第六章第六章 谐振与互感电路谐振与互感电路谐振与互感电路谐振与互感电路6.1谐振电路6．2互感电路6．3变压器习题第第6 6章章 谐振与互感电路谐振与互感电路 第六章第六章 谐振与互感电路谐振与互感电路谐振与互感电路谐振与互感电路本章概要Ø串联谐振、并联谐振 Ø互感系数、耦合系数 Ø同名端及电压与电流关系的相量形式 Ø互感线圈的连接 Ø空心变压器 Ø理想变压器 第六章第六章 谐振与互感电路谐振与互感电路谐振与互感电路谐振与互感电路6.16.1谐振电路谐振电路谐振电路谐振电路6.1.1串联谐振6.1.2并联谐振 第六章第六章 谐振与互感电路谐振与互感电路谐振与互感电路谐振与互感电路6.1.16.1.1串联谐振串联谐振串联谐振串联谐振“谐振”，谐波共振的简称是正弦电流在电路中可能产生的一种特殊现象１．串联谐振的条件１．串联谐振的条件由电阻、电感和电容构成的串联电路如图6－1所示电路中的阻抗为 图6－1 RLC串联电路在ＲＬＣ串联电路中，当X=XL-XC=0时, 电路相当于“纯电阻”电路, 其总电压u和总电流i同相 电路出现的这种现象称为“谐振可见串联谐振的一般条件是当电路L、C一定时，有或电路谐振的条件可以认为是，激励的频率与电路的固有频率相等。
调谐过程就是使二者由不相等达到相等的过程 第六章第六章 谐振与互感电路谐振与互感电路谐振与互感电路谐振与互感电路２．串联谐振的特点２．串联谐振的特点由谐振条件 或 可知串联谐振电路的主要特征有： （1）电路阻抗最小且呈纯阻性2）谐振时，电路中的电流最大，叫谐振电流，且与电源电压同相3）谐振时的电压特点 特性阻抗串联谐振的电压品质因数 第六章第六章 谐振与互感电路谐振与互感电路谐振与互感电路谐振与互感电路3.串联谐振的谐振曲线串联谐振的谐振曲线(1)频率特性曲线 把电路的电压、电流、阻抗、随正弦激励的频率而变化的关系称为频率特性或频率响应用复数表示的量，其模值随频率变化的特性称为幅频特性，其幅角随频率变化的特性称相频特性用来表示幅频特性、相频特性的曲线，分别称为幅频特性曲线、相频特性曲线 (2)电流谐振曲线电流的频率特性曲线又称电流谐振曲线，如图6-4所示图6-4 电流的谐振曲线 第六章第六章 谐振与互感电路谐振与互感电路谐振与互感电路谐振与互感电路6.1.26.1.2并联谐振并联谐振并联谐振并联谐振１．并联谐振的条件１．并联谐振的条件图6－5 RLC并联电路 在图6-5中R、L、C三支路的导纳分别为端口的总导纳为电路发生谐振时，电压与电流同相，电路呈阻性，此时Y中的虚部应为零，即或者 所以，，称为RLC并联电路的谐振条件。
第六章第六章 谐振与互感电路谐振与互感电路谐振与互感电路谐振与互感电路2．并联谐振的特征．并联谐振的特征（1）XL=XC，|Z|=R，电路阻抗为纯电阻性2）谐振时，因阻抗最大，在电源电压一定时，总电流最小，其值为：（3）电感和电容上电流相等，其电流为总电流的Q倍，即：式中Q称为并联谐振电路的品质因素，其值为： 因为纯电阻电路，故总电流与电源电压同相4）谐振时激励电流全部通过电阻支路，电感与电容支路的电流大小相等，相位相反，使图6-5中A、B间相当于开路，所以并联谐振又称为电流谐振 第六章第六章 谐振与互感电路谐振与互感电路谐振与互感电路谐振与互感电路３．工程上的并联谐振电路３．工程上的并联谐振电路由电感线圈与电容器组成并联谐振电路在工程中有广泛应用，其实际电感线圈的电阻不可忽略，与电容器并联后，电路如图６-７所示 图6－7 并联谐振电路电路中的总导纳 当电压与电流同相时，电路发生谐振，要使电路发生谐振，必须使电路总导纳的虚部为零，即 由上式得并联谐振电路的谐振频率 第六章第六章 谐振与互感电路谐振与互感电路谐振与互感电路谐振与互感电路 从谐振频率的式中可以看出，谐振频率只与电路的参数有关，只有当 ，即 时为实数 ，电路才能发生谐振；如果 ， 为虚数，电路不可能发生谐振。
在实际电路中，线圈中的电阻R一般都比较小，而 较大所以 项可以忽略不计，并联的谐振频率为 （6-13） 第六章第六章 谐振与互感电路谐振与互感电路谐振与互感电路谐振与互感电路6 6．．．．2 2互感电路互感电路互感电路互感电路6.2.1 互感（互感系数、耦合系数）6.2.2 同名端及电压与电流关系的相量形式6.2.3互感线圈的连接 第六章第六章 谐振与互感电路谐振与互感电路谐振与互感电路谐振与互感电路6.2.16.2.1 互感（互感系数、耦合系数） 互感（互感系数、耦合系数） 互感（互感系数、耦合系数） 互感（互感系数、耦合系数）1．互感．互感在图6-８中，两个线圈相互靠近，当线圈1中通以交变电流i1 时，产生磁通Φ11 ，Φ11有一部分穿过线圈2同理，当线圈2中通以交变电流i2时产生磁通Φ22，也会有一部分通过线圈1由于线圈1的电流i1的变化将会引起线圈2的磁通的发生变化，从而圈2中产生的电压叫互感电压。
同理，线圈2中电流i2的变化，也会圈1中产生互感电压这种由一个线圈的交变电流在另一个线圈中产生感应电压的现象叫做互感现象在互感电路中，用双下标表示互感的磁通、感应电压等双下标的含义为第一个下标表示该量所圈的编号，第二个下标表示产生的原因所圈的编号例如Φ21表示由线圈1产生的穿过线圈2的磁通图 6－8 互感现象 第六章第六章 谐振与互感电路谐振与互感电路谐振与互感电路谐振与互感电路2．互感系数．互感系数 与自感磁链类似，在上图中由线圈1产生的穿过线圈2的磁链Ψ２１与线圈１的电流i1成一定的比例，即 M21叫做线圈1对线圈2的互感系数，简称互感同理，线圈2对线圈1的互感定义为如果线圈周围的磁介质都是线性的，M12 和M21 的大小就和电流无关，为常数且可以证明M12 和M21 相等，即 （6-14） M称为线圈１和线圈２之间的互感系数，简称互感单位是亨(H) 第六章第六章 谐振与互感电路谐振与互感电路谐振与互感电路谐振与互感电路3．耦合系数．耦合系数不同耦合线圈的互感磁通，在一般情况下是不相同的。
两耦合线圈相交链的磁通越多，说明两个线圈耦合越紧密为表示两个线圈磁耦合紧密的程度，引入系数k来表示耦合系数定义为k的大小由两个线圈的结构、相互位置及线圈周围的磁介质等决定，且有０≤k≤１如k＝０，表示两个线圈间无磁耦合，如Ｋ＝１，称两个线圈为全耦合 例６例６-４４已知两耦合线圈的L1=0.04H，L2=0.06H，k=0.4，试求其互感解 由式 得 第六章第六章 谐振与互感电路谐振与互感电路谐振与互感电路谐振与互感电路6.2.26.2.2 同名端及电压与电流关系的相量形式 同名端及电压与电流关系的相量形式 同名端及电压与电流关系的相量形式 同名端及电压与电流关系的相量形式1．电压与电流关系．电压与电流关系当线圈1中通以电流i1，自感磁链会圈1两端产生自感电压，如图6-9（a）所示，如果取电压与电流为关联参考方向，根据楞次定律，线圈1的自感电压uＬ1为：同时，互感磁链会圈2两端产生互感电压u21，如图a互感电压与互感磁链符合右手螺旋定则时，互感电压u21 为：否则，如图b 所示，互感电压u21 为： 图 6－9 互感线圈 第六章第六章 谐振与互感电路谐振与互感电路谐振与互感电路谐振与互感电路 当两个线圈同时通以电流时，每个线圈两端的电压将会如何变化？在不考虑磁饱和的情况下，每个线圈两端的电压将由自感电压和互感电压两部分组成，即 上式中自感电压的正负取决于本电感的u、i的参考方向是否关联，若关联，自感电压取正；反之取负。
当线圈中的电流为正弦交流时，其电压、电流的相量关系如下： 第六章第六章 谐振与互感电路谐振与互感电路谐振与互感电路谐振与互感电路2．同名端互感线圈的同名端是指：当两个互感线圈分别从各自的一端通进电流，如果产生的磁通方向一致（或磁场相互增强），那么，这两个流入(或流出)电流的端钮就是同名端；如果磁通相互削弱，则两电流同时流入(或流出)的端钮就是异名端同名端用标记“·”或“*”标出当然另两个端钮也是同名端，无须再作标识图6-10中标出了几种不同相对位置和绕向的互感线圈的同名端从图中可知：同名端实际上是反映互感线圈的绕向及相对位置的 第六章第六章 谐振与互感电路谐振与互感电路谐振与互感电路谐振与互感电路3．实验方法判断同名端在实际电路中（如电动机等），互感线圈的结构无法知道时，可以用实验方法来判断实验装置如图6-11所示，其中L1和 L2为两个待测线圈，线圈1通过开关S与电源相接，线圈2与电流表相接当开关S快速合上时，如果电流表正偏，则a端和c端为同名端；反之，如电流表反偏，则a端和d端为同名端图6-11实验法判断同名端 第六章第六章 谐振与互感电路谐振与互感电路谐振与互感电路谐振与互感电路6.2.36.2.3互感线圈的连接互感线圈的连接互感线圈的连接互感线圈的连接1.互感线圈的顺向串联 两将线圈的异名端相连，为顺向串联。
根据基尔霍夫电压定律可得线圈两端的总电压为 式中 Ls为互感线圈顺向串联的等效电感 第六章第六章 谐振与互感电路谐振与互感电路谐振与互感电路谐振与互感电路2. 互感线圈的反向串联两将线圈的同名端相连，为反向串联反向串联电路的总电压为 式中Lf为两个互感线圈反向串联后的等效电感 第六章第六章 谐振与互感电路谐振与互感电路谐振与互感电路谐振与互感电路3．互感线圈的并联 互感线圈的并联也有两种接法，一种是两个线圈的同名端相连，称为同侧并联，如图6-14(a)所示；另一种是两个线圈的异名端相连，称为异侧并联，如图6-14(c)所示由基尔霍夫定律得 第六章第六章 谐振与互感电路谐振与互感电路谐振与互感电路谐振与互感电路由电流方程可得 将其分别代入电压方程中，则有 根据上述电压、电流关系，按照等效的概念，图6-14(a)所示具有互感的电路就可以用图6-14(b)所示无互感的电路来等效，这种处理互感电路的方法称为互感消去法图6-14(b)称为图6-14(a)的去耦等效电路由图6-14(b)可以直接求出两个互感线圈同侧并联时的等效电感为 其异侧并联的去耦等效电路如图6-14(d)所示。
同理可以推出互感线圈异侧并联的等效电感为 第六章第六章 谐振与互感电路谐振与互感电路谐振与互感电路谐振与互感电路6.3 6.3 变压器变压器变压器变压器6.3.1空心变压器6.3.2理想变压器 第六章第六章 谐振与互感电路谐振与互感电路谐振与互感电路谐振与互感电路6.3.16.3.1空心变压器空心变压器空心变压器空心变压器空心变压器的电路如图6-16（a）所示，R1和L1是初级线圈的等效电路，R2，L2为次级线圈等效电路的参数，M为两个线圈的互感由于变压器的利用电磁感应原理工作，可以采用耦合电感来分析空心变压器 第六章第六章 谐振与互感电路谐振与互感电路谐振与互感电路谐振与互感电路根据基尔霍夫电压定律可以写出空心变压器的初、次级回路的电压方向如下：令Z11 = R１+ jωL1,为初级回路自阻抗，Z22 = R2+jωL2+ZL，为次级回路自阻抗，ZM = jωM，为初、次级回路间的互阻抗则（6-27）式为 解方程（6-28）得（6-29） 第六章第六章 谐振与互感电路谐振与互感电路谐振与互感电路谐振与互感电路在式（6-29）中 表达式可以看出原边的等效阻抗由两部分组成，Z11和副边对原边的反映阻抗（又称反射阻抗、引入阻抗）Zr1。
从电源端看，原边等效电路相当于在原边串联了一个阻抗Zr1 ，如图所示6-17 图6-17 空心变压器的等效电路 从（6-29）式中I2 的表达式中可得出次级的等效电路如图6-17 所示次级等效还可以用戴维南定理求出 第六章第六章 谐振与互感电路谐振与互感电路谐振与互感电路谐振与互感电路6.3.26.3.26.3.26.3.2理想变压器理想变压器理想变压器理想变压器1． 理想变压器的变压作用图6-19所示为一铁芯变压器的示意图N1、N2分别为初、次级线圈的匝数根据电磁感应定律，和理想变压器的条件（1），有所以得理想变压器的变压关系式为 式中n称为变比,它等于初级线圈与次级线圈的匝数比,是一个常数 第六章第六章 谐振与互感电路谐振与互感电路谐振与互感电路谐振与互感电路2．理想变压器的变流作用 根据理想变压器的条件（2）和（3），可得无损耗互感线圈端电压的相量式为 因为k=1，即 则 根据上两式得： 在理想变压器中进行电压、电流的计算时，要根据变压器的同名端来确定变压、变流关系式中的正、负号原则是： （1）两端口电压的极性对同名端一致的，则关系式中冠正号，否则冠负号； （2）两端口电流的方向对同名端相反的，则关系式中冠正号，否则冠负号。
第六章第六章 谐振与互感电路谐振与互感电路谐振与互感电路谐振与互感电路3．理想变压器的阻抗变换 如图6-20（a）所示为理想变压器电路，若在次级接负载ZL，这时从初级看进去的输入阻抗为由式（6-36）可知，所示含理想变压器电路初级等效电路如图6-20(b)所示 图6-20 理想变压器阻抗变换 第六章第六章 谐振与互感电路谐振与互感电路谐振与互感电路谐振与互感电路6-1 如图6-1所示电路外加 的电压，调节C使回路谐振时，有电流 及电容电压为100V 图6-1 题6-1图(1)求回路的参数R，L，C；(2)回路的品质因数Q6-2 如图6-2所示，图（a）为串联谐振电路，图（b）为谐振曲线，求电路参数R，C，和品质因数Q图6-2 题6-2图 第六章第六章 谐振与互感电路谐振与互感电路谐振与互感电路谐振与互感电路6-3已知在图6-3所示的电路中，U=10V，ω=1rad/s，L1=L2=1H，C1=C2=1F求电流表的读数6-4如图6-4电路中求发生谐振时的角频率。
图6-3 题6-3图 图6-4 题6-4图 第六章第六章 谐振与互感电路谐振与互感电路谐振与互感电路谐振与互感电路6-5在并联谐振电路中如图6-5所示，R=1Ω，L=10mH，C=1μF，设 ，求谐振时，电路中的电流 图6-5 题6-5图 图6-6题6-6图6-6 如图6-6所示，已经R=100Ω，当电源频率ω=105rad/s时，电路的输入阻抗 Ω，试求L及C的 值 第六章第六章 谐振与互感电路谐振与互感电路谐振与互感电路谐振与互感电路6-7在图6-7中，L= 0.2 H，R1=20Ω，C=4μF，R2=500Ω，U=100V，求电路发生谐振时的角频率及电阻R2上的电压6-8在图6-5所示电感线圈与电容器构成的LC并联谐振电路，已知R = 10 ，L = 80 H，C = 320 pF 试求：(1) 该电路的固有谐振频率f0、通频带B与谐振阻抗|Z0|；(2) 若已知谐振状态下总电流I = 100 A，则电感L支路与电容C支路中的电流IL0、IC0为多少？6-9写出如图6-8所示互感线圈端电压u1和u2的表达式。
图6-8题6-9图 第六章第六章 谐振与互感电路谐振与互感电路谐振与互感电路谐振与互感电路6-10如图6-9所示具有互感的正弦电路中，已知XL1=10Ω，XL2=20Ω，XC=5Ω，耦合线圈互感抗XM=10Ω，电源电压 ，RL=30Ω，求电流 26-11如图6-10中，已知 ，求 6-12如图6-11中，R2=R3=3Ω，ωL2 =ωL3 = 4Ω，ωM = 2 Ω， ，求开路电压 图6-9题6-10图 图6-10 题6-11图 图6-11 题6-12图 第六章第六章 谐振与互感电路谐振与互感电路谐振与互感电路谐振与互感电路6-13如图6-12所示含理想变压器电路中 ，求电压表的读数6-14含理想变压器的电路如图6-13所示，求 6-15试求如图6-14电路中的图6-12 题6-13图 图6-13题6-14图图6-14 题6-15图 。