几个典型的代数系统

第六章 几个典型的代数系统本章讨论几类重要的代数结构：半群、群、环、域、格与布尔代数等．我们先讨论最简单的半群．6.1 半群 定义定义 6.16.1 称代数结构称代数结构 >为为半群半群（（semigroupssemigroups）） ，如果，如果   运算满足结合律．当半运算满足结合律．当半群群 >含有关于含有关于   运算的么元，则称它为运算的么元，则称它为独异点独异点（（monoidmonoid）） ，或，或含么半群含么半群．．例例 6.16.1 ，，都是半群，后两个又是独异点．半群及独异点的下列性质是明显的．定理定理 6.16.1 设设 >为一半群为一半群, ,那么那么（（1 1）） >的任一子代数都是半群，称为的任一子代数都是半群，称为 >的的子半群．子半群．（（2 2）若独异点）若独异点,e>的子代数含有么元的子代数含有么元 e,e,那么它必为一独异点那么它必为一独异点, ,称为称为e>的的子独异点子独异点．．证明简单，不赘述．证明简单，不赘述．定理定理 6.26.2 设设,, >是半群是半群,h,h 为为 S S 到到 S S’的同态的同态, ,这时称这时称 h h 为为半群同态半群同态．对半群．对半群同态有同态有（（1 1）同态象）同态象 >为一半群．为一半群．（（2 2）当）当 >为独异点时，则为独异点时，则 >为一独异点为一独异点. .定理定理 6.36.3 设设 >为一半群为一半群, ,那么那么（（1 1）） >为一半群，这里为一半群，这里 S SS S为为 S S 上所有一元函数的集合，上所有一元函数的集合，○ 为函数的合成运为函数的合成运算．算．（（2 2）存在）存在 S S 到到 S SS S的半群同态．的半群同态．证证（l）是显然的．为证（2）定义函数 h:S→SS：对任意 aSh（a）= fafa：S→S 定义如下: 对任意 xS，fa（x）= ax现证 h 为一同态．对任何元素 a,bS．h(ab)＝fab （l1－1）而对任何 xS，fab（x）= abx = fa（fb（x） ）= fa○fb （x） 故 fab = fa○fb ,由此及式（l1－1）即得h（ab）= fab = fa○fb ＝h（a）○ h（b）本定理称半群表示定理。

它表明，任一半群都可以表示为（同态于）一个由其载体上的函数的集合及函数合成运算所构成的半群这里同构于 ---- 的一个子代数．6.26.2 群群群是最重要的代数结构类，也是应用最为广泛的代数结构类.我们以后要深入研究的代数结构环和域也都是以群为基础的.6.2.16.2.1 群及其基本性质群及其基本性质定义定义 6.66.6 称代数结构称代数结构 >为为群群（（groupsgroups））, ,如果如果（（1 1）） >为一半群．为一半群．（（2 2）） >中有么元中有么元 e.e.（（3 3）） >中每一元素都有逆元．中每一元素都有逆元．或者说，群是每个元素都可逆的独异点．群的载体常用字母或者说，群是每个元素都可逆的独异点．群的载体常用字母 G G 表示表示 ，因而字母，因而字母 G G 也常也常用于表示群．用于表示群．定义定义 6.76.7 设设 >为一群．为一群．（（1 1）若）若   运算满足交换律，则称运算满足交换律，则称 G G 为为交换群交换群或或阿贝尔群阿贝尔群（（AbelAbel groupgroup）） ．阿贝尔群又．阿贝尔群又称称加群加群，常表示为，常表示为 >（这里的（这里的 + + 不是数加，而泛指可交换二元运算．回忆不是数加，而泛指可交换二元运算．回忆: :  常被称常被称为乘）为乘） ．加群的么元常用．加群的么元常用 0 0 来表示，常用来表示，常用-x-x 来表示来表示 x x 的逆元的逆元. .（（2 2）） G G 为有限集时，称为有限集时，称 G G 为为有限群有限群（（finitefinite groupgroup））, ,此时此时 G G 的元素个数也称的元素个数也称 G G 的的阶阶（（orderorder）） ；否则，称；否则，称 G G 为为无限群无限群（（infiniteinfinite groupgroup）） ．．例例 6.66.6 （1）（整数集与数加运算）为一阿贝尔群（加群）,数 0 为其么元.不是群．因为所有非零自然数都没有逆元.（2）（正有理数与数乘）为一阿贝尔群，1 为其么元. 不是群，因为数0 无逆元．（3）为一 k 阶阿贝尔群, 数 0 为其么元 .（4）设 P 为集合 A 上全体双射函数的集合，○ 为函数合成运算.那麽 为一群．A 上恒等函数 E A为其么元。

一般不是阿贝尔群.群的下列基本性质是明显的.定理定理 1l.91l.9 设设 >为群，那麽为群，那麽（（1 1））G G 有唯一的么元，有唯一的么元，G G 的每个元素恰有一个逆元．的每个元素恰有一个逆元．（（2 2）关于）关于 x x 的方程的方程 a a x x＝＝b b，，x x a a＝＝b b 都有唯一解．都有唯一解．（（3 3））G G 的所有元素都是可约的．因此，群中消去律成立：对任意的所有元素都是可约的．因此，群中消去律成立：对任意 a,x,ya,x,yS Sa*xa*x = = a*ya*y 蕴涵蕴涵 x x = = y y ; ; x*ax*a = = y*ay*a 蕴涵蕴涵 x x = = y y （（4 4）当）当 G G   {e}{e}时时, , G G 无零元．无零元．（（5 5）么元）么元 e e 是是 G G 的唯一的等幂元素的唯一的等幂元素. .证证（1）,（2）,（3）是十分明显的．（4）若 G 有零元,那么它没有逆元，与 G 为群矛盾 （注意，G = {e}时,e 既是么元，又是零元.）（5）设 G 中有等幂元 x，那么 x*x = x 又 x = x*e 所以 x*x = x*e由（3）得 x = e 。

由（3）我们得知，特别地，当 G 为有限群时，* 运算的运算表的每一行（列）都是 G中元素的一个全排列．从而有限群的运算表中没有一行（列）上有两个元素是相同的．因此，当 G 分别为 1，2，3 阶群时, * 运算都只有一个定义方式(即,不计元素记号的不同,只有一张定义 * 运算的运算表,如表 6.2 所示),于是可以说,1,2,3 阶的群都只有一个.定理定理 6.106.10 对群对群 >的任意元素的任意元素 a,ba,b，，（（1 1））(a(a-1-1) )-1-1＝＝a a．．（（2 2））(a*b)(a*b) -1-1＝＝b b-1-1*a*a-1-1 （（3 3））(a(ar r) ) -1-1 = = (a(a––1 1) )r r（记为（记为 a a––r r）） （（r r 为整数）为整数） ．．证证（2）(ab) (b-1a-1) = a(b b-1)a-1 = e(b-1a-1)(ab) = b-1(a-1a)b = e 因此 ab 的逆元为 b-1a-1，即(ab) -1＝b-1a-1．（3）对 r 归纳.r = 1 时命题显然真.设(ar) -1 = (a–1)r,即(a–1)r 是 ar的逆元.那么ar+1(a–1)r+1 = ar(aa-1)(a–1)r＝ar(a–1)r = e(a–1)r+1 ar+1 = (a–1)r(a-1a) ar＝(a–1)r ar = e 故 ar+1 的逆元为(a–1)r+1，即(ar+1) -1 = (a–1)r+1．归纳完成, （2）得证.对群的任意元素 a,我们可以定义它的幂：a0=e，对任何正整数m，am+1=am*a，又据定理 6.1O，在群中可引入“负指数幂“'的概念：a-m= (a-1)m，且容易证明: 定理定理 6.116.11 对群对群 >的任意元素的任意元素 a,ba,b，及任何整数，及任何整数 m m，，n,n,（（l l））a a m m a a n n = = a am+nm+n（（2 2））(a(a m m) n n = = a amnmn如果我们用 aG 和 Ga 分别表示下列集合aG = {ag  gG}， Ga = {ga  gG}那么我们有以下定理．定理定理 6.126.12 设设 >为一群为一群,a,a 为为 G G 中任意元素，那么中任意元素，那么 aGaG = = G G = = GaGa特别地，当特别地，当 G G 为有限群时，为有限群时，  运算的运算表的每一行（列）都是运算的运算表的每一行（列）都是 G G 中元素的一个全排列．中元素的一个全排列．证证 aG  G 是显然的．设 gG，那么 a–1gG，从而 a(a–1g) aG，即 gaG．因此 GGa．aG = G 得证．Ga = G 同理可证．这一事实的一个明显推论是：当 G 为有限群时， 运算的运算表的每一行（列）都是G 中元素的一个全排列.从而有限群的运算表中没有一行（列）上有两个元素是相同的．因此，当 G 为 1，2，3 阶群时,  运算都只有一个定义方式(即,不计元素记号的不同,只有一张定义  运算的运算表,如表 6.2 所示),于是可以说,1,2,3 阶的群都只有一个.表表 6.26.2e ea eabEe eea eeabaae aabebbea对群还可以引入元素的阶的概念.定义定义 6.86.8 设设 >为群，为群，a a G G，称，称 a a 的阶的阶(order)(order)为为 n n，如果，如果 a an n = = e,e,且且 n n 为满足此式为满足此式的最小正整数的最小正整数. .上述上述 n n 不存在时不存在时, ,称称 a a 有有无限阶无限阶. .例例 6.76.7(1) 任何群 G 的幺元 e 的阶为 1, 且只有幺元 e 的阶为 1。

2) 中幺元 0 的阶为 1，而整数 a 1 0 时,a 有无限阶.(3) 中 1 的阶是 6,2 的阶是 3,3 的阶是 2,4 的阶是 3,5 的阶是 6.关于元素的阶有以下性质.定理定理 6.136.13 有限群有限群 G G 的每个元素都有有限阶的每个元素都有有限阶, ,且其阶数不超过群且其阶数不超过群 G G 的阶数的阶数   G G   .证证 设 a 为 G 的任一元素,考虑 e = a0 ,a1 ,a2 , … ,a│G│这  G +1 个 G 中元素.由于 G 中只有  G 个元素,因此它们中至少有两个是同一元素,不妨设ar = as (0 ≤ r >为群为群,G,G 中元素中元素 a a 的阶为的阶为 k,k,那么那么,a,an n = = e e 当且仅当当且仅当 k k 整除整除 n n . .证证 先证充分性．设 ak ＝ e，k 整除 n，那么 n = kr（r 为整数） ，因为 ak ＝ e，所以 an = akr = (ak )r = e r = e 再证必要性．设 an ＝ e，n = mk＋ r，其中 m 为 n 除以 k 的商，r 为余数，因此 0≤ r＜k 。

于是e＝an＝amk+r＝amkar＝ar因此,由 k 的最小性得 r = 0，k 整除 n ．定理定理 6.156.15 设设 >为群，为群，a a 为为 G G 中任一元素，那么中任一元素，那么 a a 与与 a a-1-1具有相同的阶．具有相同的阶．证证 只要证 a 具有阶 n 当且仅当 a-1具有阶 n 由于逆元是相互的，即(a-1)-1＝a，同。