收稿日期: 20061227 作者简介:方 军(1969—) ,男, 1994年毕业于西南交通大学航空摄影 测量专业,工程师已知点粗差对转换参数影响分析方 军(铁道第四勘察设计院,湖北武汉 430063)I nfluence on Convert Parameters by Gross Errors of Known PointsFang Jun摘 要 坐标转换时,若已知点含有粗差将不能获得正确的转换参数具体分析了已知点粗差对转换参数的影响模式通过分析可知,粗差越大,粗差对转换参数的影响越大;测区越大,粗差对转换参 数的影响越大;如果给已知点坐标加一个很大的常数,转换参数将发生剧烈变化关键词 GPS控制网 转换参数 粗差GPS测量获得的是WGS84地心坐标系高精度坐 标成果,而实用的城市与工程测量成果采用某一国家 或地方坐标系,必须通过已知点(GPS网与地面网的 重合点)将GPS网所在WGS84地心坐标转换到实用 的坐标系统中来如已知点中部分点含有粗差,此时进行坐标转换,则会损害GPS网的精度,严重影响GPS成果的可靠性,使高精度的GPS定位成果失去其 本来的意义。
因此,对GPS网中的已知点进行可靠性 检验非常重要GPS网已知点数据可靠性的判别方法主要有实测基线比较法、 单位权方差假设检验法、 附合路线坐标闭 合差检验法、 尺度参数分析法、 基线向量改正数比较法 和检查点法等这些方法的一个共同弱点就是检验量 阈值与粗差大致相当,不利于小粗差的区分已知点 粗差对转换参数的影响有多大,其影响形式如何,本文 在这方面作了有益的探索1 坐标转换公式将坐标系B中的坐标转换到坐标系A,有如下 公式X(A) P= X0+ (1+ k) X(B ) Pcosα+ (1+ k) Y(B ) PsinαY(A) P= Y0- (1+ k) X(B ) Psinα+ (1+ k) Y(B ) Pcosα(1)或X(A) PY(A) P=X0Y0+ (1+ k)cosαsinα-sinαcosαX(B ) PY(B ) P(2)式中,X(A) P, Y(A) P是已知点P在坐标系A中的坐 标; X(B ) P, Y(B ) P是已知点P在坐标系B中的坐标; X0,Y0是坐标系B的原点在坐标系A中的坐标;α是坐标 系B相对于坐标系A中的旋转角,顺时针为正; k是坐 标系B相对于坐标系A的尺度参数。
2 转换参数计算为了计算转换参数,至少需要两个已知点实际 工作中,为了保证可靠性,通常要联测3个以上已知 点当有n个已知点时,可列出方程组X(A)1= X0+ (1+ k) X(B )1cosα+ (1+ k) Y(B )1sinαY(A)1= Y0- (1+ k) X(B )1sinα+ (1+ k) Y(B )1cosαX(A)2= X0+ (1+ k) X(B )2cosα+ (1+ k) Y(B )2sinαY(A)2= Y0- (1+ k) X(B )2sinα+ (1+ k) Y(B )2cosαMX(A) n= X0+ (1+ k) X(B ) ncosα+ (1+ k) Y(B ) nsinαY(A) n= Y0- (1+ k) X(B ) nsinα+ (1+ k) Y(B ) ncosα(3)写成矩阵形式为L = HX(4)L 2n×1=X(A)1Y(A)1X(A)2Y(A)2MX(A) nY(A) n, H 2n×4=10X(B )1Y(B )101Y(B )1- X(B )110X(B )2Y(B )201Y(B )2- X(B )2M0M010X(B ) nY(B ) n01Y(B ) n- X(B ) n,6铁 道 勘 察2007年第1期X 4×1=abcd(5)式(5)中,a=X0, b=Y0, c=(1 +k)cosα, d=(1+k)sinα 。
当n>2时, (4)式是个矛盾方程组,没有惟一解 为求得未知参数,采用最小二乘原理,可得未知参数X 的解为X^= (HTH)-1HTL(6)3 已知点粗差对转换参数影响分析若将所有点用来求转换参数,则没有检查点由 于求转换参数只需要两个已知点,考虑两个点情形,有L = HZ(7)L =X(A) iY(A) iX(A) jY(A) j, H 4×4=10X(B ) iY(B ) i01Y(B ) i- X(B ) i10X(B ) jY(B ) j01Y(B ) j- X(B ) j, Z =abcd(8)式(8)中,a=X0, b=Y0, c=(1 +k)cosα, d=(1+k)sinα, X0, Y0是坐标系B的原点在坐标系A中的 坐标;α是坐标系B相对于坐标系A的旋转角,顺时针为正; k是坐标系B相对于坐标系A的尺度参数转换参数的解为Z = H-1L(9)H 4×4=10X(B ) iY(B ) i01Y(B ) i- X(B ) i10X(B ) jY(B ) j01Y(B ) j- X(B ) j=H11H12H21H22(10)H11=1001= E, H12=X(B ) iY(B ) iY(B ) i- X(B ) i,H21=1001= E, H22=X(B ) jY(B ) jY(B ) j- X(B ) j(11)H 4×4-1=H-1 11+ H-1 11H12H～-1 22H21H-1 11- H-1 11H12H～-1 22- H～-1 22H21H-1 11H～-1 22(12)H-1 11= E(13)H～ 22=H22- H21H-1 11H12=X(B ) jY(B ) jY(B ) j- X(B ) j-X(B ) iY(B ) iY(B ) i- X(B ) i=ΔX(B ) ijΔY(B ) ijΔY(B ) ij-ΔX(B ) ij(14)H～-1 22=1 S2 ijΔX(B ) ijΔY(B ) ijΔY(B ) ij-ΔX(B ) ij(15)H-1 11+ H-1 11H12H～-1 22H21H-1 11=E +X(B ) iY(B ) iY(B ) i- X(B ) i1 S2 ijΔX(B ) ijΔY(B ) ijΔY(B ) ij-ΔX(B ) ij=1 S2 ijS2 ij+ X(B ) iΔX(B ) ij+ Y(B ) iΔY(B ) ijX(B ) iΔY(B ) ij- Y(B ) iΔX(B ) ijY(B ) iΔX(B ) ij- X(B ) iΔY(B ) ijS2ij+ X(B ) iΔX(B ) ij+ Y(B ) iΔY(B ) ij(16)D12= - H-1 11H12H～-1 22= -X(B ) iY(B ) iY(B ) i- X(B ) i1 S2 ijΔX(B ) ijΔY(B ) ijΔY(B ) ij-ΔX(B ) ij=-1 S2 ijX(B ) iΔX(B ) ij+ Y(B ) iΔY(B ) ijX(B ) iΔY(B ) ij- Y(B ) iΔX(B ) ijY(B ) iΔX(B ) ij- X(B ) iΔY(B ) ijX(B ) iΔX(B ) ij+ Y(B ) iΔY(B ) ij(17)- H～-1 22H21H-1 11= -1 S2 ijΔX(B ) ijΔY(B ) ijΔY(B ) ij-ΔX(B ) ij(18)H 4×4-1=E - D12D12- H～-1 22H～-1 22(19)转换参数为abcd= H-1L = H-1X(A) iY(A) iX(A) jY(A) j(20)若A坐标系坐标含有粗差,即L′= L +δ(21)对转换参数的影响为Δa Δb Δc Δd= H-1δ=E - D12D12- H～-1 22H～-1 22δX(A) iδY(A) iδX(A) jδY(A) j(22)由(22)式可以看出: (1)H- 1一般没有零元素,已知点粗差对4个转换 参数都有影响。
7已知点粗差对转换参数影响分析:方 军(2)若i、j两点存在相同的粗差(相当于网的平 移) ,则此粗差不影响尺度参数和旋转参数 (3)已知点粗差对4个转换参数影响与测区的大小有关:相同量级的粗差,测区越大,粗差对原点向量 影响越大;测区越小,对尺度参数、 旋转参数影响越大4)若i、j两点平行于X轴(ΔY(B ) ij= 0) ,尺度参数和旋转参数只受X坐标的影响;同理,若i、j两点平 行于Y轴(ΔX(B ) ij=0) ,尺度参数和旋转参数只受Y坐标的影响5)已知点粗差对4个转换参数影响与B坐标系的坐标形式有关;当采用高斯坐标时,测区距赤道越远(X(B )越大)、 距中央子午线越远(Y(B )越大) ,粗差对原点向量影响越大;而粗差对尺度参数和旋转参数的影响与测区位置、 坐标形式无关 (6)在中国测区,高斯坐标的X(B )一般比 ΔX(B )高一个数量级,使得已知点粗差对原点向量的影响非常 剧烈,有利于发现不相互兼容的已知点4 结束语为了保证GPS测量成果的精度,对已知点的兼容 性进行检验是非常必要的通过理论和实例数据分析 可得出如下结论:(1)本文分析了已知点粗差对转换参数的影响,有助于理解已知点粗差和转换参数之间的关系。
(2)为了放大已知点粗差对原点向量的影响,可以给所有点坐标加一个很大的常数3)文中给出的公式有利于分析已知点粗差对转换参数影响的具体量值 参考文献[1 ] 傅晓明.工程GPS网平差已知点坐标的误差分析[J ].工程勘察,2004(2): 5456[2 ] 王唤良,朱建军.基于坐标一致性GPS平面基准点的粗差检测[J ].测绘通报, 2005(8): 57[3 ] 周光文,黄筱蓉. GPS网平差前已知点的可靠性检验[J ].测绘通报, 1997 (7): 67(上接第5页) 测回数及限差,各双测回互差按下式计算dH限=4MΔNS =2 2M测回M测回=4MΔNS /2 2=2MΔNS(7) 式中 MΔ— — — 每公里水准测量的偶然中误差;M测回— — — 每个双测回的偶然中误差;N— — — 测回数;S— — — 跨河水准的视线长度 一等水准MΔ= 015 mm,N=24,若S=118 km,则M测回=4165 mm; 二等水准MΔ= 110 mm,N=16,若S=118 km,则M测回=7158 mm; 由试验数据可知, 118 km跨距, TCL1800同时对 向三角高程测量,一个双测回观测的中误差为4148mm,那么一个双测回的每公里高差偶然中误差为3134 mm,显然已经达到国家 Ⅰ、 Ⅱ 等水准测量规范跨河水准一个双测回测量精度的要求。
412 国家 Ⅰ、 Ⅱ 等水准测量规范每个双测回的 精度与实测数据比较依据以上制定的测量细则,在海上进行了23跨跨 海三角高程测量,最短跨距320 m,最长跨距1 820 m, 平均1 356m由实测数据统计出的每个双测回每公 里偶然中误差为215 mm /km按(7)式,可估算出一等跨河水准每个双测回每公里偶然中误差为4103mm;二等跨河水准每个双测回每公里偶然中误差为6158 mm 由此可知:按以上测量细则进行跨海三角高程贯 通测量,每个双测回每公里偶然中误差,小于按一、 二 等规范进行跨河水准测量每个双测回每公里偶然中误 差因此,按测量细则测4～16个双测回,即能达到二 等跨河水准的精度由以上实测的23跨跨海三角高程测量组成的31152 km长的附合高程导线,其高程闭 合差为1 mm,小于二等水准的限差(22 mm) ,进一步 证明了这一点 参考文献[1 ] 国家一、 二等水准测量规范[S].北京:中国标准出版社,2001[2 ] 许提多,等.秦岭隧道GPS平面控制网若干问题研究[J ].西南交通大学学报, 1996[3 ] 肖根旺,许提多,朱顺生. GPS高程在杭州湾跨海大桥高程控制中的应用研究[J ].铁道学报, 2004, 26(5): 101。