第 66 专题训练直线与圆位置关系 一、基础知识: 1、定义 :在平面上到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆 2、圆的标准方程:设圆心的坐标,C a b,半径为r,则圆的标准方程为: 22 2 xaybr 3、圆的一般方程:圆方程为 22 0 xyDxEyF (1) 22 ,xy的系数相同 (2)方程中无xy项 (3)对于,D E F的取值要求 : 22 40DEF 4、直线与圆位置关系的判定:相切 ,相交 ,相离 ,位置关系的判定有两种方式: (1)几何性质 :通过判断圆心到直线距离与半径的大小得到直线与圆位置关系,设圆的半径为r, 圆心到直线的距离为d,则: 当rd时,直线与圆相交 当rd时,直线与圆相切 当rd时,直线与圆相离 (2)代数性质 :可通过判断直线与圆的交点个数得到直线与圆位置关系,即联立直线与圆的方程, 再判断解的个数设直线:0AxByC,圆: 22 0 xyDxEyF,则 : 22 0 0 AxByC xyDxEyF 消去y可得关于x的一元二次方程,考虑其判别式的符号 0,方程组有两组解,所以直线与圆相交 0,方程组有一组解 ,所以直线与圆相切 0,方程组无解 ,所以直线与圆相离 5、直线与圆相交: 弦长计算公式: 22 22ABAMrd 6、直线与圆相切: (1)如何求得切线方程:主要依据两条性质:一是切点与圆心的连线与切线垂直；二是圆心到切线 的距离等于半径 例:已知圆的方程为: 22 4xy及圆上一点1,3P,求过P的圆的切线 方法一 :利用第一条性质:3 OP k,所以可得切线斜率 3 3 k 切线方程为 : 3 31 3 yx,整理后可得 :34xy 方法二 :利用第二条性质:设切线方程l为:31yk x 即3kxyk 2 3 2 1 Ol k dr k 整理可得 : 2 2 32 310310kkk解得 : 3 3 k 3 :3134 3 lyxxy (2)圆上点的切线结论: 圆 222 xyr上点 00 ,P xy处的切线方程为 2 00 x xy yr 圆 22 2 xaybr上点 00 ,P xy处的切线方程为 2 00 xaxaybybr (3)过圆外一点的切线方程(两条切线 ):可采取上例方法二的做法,先设出直线方程,再利用圆心到 切线距离等于半径求得斜率,从而得到方程。
要注意判断斜率不存在的直线是否为切线) 7、与圆相关的最值问题 (1)已知圆C及圆外一定点P,设圆C的半径为r则圆上点到P点距离的 最小值为PMPCr,最大值为PNPCr(即连结 PC并延 长,M为PC与圆的交点 ,N为PC延长线与圆的交点 (2)已知圆C及圆内一定点 P,则过P点的所有弦中最长的为直径 ,最短的为与该直径垂直的弦 M C N P C P A B MN 解:,弦长的最大值为直径,而最小值考虑弦长公式为 22 2ABrd,若AB最小 ,则d要取 最大 ,在圆中CP为定值 ,在弦绕P旋转的过程中, dCP,所以dCP时 ,AB最小 (3)已知圆C和圆外的一条直线l,则圆上点到直线距离的最小 值为 Cl PMdr,距离的最大值为 Cl PNdr(过圆 心C作l的垂线 ,垂足为P,CP与圆C交于M,其反向延长线 交圆C于N (4)已知圆C和圆外的一条直线 l,则过直线l上的点作圆的切 线,切线长的最小值为PM 解: 2 2 PMCPr,则若PM最小 ,则只需CP最小即可 , 所以P点为过C作l垂线的垂足时,CP最小 过P作圆的切线 ,则切线长PM最短 8、圆与圆的位置关系:外离 ,外切 ,相交 ,内切 ,内含 (1)可通过圆心距离与半径的关系判定:设圆 12 ,O O的半径为 12 ,r r, 12 OOd 12 drr 12 ,OO外离 12 drr 12 ,OO外切 1212 rrdrr 12 ,OO相交 12 drr 12 ,OO内切 12 drr 12 ,OO内含 (2)可通过联立圆的方程组,从而由方程组解的个数判定两圆位置关系。
但只能判断交点的个数 例如方程组的解只有一组时,只能说明两圆有一个公共点,但是外切还是内切无法直接判定 二、典型例题: 例1: 已知直线20axy与圆心为C的圆 22 14xya相交于,A B两点 , 且 ABC为等边三角形, 则实数a( ) l M C P N l C P M A. 3 3 B. 1 3 C.1或7 D.415 思路 : 因为ABC为等边三角形且C为圆心 , 所以该三角形的边长为2, 由等边三角形的性质 可知高为3, 即C到AB的距离为3, 由圆方程可得:1,Ca, 所以利用点到直线距离公式 可得 : 2 2 2 2 32231 1 CAB aa daa a , 解得 :415a 答案 :D 例2: 圆心在曲线 2 0yx x 上 , 且与直线210 xy相切的面积最小的圆的方程为 ( ) A. 22 125xy B. 22 215xy C. 22 1225xy D. 22 2125xy 思 路 : 不 妨 设 圆 心 2 ,a a , 其 中 0a , 半 径 为r, 因 为 直 线 与 圆 相 切 , 所 以 有 2 21 5 a a dr, 若圆的面积最小, 则半径最小 , 则 2 21 12 21 55 a a ra a 11 2 215 5 a a ,即 min 5r,此时1a,所以圆方程 为: 22 125xy 答案 :A 例 3: 设点,1M m, 若在圆 22 :1Oxy上存在点N, 使得30OMN, 则m的取值范 围是 ( ) A.3,3 B. 1 1 , 2 2 C. 2,2 D. 33 , 33 思 路 : 由 圆 的 性 质 可 知 : 圆 上 一 点T, 与,M O所 组 成 的 角OMT, 当MT与 圆 相 切 时,OMT最大。
所以若圆上存在点N, 使得30OMN, 则30OMT由,1M m 和 22 1xy可知过M且与圆相切的一条直线为1y, 切点0,1T , 所以在直角三角形 OMT中, 3 tan 3 OT OMT TM , 从而333TMm 答案 :A 例4: 设,m nR,若 直 线1120mxny与 圆 22 111xy相 切 ,则 mn的取值范围是( ) A.13,13B.,1313, C.22 2,22 2D.,22 222 2, 思 路 : 通 过 圆 方 程 可 知 圆 心1,1C, 半 径1r, 因 为 直 线 与 圆 相 切 , 所 以 222 22 111 11 Cl mn dmnmn mn ,整理后可 得: 1mnmn , 即 1 1 m n m , 所以 12 12 11 m mnmm mm , 进而由“对勾 函数“性质可知 ,22 222 2,mn 答案 :D 小专题训练有话说: 本题由于mR, 所以对于 2 12 1 m m 不能使用均值不等式, 而要通 过换元转换为常见函数求得值域 例 5:若圆 22 44100 xyxy上至少有三个不同的点到直线:lykx的距离为2 2, 则直线l斜率的取值范围是_ 思路 : 本题的关键在于如何将“至少三个符合条件的不同的点”这个条件与k找到联系。
通过 图像可知该条件与圆心到直线的距离相关圆方程为: 22 2218xy, 即圆心为 2,2, 半径3 2r, 作出图像可知若至少有三个不同的点到直线l距离为2 2, 则圆心到直 线的距离应小于等于2, 所以 2 22 2 1 Cl k d k , 即解不等式 : 2 2 2221kk, 解 得:23,23k 答案 :23,23 例 6: 直线yxm与圆 22 16xy交于不同的两点,M N, 且3MNOMON, 其 中O是坐标原点 , 则实数m的取值范围是( ) A. 2 2,22,22 B. 4 2,222 2,42 C.2,2 D.2 2,22 思 路 : 不 妨 设MN的 中 点 为A, 则 可 知2OMONOA, 从 而2 3MNOA, 在 圆 22 16xy中, 可知OA为圆心O到MN的距离 , 即弦心距由圆中弦,半径 , 弦心距的关系 可得 : 2 2 21 16 2 MNOAr, 代入 2 3MNOA可得 : 2 2 316OAOA, 解 得:2OA, 即2 2 OMN m d, 所以2 2,22m 答案 :D 例7: 在平面直角坐标系xOy中 , 已知圆 2 2 :32Cxy, 点A是x轴上的一个动 点,AP AQ分别切圆 C于,P Q两点 , 则线段PQ的取值范围是 ( ) A. 14 ,2 3 B. 2 14 ,22 3 C. 14 ,2 3 D. 2 14 ,22 3 思路 : 如图设,AC PQ交于 M , 则有 2PQPM , 只需确认 PM的范围即可 , 由圆方程可得2r, 设PCM, 所以 sin2sinPMPC,在Rt PCA中,可 得: 2 2 2 2 sin1 ACrAP ACAC AC ,所以 PM 2 2 21 AC , 下 面 确 定 2 AC的 范 围 。
设,0A x, 因 为0, 3C, 所 以 2 2 99,ACx, 从而解得 14 ,2 3 PM则 2 14 2,22 3 PQPM 答案 :B 例 8: 已知圆 22 :cossin1Mxy, 直线:lykx下面四个命题 : (1) 对任意实数k与, 直线l和圆M相切； (2) 对任意实数 k与 , 直线l和圆M有公共点； (3) 对任意实数, 必存在实数k, 使得直线l和圆M相切 ; (4) 对任意实数k, 必存在实数, 使得直线l和圆M相切 . 其中真命题的代号是_ 思路一 ( 代数运算 ): 四个命题均和直线与圆位置关系相关, 所以考虑圆心到直线的距离和半径 的 大 小 关 系 :由 圆 M 方 程 可 知 圆 心c o s, s i nM, 半 径 为1, 所 以 2 c o ss i n 1 Ml k d k , 为 了 便 于 计 算 , 不 妨 比 较 2 Ml d与1的 大 小 关 系 , 从 而 有: 2 2 2222 2 22 cossin1cos2sincossin1 1 11 Ml kkkkk d kk 2222 22 1cos2sincos1sin sincos 0 11 kk k kk 所以对任意的实数,k, 直线l和圆M有公共点 , 但不一定相切。
故(1) 错误 (2) 正确； (3)(4) 与相切有关, 所以考虑 2 1 Ml d, 由上式可得:sincosk, 从而可得 , 对于任意的实数 , 不一定会存在k, 使得等式成立例如sin0时 , 不成立；但对于任意的k, 总有 cos1 sintan k, 使得成立 , 即直线与圆相切所以 (3) 错误 ,(4) 正确 , 综上所述 , 正确的是 (2)(4) 思路二 ( 数形结合 ): 通过观察cos ,sinM, 可知M为单位圆上的点则必有1OM, 又因为 M 的半径为1, 所以可得 M 过原点而直线:lykx过定点 0,0 , 所以直线与圆 必有公共点 (2) 正确因为0,0在圆上 , 所以可知若直线与圆相切, 则原点为切点 , 故切线也 只有一条所以(1) 错误对于 (3)(4),通过前面的结论可知对于任意的一个圆 M , 均可过原 点作出圆的切线另一方面通过切线也可确定圆心所以(4) 正确而 (3) 忽略了一种情况,当 圆心M位于x轴上时 , 此时切线为y轴, 虽有切线但斜率不存在, 所以不能表示为ykx的形 式所以 (3) 错误 答案 :(2)(4) 例 9: 设)1 ,0(),0, 1(BA,直线,:axyl圆1: 22 yaxC. 若圆C既与线段AB又与直 线l有公共点 , 则实数a的取值范围是 思路 : 本题a的取值范围为两个条件的交集。
先处理圆 C与l有公共点 : 由圆方程可知圆的圆心 为,0a, 半 径1r, 若 圆 与 直 线 有 公 共 点 , 则 2 42 2 11 1 Cl a daa a , 解 得: 2 15 0, 2 a , 所以 1515 ,。