法： A=1 由迭代法 同理： 理解一： 由时不变性： 理解二： 其它形式： 因果系统： 2、高阶系统：递推法、等效初值法、传输算子法 解： 例1：求单位序列响应h(k)，已知描述因果系统的差分方程为 递推求初值： 代入通解求待定系数： 用等效初值法求单位序列响应 [二阶系统，等效初值h(0)和h(1)] 例2：已知描述因果系统的差分方程为 用递推法和等效初值法求单位序列响应 解：递推法 由 得 等效初值法: 通解： 代入初始条件： 传输算子： 例3：求系统单位序列响应h(k)，已知描述因果系统的传输 算子为 解： 求h(k) 将H(E)展开成最简单形式，如： 也可以用传输算子法 用等效初值法 方法二： 方法三： 7-6 离散系统时域卷积和分析法 一、离散时间信号时域分解 右序列： 例： 三、卷积和的性质三、卷积和的性质 1.交换律： 2. 2. 分配律：分配律： 3. 3. 结合律：结合律： 4、延时性： 若： 有： 二、卷积和定义 两个离散时间信号f1(k)和f2(k)，卷积和运算定义为： 四、卷积和的几何意义四、卷积和的几何意义 例：例：卷积和卷积和y(k)=f(k)*h(k)y(k)=f(k)*h(k) y(k)长度为N1+N2-1 五、常用信号的卷积和五、常用信号的卷积和 2、f(k)与单位阶跃序列卷积 1、f(k)与单位序列信号卷积 3、akU(k)与U(k)卷积 4、akU(k)与akU(K)卷积： 其余为零。

其余为零 5. 证明延时性： 若： 有： 证： 六、卷积和的计算六、卷积和的计算 1．利用定义计算 2. 2. 利用常用信号卷积与有关性质计算利用常用信号卷积与有关性质计算 3. 3. 利用图解法计算利用图解法计算 例：已知f(k)={…, 0 , 3 , 2 , 1 , 0…}, h(k)= (0.5)kU(k), 求y(k)=f(k)*h(k). 1）f(k)、h(k) f(m)、 h(m) 2） h(m) h(-m) （折叠） 3） h(k-m) （平移） 4） f(m) h(k-m) （相乘） 5） 求和计算 4. 4. 利用列表法计算利用列表法计算 利用： 例例1 1：：用图解法求图示信号的卷积和用图解法求图示信号的卷积和y(k)=f(k)*h(k)y(k)=f(k)*h(k) 0.120.090.060.03 0 0.080.060.040.02 0.08 0.06 0.04 0.02 0.08 0.06 0.04 0.02 0.04 0.03 0.02 0.01 例2：利用列表法求： y(k)的第一个非零值的序号为f(k)和h(k)第一个非零值序号之和。

0000 0 0000 0 0.06 0.04 0.02 0 0.06 0.04 0.02 0 0.03 0.02 0.01 1、两序列均从0 开始排 2、找相同序号对 角线，把对角线上 的数字相加，即为 y(k)值 3、y(k)的序号为 对角线序号 4、不从0的排法： 从f(k)和h(k)第一 个非零值序号较小 的开始 5、y(k)的第一个 值的序号为f(k)和 h(k)第一个非零 值序号之和 七、离散系统卷积和分析七、离散系统卷积和分析 yf (k)=f(k)*h(k) (k) h(k) (k-m)  h(k-m) f(m)(k-m)  f(m)h(k-m) 系统的零状态响应为激励函数与系统单位序列响应的卷积 1、系统零状态响应 (k) h(k) 由线性性和时不变性： f (k) yf (k) 例1： 解: 例2:已知系统的激励和单位响应分别为 解: 2、离散系统的卷积和分析举例 和 求系统的零状态响应 求系统的零状态响应 例3： 解： 例4: 解: 例例5 5：：图示系统。

1）求H(E)和差分方程； 2）求单位序列响应h(k)； 3) 求单位阶跃响应g(k) 解： 本章要点 1、离散信号基本概念：定义、分类、常用离散信号特性{(k)、 U(k)、akU(k)、GN(k)、cosk、ejk等} ； 2、离散信号时域变换与运算：折叠、时移、展缩、倒相；相加、相 乘、数乘、差分和累加和； 3、离散系统的基本概念：定义、分类、线性时不变系统的特性； 4、时域经典法：差分方程与传输算子、差分方程求解、系统自然频 率及其求解方法、全响应三种分解形式； 5、时域卷积和法： h(k)求解方法、零状态响应卷积和计算（卷积 和定义、运算规律、主要性质、计算方法） 补充：例1：求零状态响应y(k) 解: 例２： 图示两个子系统级联组成一个系统，其中 解: 分别求两个子系统和级联组成系统的单位序列响应 例３： 图示两个系统，它们分别由几个子系统一个，其中 证明: 证明两个系统是等效的，并求单位序列响应 可见两个系统等效 87 ， ， （1）当两个系统的输入皆为U(k) 时，求系统的零状态响应； （2）判断两个系统是否等效 例4: 如图所示两个系。