1.6 置换群置换群(1.6 Permutation Group) 群群G的的全体置换全体置换作成的群叫作成的群叫n次对称群次对称群Sn ，置换群是，置换群是n次对称群次对称群Sn 的子群的子群. 由由Cayley定理，定理，任一个有限群必与任一个有限群必与一个置换群同构因此，需要对置换群作进一步的详细一个置换群同构因此，需要对置换群作进一步的详细讨论本节，本节，我们将把置换群分解为我们将把置换群分解为循环的乘积，并得循环的乘积，并得到置换群的一些初步性质到置换群的一些初步性质1.6.1 置换的循环分解置换的循环分解 (Cyclic Resolving of Permutation) 在前面我们知道，一个在前面我们知道，一个置换置换, 可以表示成可以表示成如下如下的形式的形式, 其中其中i1i2 in 是是 1，2，n的一个排列的一个排列 Def：设：设 是一个是一个n次置换，满足次置换，满足 (1) (i1)=i2, (i2)=i3, (ir)=i1; (2) 保留保留1，2，n 中的其余元素不变中的其余元素不变 则称则称 为长度为为长度为r的的循环循环，或称，或称r阶循环阶循环记为 = (i1i2 ir ) 例如例如 是一个长度为是一个长度为4的循环，或称的循环，或称4阶循环。
阶循环 两个循环两个循环 = (i1i2 ir ), = (j1j2 js ) 称为称为不相交不相交的，的，如果对任何的如果对任何的k, l，都有，都有 ik jl 两个置换的乘积一般是不可交换的，但是可以证明，两个置换的乘积一般是不可交换的，但是可以证明，两个不相交的循环的乘积是可交换的两个不相交的循环的乘积是可交换的 Th 1 任一个任一个n次置换次置换 都可以分解为都可以分解为两两不相交的两两不相交的循环循环的乘积，而且这种分解式除因子的次序不同外是的乘积，而且这种分解式除因子的次序不同外是唯一的 证明证明:先证明分解式的先证明分解式的存在性存在性：从：从1,2, ,n中任选一个数作为中任选一个数作为i1 ，依次求出，依次求出 (i1)=i2, (i2)=i3, 直至这个序列中第一次出现重复，这个第直至这个序列中第一次出现重复，这个第一次出现重复的数必然是一次出现重复的数必然是i1 ，即存在，即存在ir ，使，使 (ir)= i1 ，于是得到循环，于是得到循环 1 = (i1i2 ir ) 然后再取然后再取 j1 (i1i2 ir )，重复以上步骤可得，重复以上步骤可得 2 = (j1j2 js )，并且由映射的定义知，并且由映射的定义知 1与与 2无公无公共元素。
共元素 如此下去，直至每一个元素都在某一个循环中，如此下去，直至每一个元素都在某一个循环中，因而得到的分解式因而得到的分解式 = 1 2 k 再证明分解式的再证明分解式的唯一性唯一性： 若若 有两个不同的分解式，则一定出现两个数码有两个不同的分解式，则一定出现两个数码ij，在一个分解式中，在一个分解式中 j 紧接着紧接着 i 出现，而在另一个分出现，而在另一个分解式中紧接着解式中紧接着 i 的不是的不是 j 这表明，从第一个分解式得这表明，从第一个分解式得 (i)= j ，而从第二个分解式得，而从第二个分解式得 (i) j ，矛盾 例例：1.6.2 置换的对换分解置换的对换分解 (Transposition Resolving of Permutation) Def：长度为长度为2的循环的循环 称为称为对换对换 ， =(a b) Th 2 任一个任一个n次置换次置换 都可以分解为都可以分解为对换对换的乘积，的乘积， = 1 1 s 而且的个数而且的个数 s 的奇偶性由的奇偶性由 唯一确定，与分解方法唯一确定，与分解方法无关 证明：证明：由于每一个循环由于每一个循环 = (i1i2 ir )都可以写都可以写成对换的乘积成对换的乘积(i1i2 ir )= (i1i2) (i1i3)(i1 ir ) 它是它是r-1个对换的乘积。
因此，任一个个对换的乘积因此，任一个n次置换次置换 都都可以分解为对换的乘积可以分解为对换的乘积再证明分解式中对换个数的奇偶性的再证明分解式中对换个数的奇偶性的唯一性唯一性： 证明的基本思想是用一对对换证明的基本思想是用一对对换 =(a b)右乘右乘 ，令，令N( )表示分解式中所含对换的个数，则表示分解式中所含对换的个数，则N( (a b)与与N( ) 有相反奇偶性，并注意到有相反奇偶性，并注意到N( )=0 （这里（这里 是恒是恒等变换）即可等变换）即可 为了为了证明证明 N( (a b)与与N( )有相反奇偶性，我们有相反奇偶性，我们注意有下述等式：注意有下述等式：(ac1c2ch) (bd1d2 dk) (a b) = (ac1ch bd1dk)(ac1ch bd1dk)(a b)= (ac1c2ch) (bd1d2 dk) 事实上，由于事实上，由于(a b) -1= (a b),从而第一个等式可由第从而第一个等式可由第二个等式右乘二个等式右乘(a b)得到对于第二个等式，可以从它们得到对于第二个等式，可以从它们作用到作用到1，2，n 的每一个数码上的像来验证的每一个数码上的像来验证。
由于由于上述两上述两个等式，若个等式，若 (a b)右乘右乘 ，且，且a，b在在 的的同一个循环中出现，则同一个循环中出现，则N( (a b)=N( )-1 ； 若若 a，b在在 的不同循环中出现，则的不同循环中出现，则N( (a b)=N( )+1总之， N( (a b)=N( ) 1 今设有一个表示成今设有一个表示成 m 个对换的乘积的表示式个对换的乘积的表示式 = (a b) (cd) (pq) 由于由于(a b) -1= (a b),从而从而 (pq) (cd) (a b) = e但是，但是， N(e)=0 ，故，故N( ) 1 1 10,因此因此 m 与与N( )有相同的奇偶性有相同的奇偶性 证毕证毕 例例： 置换置换 如果可以分解为偶数个如果可以分解为偶数个(奇数个奇数个)对换的乘对换的乘积积,则它表示为对换乘积的任一个表达式中所含对换的则它表示为对换乘积的任一个表达式中所含对换的个数都是偶数个数都是偶数(奇数奇数),此时此时,称置换称置换 为为偶置换偶置换(奇置换奇置换). 置换置换 的乘积的性质的乘积的性质: 1. 两个两个偶置换的乘积偶置换的乘积是偶置换是偶置换; 2. 两个两个奇置换的乘积奇置换的乘积是偶置换是偶置换; 3. 一个一个偶置换与一个奇置换的乘积偶置换与一个奇置换的乘积是奇置换是奇置换.例例 令令 An= Sn, 是偶置换是偶置换则恒等置换则恒等置换 eAn ，又，又 , An An (封闭性封闭性)。
注意到注意到 -1 =e，从而，从而 和和 -1有相同的奇偶性有相同的奇偶性因此，因此， An -1 An (有逆元有逆元) 可见可见n次对称群次对称群Sn 中的中的全体全体偶置换偶置换An构成构成Sn的一个子的一个子群，称为群，称为n次交代群次交代群(n次交错群次交错群) End。