本文格式为Word版，下载可任意编辑曲线积分的计算法 曲线积分的计算法 1. 根本方法 曲线积分 第一类 ( 对弧长 ) 其次类 ( 对坐标 ) 用参数方程 (1) 选择积分变量 用直角坐标方程 用极坐标方程 ???转化 定积分 (2) 确定积分上下限 定理 设f(x,y)在曲线弧L的参数方程为?x??(t),??y??(t),?第一类: 下小上大 其次类: 下始上终 对弧长曲线积分的计算 L上有定义且连续(??t??)其中,且,?(t),?(t)在[?,?]上具有一阶连续导数?Lf(x,y)ds???22f[?(t),?(t)]??(t)???(t)dt(???)留神: 1.定积分的下限?确定要小于上限?;.2.f(x,y)中x,y不彼此独立,而是相互有关的特殊情形 (1)L:y??(x)a?x?b.b2f[x,?(x)]1???(x)dx.?Lf(x,y)ds???a(2)L:x??(y)c?y?d.d?Lf(x,y)ds?cf[?(y),y]1???(y)dy.2 例1 解 求I???L?x?acost,xyds,L:椭圆?(第?象限).?y?bsint,22I??20acost?bsint(?asint)?(bcost)dt??ab?2sintcostasint?bcostdt02222?aba?b222?abudu22(令u?.asint?bcost)2222?ab(a?ab?b)3(a?b)y?4x2例2 解 I?求I??Lyds,2其中L:y?4x,从(1,2)到(1,?2)一段.2??2y2y1?()dy?0.2例3 解 求I???xyzds,其中?:x?acos?,y?asin?,(0???2?)z?k?的一段.I???12??2?acos?sin??k?2a?kd?2202?kaa?k.22例4 求I??xds,2?x2?y2?z2?a2,其中?为圆周??x?y?z?0.解 由对称性, 知 ?x?2ds???yds?2??zds.2故I?1?3?(x?y?z)ds222 ?a23?ds??2?a33.(2?a??ds,球面大圆周长?)对坐标的曲线积分的计算 设P(x,y),Q(x,y)在曲线弧L上有定义且连续,L的参数方程为?x??(t),当参数t单调地由?变??y??(t),B,一阶连到?时,点M(x,y)从L的起点A沿L运动到终点?(t),?(t)在以?及?为端点的闭区间上具有22续导数,且??(t)???(t)?0,那么曲线积分?LP(x,y)dx?Q(x,y)dy存在,且?P(x,y)dx?Q(x,y)dyL???{P[?(t),?(t)]??(t)?Q[?(t),?(t)]??(t)}dt?特殊情形 (1)L:y?y(x)x起点为a，终点为b.那么??LPdx?Qdy???ba{P[x,y(x)]?Q[x,y(x)]y?(x)}dx.y起点为c，终点为d.(2)L:x?x(y)那么LPdx?Qdy?dc{P[x(y),y]x?(y)?Q[x(y),y]}dy.例5 计算 ?(2a?y)dx?xdy,其中L为摆线 x?a(t?sint),Ly?a(1?cost)上对应 t 从 0 到 2? 的一段弧. ?a(t?sint)?asintdt提示: (2a?y)dx?xdy?a(1?cost)?a(1?cost)dt?atsintdt2?原式?a2?02πtsintdt?a2??tcos2t?sin2π?t0??2πa 例 6 计算 ??xyzdz,其中? 由平面 y = z 截球面 x?y?z?1所得,222从 z 轴正向看沿逆时针方向. 提示: 因在 ? 上有 x2?2y2?1,故 x?cost?: y?12sint(0?t?2π)z?12sint 原式 = 122?2π0cos2tsin2tdtπ?1?4?22?cos2220cost(1t)dt?2??1?π?3?1?π???2π?22422?16曲面积分的计算法 1. 根本方法 曲面积分 ??第一类( 对面积 ) ??其次类( 对坐标 ) ??转化 (1) 选择积分变量 — 代入曲面方程 (2) 积分元素投影 ?第一类: 始终非负 ??其次类: 有向投影 (3) 确定二重积分域 — 把曲面积分域投影到相关坐标面 二重积分 对面积的曲面积分的计算法 定理: 设有光滑曲面 ?:z?z(x,y),(x,y)?Dxyf (x, y, z) 在 ? 上连续, 那么曲面积分 ???存在, 且有 ???f(x,y,z)dS22?f(x,y,z)dS??Dxyf(x,y,z(x,y))1?zx(x,y)?zy(x,y)dxdy 例7 计算??(x?y?z)ds?平面, 其中?为y?z?5被柱面x积分曲面 2?y2?25所截得的片面. 解 ?：z?5?y , xy投影域 ：D?{(x,y)|x22?y2?25} dS?1?z?x?z?ydxdy?故21?0?(?1)dxdy?2dxdy,2??(x?y?z)ds??2??(x?y?5?y)dxdyDxy?2??(5?x)dxdyDxy?2?2?0d??(5?rcos?)rdr05?1252?.对坐标的曲面积分计算:一投、二代、三定号 例8. 计算曲面积分 ???y?z?1222?xyzdxdy,其中 ? 为球面 外侧在第一和第五卦限片面. 解: 把 ? 分为上下两片面 x??y?z?122 ?1:z??1?x2?y2?2:z?1?x?y22 (x,y)?Dxy ? ??x2?y2?1:??x?0,y?0 ???xyzdxdy???1xyzdxdy? ???2xyzdxdy22 ?2xy1?x?y dxdy??D xy ?2??D ? ?rsin?cos?xy21?r2rdrd??20sin2?d??10r31?rdr2 ?215 例9 计算???(z2?x)dydz?zdxdyz?12(x22,其中Σ是旋转抛物面?y)介于平面z?0及 z?2之间的片面的下侧. ???解 (z?x)dydz?22???(z?x)cos?ds2????(z?x)cos?cos?x2dxdy在曲面?上,有cos????????1?x?y(z?x)dydz?zdxdy222,cos???11?x?y22.??[(z?x)(?x)?z]dxdy1(x?y)?x]?(?x)?22421222???[x?(x?y)]dxdy2Dxy2?21222??d??(rcos??r)rdr?8?.002Dxy????{[1(x?y)}dxdy22 — 5 —。