幂函数一、幂函数的图象与概念1、定义：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．2、幂函数的特征：（1）xα的系数是1；（2）xα的底数x是自变量；（3）xα的指数α为常数．只有满足这三个条件，才是幂函数．对于形如y＝(2x)α，y＝2x5，y＝xα＋6等的函数都不是幂函数．3、五个常见幂函数的图象排列特点：第一象限内，在直线x＝1右侧，其指数越大，图象越高，即“指大图高”.图象规律：幂函数的图象一定会出现在第一象限，一定不会出现在第四象限．图象若与坐标轴有交点，一定交于坐标原点．三点注意：(1)当α＜0时，函数图象与坐标轴没有交点，类似于y＝x－1的图象，且在第一象限内，逆时针方向指数在增大；(2)当0＜α＜1时，函数图象倾向x轴，类似于的图象；(3)当α>1时，函数图象倾向y轴，类似于y＝x3的图象，且在第一象限内，逆时针方向指数在增大.二、幂函数的性质1、所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)；2、如果α＞0，那么幂函数的图象过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增；3、如果α＜0，那么幂函数的图象在区间(0，＋∞)上单调递减，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限接近y轴，当x从原点趋向于＋∞时，图象在x轴上方无限接近x轴；4、在(1，＋∞)上，随幂指数的逐渐增大，图象越来越靠近y轴．三、对于形如（其中m∈N*，n∈Z，m与n互质）的幂函数1、当n为偶数时，f(x)为偶函数，图象关于y轴对称；2、当m，n都为奇数时，f(x)为奇函数，图象关于原点对称；3、当m为偶数时，（或），是非奇非偶函数，图象只在第一象限（或第一象限及原点处）四、作幂函数图象的步骤如下：（1）先作出第一象限内的图象；（2）若幂函数的定义域为(0，+∞)或[0，+∞)，作图已完成；若在(-∞，0)或(-∞，0]上也有意义，则应先判断函数的奇偶性如果为偶函数，则根据y轴对称作出第二象限的图象；如果为奇函数，则根据原点对称作出第三象限的图象.题型一 判断是否为幂函数【例1】现有下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，其中幂函数的个数为（ ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】幂函数满足形式，故，满足条件，共2个，故选：B【变式1-1】下列函数是幂函数的是（ ）A． B． C． D．【答案】C【解析】形如（为常数且）为幂函数，所以，函数为幂函数，函数、、均不是幂函数.故选：C.【变式1-2】下列函数中，不是幂函数的是（ ）A．y＝2x B．y＝x－1 C．y＝ D．y＝x2【答案】A【解析】不是幂函数；，，为幂函数；故选：A.【变式1-3】下列幂函数中，定义域为R的幂函数是（ ）A． B． C． D．【答案】D【解析】A：，则需要满足，即，所以函数的定义域为，故A不符合题意；B：，则需要满足，所以函数的定义域为，故B不符合题意；C：，则需要满足，所以函数的定义域为，故C不符合题意；D：，故函数的定义域为，故D正确；故选：D.题型二 求幂函数的解析式【例2】（多选）如果幂函数的图象不过原点，则实数的取值为（ ）A． B． C． D．无解【答案】BC【解析】由已知可得，解得或.故选：BC.【变式2-1】已知幂函数的图象过点，则= ．【答案】【解析】设，则由图象过点，可得，即 ，所以，即．【变式2-2】已知幂函数在上单调递增，则的解析式是_____.【答案】【解析】是幂函数，，解得或，若，则，在上不单调递减，不满足条件；若，则，在上单调递增，满足条件；即.【变式2-3】已知幂函数在为减函数，则___________.【答案】【解析】为幂函数，所以，解得：或.当时，为R上的增函数；当时，为R上的减函数.所以，所以.【变式2-4】已知幂函数（k∈N*）的图象关于y轴对称，且在区间（0，+∞）上是减函数，求函数f（x）的解析式．【答案】【解析】幂函数（k∈N*）的图象关于y轴对称，所以，，解得－1＜k＜3，因为k∈N*，所以k=1，2；且幂函数（k∈N*）在区间（0，+∞）为减函数，∴k=1，函数的解析式为：．题型三 幂函数定义域问题【例3】函数的定义域是 .【答案】【解析】原函数，所以解得 【变式3-1】函数的定义域为______.【答案】【解析】由可知其定义域为.【变式3-2】已知幂函数的图象过点，则的定义域为（ ）A．R B．C． D．【答案】C【解析】设，因为的图象过点，所以，解得，则，故的定义域为．故选：C【变式3-3】若有意义，则实数的取值范围是________【答案】【解析】若有意义，则，解得所以实数的取值范围是.题型四 幂函数的值域问题【例4】幂函数中a的取值集合C是的子集，当幂函数的值域与定义域相同时，集合C为（ ）A． B． C． D．【答案】C【解析】当时，定义域和值域均为，符合题意；时，定义域为，值域为，故不合题意；时，定义域为，值域为，符合题意；时，定义域与值域均为R，符合题意；时，定义域为R，值域为，不符合题意；时，定义域与值域均为R，符合题意.故选：C【变式4-1】若幂函数的图象过点，则的值域为____________．【答案】【解析】设，因为幂函数的图象过点，所以所以，所以【变式4-2】已知幂函数的图象过点，则函数在区间上的最小值是（ ）A．1 B． C． D．【答案】C【解析】由幂函数的图像过点，可得，解得，所以，函数，则，所以在区间上单调递增，所以的最小值.故选：【变式4-3】幂函数的图象过点，则函数的值域是（ ）A． B． C． D．【答案】C【解析】设，代入点得，则，令，函数的值域是.故选：C.【变式4-4】已知函数，若函数的值域为，则实数的取值范围为_____．【答案】【解析】由函数单调递增，①当时，若，有，而，此时函数的值域不是；②当时，若，有，而，若函数的值域为，必有，可得．则实数的取值范围为．题型五 幂函数图象的判断及应用【例5】幂函数在第一象限的图像如图所示，则的大小关系是 （ ）A． B． C． D．【答案】D【解析】根据幂函数的性质，在第一象限内，的右侧部分的图像，图像由下至上，幂指数增大，所以由图像得：，故选：D【变式5-1】函数和的图象如图所示，有下列四个说法：①如果，那么；②如果，那么；③如果，那么；④如果时，那么.其中正确的是（ ）.A．①④ B．① C．①② D．①③④【答案】A【解析】当三个函数的图象依和次序呈上下关系时，可得 ，所以，若，可得，所以①正确；当三个函数的图象依，和次序呈上下关系时，或 ，所以，若，可得，所以②错误；由于当三个函数的图象没有出现和次序的上下关系 ，所以③错误；当三个函数的图象依和次序呈上下关系时， ，所以，若时，可得，所以④正确.故选；A．【变式5-2】已知幂函数的图象经过点，则的大致图象是（ ）A． B． C． D．【答案】A【解析】设幂函数为，因为幂函数的图象经过点，所以，即，解得，所以，则函数的定义域为，所以排除CD，因为，所以在上为减函数，所以排除B，故选：A【变式5-3】图中C1、C2、C3为三个幂函数在第一象限内的图象，则解析式中指数的值依次可以是（ ）A．、、 B．、、 C．、、 D．、、【答案】D【解析】由幂函数在第一象限内的图象，结合幂函数的性质，可得：图中C1对应的，C2对应的，C3对应的，结合选项知，指数的值依次可以是．故选：D.【变式5-4】若幂函数与在第一象限内的图像如图所示，则（ ）A．； B．，；C．，； D．，．【答案】B【解析】由图象知；在上递增，所以，由的图象增长的越来越慢，所以，在上递减，所以，又当时，的图象在的下方，所以，故选：B【变式5-5】函数的图像可能是（ ）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意知，函数，则满足，解得，故函数的定义域为，又，结合幂函数的性质，可得选项C符合题意．故选：C题型六 幂函数图象过定点问题【例6】三个幂函数（1），（2），（3）都经过的点的坐标是（ ）A． B． C． D．【答案】D【解析】当时，得到，，，故都过点.故选：.【变式6-1】若函数与图象关于对称，且，则必过定点（ ）A． B． C． D．【答案】D【解析】，，，所以，函数的图象过定点，又函数与图象关于对称，因此，函数必过定点.故选：D.【变式6-2】函数的图象必经过定点（ ）A． B． C． D．【答案】D【解析】令，解得，当时，，所以图象恒过，故选D【变式6-3】若，函数的图象恒过定点，则点的坐标为______．【答案】【解析】因为过定点，将图象向右平移一个单位，向上平移3个单位得：，所以过定点.故答案为.【变式6-4】函数的图象过定点________．【答案】【解析】幂函数的图象过，将代入，可得，所以函数的图象过定点.【变式6-5】幂函数的图象过点，则函数的图象经过定点____．【答案】【解析】因为幂函数过点，可解得，所以，故，当时，，故恒过定点.题型七 利用幂函数单调性解不等式【例7】若幂函数的图象过点（16，8），则的解集为（ ）A．（–∞，0）∪（1，+∞） B．（0，1） C．（–∞，0） D．（1，+∞）【答案】D【解析】设幂函数的解析式是，将点（16，8）代入解析式得16α=8，解得，故函数在定义域是[0，+∞），故在[0，+∞）递增，故 ，解得x>1．故选D．【变式7-1】已知函数，那么不等式的解集为__________．【答案】【解析】已知函数，可知函数是增函数，且是偶函数，不等式等价于【变式7-2】若 ，求a的取值范围.【答案】 【解析】的定。