第一章 集合 (Set)第一节 集合的根本概念 1.1 个体与集合之间的关系 1.2 集合的表示法 1.3 集合与集合之间的关系 1.4 幂集第二节 集合的根本运算 2.1 集合的补运算 2.2 集合的交运算和并运算 2.3 集合的宏运算 1.1 个体与集合之间的关系什么是集合，关于集合的各种不同说法如下1.莫斯科大学的那汤松教授说： 凡具有某种特殊性质的对象的聚集称之为集2.复旦大学的陈建功教授说： 凡可供吾人思维的，不管它有形或无形，都叫做物具有某种条件的物，称它们的全部谓之一集3.南开大学的杨宗磐教授说： 集就是“乌合之众不考虑怎样“乌合起来的，众可以详细，可以抽象4. 集合论之父 G.Cantor1845-1918说： 集是由总括某些个体成一个整体而成的对于每个个体，只设其为可考虑对象，区分它的异同个体之间并不需要有任何关系 综上所述集合的概念有三要素 1. 个体元素 2. 个体的可识别性 3. 集合动词 通常用小写拉丁字母表示个体：a、b、c、d 通常用大写拉丁字母表示集合：A、B、C、D 个体与集合之间的关系称为属于关系 对于某个个体a和某个集合A而言，a只有两种可能 1a 属于A，记为 aA，称a是A中的元素。
2a 不属于A，记为 aA ，称a不是A中的元素 判断个体 a 属于A还是不属于A，必须使用个体的可识别性，而且个体的可识别性是无二义性的，即或者 a 属于 A或者 a 不属于A，二者居其一且只居其一 关于个体的识别有赖于各方面的公认的知识集合名词1.2 集合的表示法 文字表示法 用文字表示集合的元素，两端加上花括号 在座的同学 高等数学中的积分公式 元素列举法 将集合中的元素逐一列出，两端加上花括号 1，2，3，4，5 风，马，牛 2，4，6，8，10， 谓词表示法 xp(x) p 表示 x 所满足的性质 xx2 = 1 yy 是开区间 (a,b) 上的连续函数 使 x2 = 1 的实数 1，-1 xx2 = 1 集合的特殊情况 不含任何元素的集合称为空集，记为 或 只含一个元素的集合称为单元素集，记为 a 含讨论问题所需全部元素的集合称为全集，记为X1.3 集合与集合之间的关系 定义1 设A，B是两个集合 1假设对于A中的每个元素x，都有x属于B，那么称A包含在B中，记为AB同时称A是B的子集 2假设A中的每个元素都属于B，且B中的每个元素都属于A，那么称A等于B，记为A=B。
子集的两种特殊情况平凡子集： 1空集是任一集合的子集 2每个集合是它自己的子集集合与集合之间的关系称为包含关系1.4 幂集 定义2 设A是集合，A的所有子集组成的集合称为A的幂集，记为 2A 2A = x x A 定理1 设集合A是有限集合， A = n，那么 2A = 2 A 定理2 设 A,B 是两个集合那么 A=B 当且仅当 2A = 2B第二节 集合的根本运算2.1 集合的补运算一元运算定义1 设X是集合，A是X的子集 A= x xX xA 称A是A关于X的补集，称 为补运算定理1 设X是集合，A，B是X的子集那么 1(A) =A； 2假设A B，那么B A； 3假设A = B，那么A= B ； 4X= ，=X2.2 集合的交运算和并运算定义2 设A，B是两个集合 1AB = xxAxB ，称AB为A与B的交集，称为集合交运算 2AB = xxAxB ，称AB为A与B的并集，称为集合并运算定理2 设X是全集，A，B，C是X的三个子集合，那么 1AA=A， AA=A 2AA = ， AA =X 3AX=A， AX=X 4A = ， A =A 5AB= BA， AB= BA 6(AB) C = A (BC), (AB) C = A (BC) 7A(B C) = (AB) (AC) A(B C) = (AB) (AC) 定理3 设A，B，C为三个集合，那么 1A AB， AB A； 2假设 A C 且 B C，那么 AB C； 3假设 C A 且 C B，那么 C AB 。
定理4 设A，B为两个集合，那么下面三式等价 1A B 2AB = B 3) AB=A 定理5 设A，B为两个集合，那么 1( AB) = AB 2( AB) = AB 2.3 集合的宏运算 定义3 设A,B是两个集合，AB = xxAxB ，称 AB 为 A 和 B 的差集，称 为集合差运算 由差运算、交运算、补运算的定义知 AB = AB 由于差运算可以由并、交、补运算线性表出，因此称差运算为宏运算 请问：并、交、补三个运算是线性无关的吗？ 定理6 设X是全集，A,B,C是X的三个子集合，那么 1) AB A ； 2) AA = ； 3) XA = A ；AX = ； 4) A = A ； A = ； 5) A(BC)= (AB) ( AC) ； 6) A(BC)=(AB)(AC) 7) (AB)C=A(BC) ； 8) A(BC) = (AB) (AC) ； 9) A(BC) = (AB)(AC) 2.4 集合的环和对称差运算定义4 设A,B是两个集合， AB = x(xAxB) (xBxA) 称AB为A和B的环和集，称为集合环和运算 由环和运算和并、差运算的定义知 AB= (AB)(BA) 由环和运算和并、交、补运算的定义知 AB= (AB)(BA) 因此环和运算也是宏运算。
定理7 设X是全集，A，B，C是X的三个子集合，那么 1AB = (AB)(AB) = (AB)(AB) ； 2A = A ；AX = A ； 3AA = ；AA= X ； 4AB = AB ； 5(AB) = AB = AB ； 6 AB = BA ； 7 A(BC) = (AB)C ； 8 A(BC) = (AB)(AC) ； 9假设 AB = AC，那么B=C 2.5 集合的环积运算定义5 设A，B是两个集合， AB = x(xAxB) (xBxA) 称 A B 为A和B的环积集，称为集合环积运算 由环和运算和环积运算的定义知 AB= (AB) 由环积运算和并、交、补运算的定义知 AB= (AB)(BA) 因此环积运算也是宏运算定理8 设X是全集，A,B,C是X的三个子集合，那么 1) AB = (AB) = AB = AB ； 2) A = A ；AX = A ； 3) AA = X ；AA= ； 4) A B = AB ； 5) (AB) = AB = AB ； 6) AB = BA ； 7) A(BC) = (AB) C ； 8) A(BC) = (AB)(AC) 。