第2章 逻辑门与逻辑代数基础 本章介绍：逻辑描述、逻辑门、逻辑代数基本公式与逻辑代数化简2.1 逻辑描述 1. 逻辑函数 逻辑函数与一般的数学函数一样，描述输入与输出变量之间的逻辑关系，函数中的逻辑变量常用大写或小写字母表示，但取值只能为0或1通常取值为1的变量称为原变量，取值为0的变量称为反变量 2. 真值表 真值表是将所有可能情况下的输入取值与对应的输出值列成的表格，是逻辑关系的表格表示通常表格左侧为输入变量按照二进制数增序排列的所有取值，右侧为输出变量 如果用数字0、1表示输入与输出变量的取值，则真值表描述输入逻辑变量与输出变量之间的关系如果用高电平H、低电平L表示输入信号与输出信号的取值，则真值表描述门电路输入与输出之间的电平关系，称为电平真值表3. 逻辑电路图 逻辑图是用图形的方式描述逻辑输入变量与输出变量之间的关系，逻辑门符号是逻辑图的基本元素 在逻辑电路图中，低电平或是逻辑0有效的信号，常与逻辑非（小圆圈）引脚连接，以表示该信号是低电平或是逻辑0有效的信号若是信号不与逻辑非符号（小圆圈）引脚连接，则表示该信号是高电平或是逻辑1有效的信号用圆圈表示逻辑非的符号称为逻辑非符号。
4. 逻辑信号 逻辑信号既可以用高电平H或是逻辑1表示有效，也可以用低电平L或是逻辑0表示有效在信号为高电平H或是1有效的逻辑中，低电平L或是0表示信号无效，而在信号为低电平L或是0有效的逻辑中，高电平H或是1表示信号无效有些逻辑图中的信号既有高电平有效的信号也有低电平有效的信号，这种逻辑称为混合逻辑 若是用逻辑1代表高电平H，用逻辑0代表低电平L，则称为正逻辑；若是用逻辑1代表低电平L，用逻辑0代表高电平H，则称为负逻辑2.2 基本逻辑门功能概述 1. 非门 非门又称为反相器，是实现逻辑非运算的逻辑电路当决定事件（Y）发生的条件（A）满足时，事件不发生；条件不满足，事件反而发生表达式为：,逻辑符号：,真值表,【例2-1】 如图一串方波波形加在非门输入端，试画出非门输出端波形例2-2】 用非门实现反码,2．或门 或门是实现或运算的门电路 或运算又称为或逻辑、逻辑加：当决定事件（Y）发生的各种条件（A，B，C，…)中，只要有一个或多个条件具备，事件（Y）就发生表达式为：Ｙ＝Ａ＋Ｂ＋Ｃ＋…,逻辑符号：,输入变量A与B中只要有一个为1，则输出Y为1或门,真值表,逻辑函数式：,【例2-3】 图2-6所示波形加在一个或门输入端，试画出或门输出端的波形,图2-6,【例2-4】某房间的3个窗户上安装有磁控开关，当窗户打开时磁控开关输出高电平，现在要求设计一个电路，当任何一个窗户打开时，该电路输出报警信号。
图2-7,3．与门 与门是实现与运算的门电路与运算又称为与逻辑、逻辑乘与逻辑：仅当决定事件（Y）发生的所有条件（A，B，C，…）均满足时，事件（Y）才能发生逻辑符号,表达式：Ｙ＝ＡＢＣ…,真值表,【例2-5】 对于图所示的A、B波形，试确定与门 输出波形例2-6】 利用与门控制计数器输入脉冲的脉冲频率测量电路如图2-10所示，试分析工作原理,图2-10,图2-9,【例2-7】 汽车安全带绑紧检测装置如图2-11所示，试分析工作原理,解：当汽车点火开关接通（输出信号为高电平H），30 s定时器开始计时，当30 s定时器时间到（输出信号为高电平H），若安全带未绑紧（输出信号为高电平H）时，与门输出高电平，三极管9013饱和导通，蜂鸣器报警图2-11,4．与非门 与非门可实现与门和非门的复合运算,逻辑符号：,表达式：,真值表,见0得1，全1得0,图2-12,【例2-8】 对于图2-13所示的A、B波形，试确定与非门输出波形例2-9】某工业生产中，需要监视两种液体的液位，当液位高于液罐高度的10%时，液位传感器输出高电平，否则输出低电平要求当两罐液位同时高于液罐高度的10%时，绿色发光二极管亮。
图2-13,图2-14,5．或非门 或非门可实现或门和非门的复合门运算,,表达式：,逻辑符号,真值表,见1得0，全0得1,【例2-10】 对于图2-16所示的A、B波形，试确定或非门输出波形例2-11】 汽车门关闭检测系统，汽车门若是未完全关闭，门检测开关输出高电平；若是门完全关闭，门开关输出低电平要求若是有一个或多个门未完全关闭，发光二极管亮，提示驾驶员关门图2-16,图2-17,6．异或门（同或非） 异或门：实现异或逻辑 异或是一种二变量逻辑运算，当两个输入变量取值相同时，逻辑函数值为0；当两个输入变量取值不同时，逻辑函数值为1表达式：,逻辑符号:,真值表,Y= A B,【例2-12】 对于图2-19所示的A、B波形，试确定异或门输出波形图2-19,Y= A B,Y= 0 B= B,Y= 1 B=,0,1,,,,7．同或门（异或非） 同或门：实现同或逻辑同或是一种二变量逻辑运算，当两个变量取值相同时，逻辑函数值为1；当两个变量取值不同时，逻辑函数值为0表达式：,逻辑符号:,真值表,Y= A ⊙B,【例2-13】 某装置为可靠运行，采用两套控制装置，当两套控制装置输出结果同是1或0时，一致性检测装置的发光二极管灭，否则发光二极管亮。
解：一致性检测装置如图2-21所示，当控制装置1和2输出同为高电平或是低电平时，同或门输出高电平，发光二极管灭；当控制装置1或2输出不一致时，同或门输出低电平，发光二极管亮图2-21,2.3 逻辑代数基本定律与公式 2.3.1 基本定律 1．交换律 或运算交换律 A + B = B + A 与运算交换律 A · B = B · A,,2. 结合律 或结合律 A + ( B + C ) = ( A + B ) + C 与结合律 A( B C ) = ( AB )C,结合律表明门电路的输出与输入变量组的接入 位置无关,3．分配律 与对或的分配律： A(B+C)=AB +AC,或对与的分配律： A+BC =(A+B)(A +C),证明：,（1）真值表法,或对与的分配律： A+BC =(A+B)(A +C),（2）公式推演法,证明,或对与的分配律： A+BC =(A+B)(A +C),2.3.2 基本公式 1．使能公式 （1）A+0=A （2）A · 1=A,2．禁止公式 （1）A+1=1 （2）A · 0=0,输入为0的信号可以使能或门,输入为1的信号可以使能与门,输入为1的信号可以禁止或门,输入为0的信号可以禁止与门,3．冗余公式 （1）A+A=A （2）A · A=A,4．互补公式,,,,,,5．双重否定公式,6．吸收公式 （1） A+AB =A,两个乘积项相加时，如果一项取反后是另一项的因子，则此因子是多余的，可以消去。
证： A+A·B=A·（1+B）=A·1=A 在两个乘积项相加时，若其中一项以另一项为因子，则该项是多余的，可以删去证：,（2）,与或表达式中，两个乘积项分别包含同一因子的原变量和反变量，若两项的剩余因子包含在第三个乘积项中，则第三项是多余的,公式推广：,等式右边,证明,7．包含公式,2.3.3 基本定理 1．代入定理 任何一个逻辑等式中，如果将等式两边所有出现的某一逻辑变量都用一个逻辑函数式来代替，则逻辑等式仍然成立这个定理称为代入定理等式左侧：,,,2．对偶式和对偶定理 对偶式就是将一个逻辑函数式Y中所有的“·”换成“+”，“+”换成“·”，“1”换成“0”，“0”换成“1”，则得到一个新的逻辑函数式Y' 对偶定理：若是两逻辑函数式相等，则它们的对偶式也相等3．反演定理 将一个逻辑函数式Y中所有的“·”换成“+”，“+”换成“·”，“1”换成“0”，“0”换成“1”，原变量换成反变量，反变量换成原变量，则得到的逻辑函数式为将Y变为的规律称为反演定理 使用反演定理时，注意遵循如下约定： ① 需要遵守“先括号，然后乘，最后加”的运算顺序 ② 不属于单个变量上的非号应该保留不变4．摩根定理 （1）摩根定理 a）定理1： 或函数的非等于非的与函数，即,,,b）定理2：与函数的非等于非的或函数,（1）摩根定理,,,,,【例2-14】使用摩根定理化简图所示的逻辑图。
由摩根定理有：,（2）摩根定理用于门电路转换,,,,,,a）将或门转换成输入低电平有效的与非门b）将与门转换成输入低电平有效的或非门c）将与非门转换成输入低电平有效的或门d）将或非门转换成输入为低电平有效的与门2.4 标准逻辑函数式 1．标准与-或函数式 最小项:若与-或逻辑函数式中的与（乘积）项中包含所有输入变量，且每个变量以原变量或是反变量出现1次，则该与项称为最小项 标准与-或函数式: 与项采用最小项形式的与-或函数式,,最小项 m： m是n个变量的乘积项 m包含n个因子 n个变量可以原变量或反变量的形式在m中出现一次.,对于n变量函数 有2n个最小项,最小项举例：,两变量A、B的最小项,· 三变量A、B、C的最小项,最小项的编号：,在输入变量任一取值下，有且仅有一个最小项的值为1,最小项的性质,在输入变量任一取值下，必有一个最小项而且仅有一个最小项的值为1 全体最小项之和为1 任何两个最小项之积为0 两个相邻的最小项之和可以合并，消去一对因子，只留下公共因子 相邻：仅一个变量不同的最小项,m表示最小项，下标是最小项的编号 在与-或函数式中，只要有一个最小项为1，则与-或函数式等于1。
标准与-或函数式:,2．标准或-与函数式 最大项：若或-与函数式中的或（和）项包含所有变量，且每个变量以原变量或是反变量形式出现1次，则该或项称为最大项 标准或-与函数式：或项采用最大项书写的或-与函数式最大项M M是n个变量的和项 M包含n个变量 n个变量均以原变量或反变量的形式在M中出现一次,对于n变量函数，有2n个最大项,最大项举例： 两变量A、 B的最大项,最大项的编号,在输入变量任一取值下，有且仅有一个最大项的值为0,在非标准或-与式中的或项中，增加缺失变量的原变量和反变量相与的项 例如：或项中缺失变量D，则增加 ，然后用或对与的分配律，就可以将或项转换成最大项 或对与的分配律：A+BC=(A+B)(A+C),求标准或-与函数式的方法：,最大项的性质,在输入变量任一取值下，必有一个最大项，而且仅有一个最大项的值为0 全体最大项之积为0 任何两个最大项之和为1,【例2-15】,,对于任意一个最大项，只有一组变量，使最大项为0,最大项与最小项之间的关系：,,相同编号的最小项和最大项存在互补关系,,若干个最小项之和表示的表达式F，其反函数 F可用与这些最小项相对应的等同个最大项之积表示。
2.5 代数法化简函数式 化简函数式的目的就是使逻辑函数式简单，实现函数式时不仅所用的门电路最少，而且门电路的输入端个数最少或者说在最简与或函数式中，与项最少，与项中的变量数最少，因此为最简与或函数式 逻辑代数法化简就是用逻辑代数的定律与公式进行化简,2.6 卡诺图 2.6.1 画卡诺图 卡诺图是二维表格，像真值表一样，卡诺图中的每一个格代表一个输入组合，因此三变量输入的卡诺图具有23=8个格 卡诺图每个格中填入的数字是对应输入变量组合的输出逻辑值 1.卡诺图,A B,0 0,0 1,1 0,1 1,m0,m1,m2,m3,A,B,AB,A,B,1,0,1,0,m0,m1,m2,m3,mi,,A,BC,0,1,00,01,11,10,m0,m1,m2,m3,m4,m5,m6,m7,m0,m1,m2,m3,m5,m6,m7,m4,,00,01,11,10,00,01,11,10,m0,m1,m2,m3,m4,m5,m6,m7,m12,m13,m14,m15,m8,m9,m10,m11,AB,CD,,卡诺图,00,01,11,10,00,01,11,10,m0,m1,m2,m3,m4,m5,m。