数学（基础模块）数学（基础模块）第第1章章 集集 合合集合的概念集合的概念集合之集合之间的关系的关系1.1集合的基本运算集合的基本运算1.2充要条件充要条件1.31.4 内容简介：本章主要讲述集合的有关概念及集合的表示方法、集合之间的关系、集合的运算、充要条件，主要通过集合语言的学习与运用，培养学生的数学思维能力学习目标：理解集合的有关概念，并掌握集合的表示方法，掌握集合之间的关系和集合的运算，了解充要条件1.1 集合的概念集合的概念1.1.1 集合与元素集合与元素 集合是由某些确定的对象组成的整体，简称集集合里的每一个对象称为集合的元素 集合通常用大写英文字母A，B，C，来表示，集合的元素通常用小写英文字母a，b，c，来表示常用数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集 所有自然数组成的集合称为自然数集，记作N；所有正整数组成的集合称为正整数集，记作 ；所有整数组成的集合称为整数集，记作Z；所有有理数组成的集合称为有理数集，记作Q；所有实数组成的集合称为实数集，记作R.给定一个集合A，如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作 ；如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作 一个集合可以包含有限个元素，也可以包含无限个元素我们把含有有限个元素的集合称为有限集，如方程 的解集；含有无限个元素的集合称为无限集，如N，Z，Q，R等 特别地，不含任何元素的集合称为空集，记作 例如，方程 在实数范围内的解集就是空集 例1 下列对象能否组成一个集合？（1）所有短发的女生；（2）小于10的正奇数；（3）方程x29=0的所有解；（4）不等式x70的所有解 解 （1）由于短发没有具体的标准，表述的对象是不确定的，所以不能构成一个集合 （2）由于小于10的正奇数包括1，3，5，7，9五个数，它们是确定的对象，因此可以构成一个集合 （3）方程 的解为3和3，它们是确定的对象，因此可以构成一个集合 （4）解不等式 ，可得 ，它们是确定的对象，因此可以构成一个集合由方程的所有解组成的集合称为这个方程的解集；由不等式的所有解组成的集合称为这个不等式的解集显然，方程的解集和不等式的解集都是数集 例2 用符号“”或“”填空：（1）5_N，2_N，3.7_N；（2）0_Z，2.3_Z，5_Z；（3）_Q，1.6_Q，9.21_Q；（4）_R，2_R，4.7_R 解 （1），；（2），；（3），；（4），1.1.2 集合的表示方法集合的表示方法 1列举法列举法 对于有的集合，我们可以在大括号中将它的元素一一列举出来，元素之间用逗号隔开，这种表示集合的方法称为列举法 例如，由大于3且小于10的所有偶数组成的集合可以表示为 当集合为元素较多的有限集或为无限集时，若要用列举法表示，可以在大括号内只写出几个元素，其他元素用省略号表示，但写出的元素必须让人明白省略号表示了哪些元素 例如，由小于50的所有正整数组成的有限集可以用列举法表示为 2描述法描述法 有的集合无法用列举法表示，例如由大于2的实数组成的集合，这个集合有无穷多个元素，显然无法一一列举出来这种情况下，我们可以抓住这一集合的元素所具有的特征，即所有元素都是实数，并且大于2，由此可将这个集合表示为 .这种在大括号内将集合中元素的共同属性描述出来以表示集合的方法称为描述法 例3 用列举法表示下列集合：（1）英文单词good中的字母组成的集合；（2）方程 的解集 解 （1）集合中的元素是不能重复的，相同元素只写一次，所以集合应表示为 （2）解方程 得 ，所以该方程的解集为 例4 用描述法表示下列集合：（1）大于3的所有奇数组成的集合；（2）不等式 的解集；（3）直线 上的点组成的集合 解 （1）该集合中元素的共同属性可以描述为 ，所以这个集合可以表示为 （2）解不等式 得 ，所以该不等式的解集为 （3）平面直角坐标系中的点可表示为 ，因此直线 上的点组成的集合为 1.2 集合之间的关系集合之间的关系1.2.1 子集与真子集子集与真子集 1子集子集 一般地，如果集合B中的每一个元素都是集合A的元素，那么集合B称为集合A的子集，记作 （或 ），读作“B包含于A”（或“A包含B”）显然，任何一个集合A的所有元素都属于它本身，所以任何一个集合都是它自身的子集，即 我们规定，空集是任何集合的子集也就是说，对于任何一个集合A，都有 2真子集真子集 如果集合B是集合A的子集，并且A中至少有一个元素不属于B，那么集合B称为集合A的真子集，记作 （或 ），读作“B真包含于A”（或“A真包含B”）易知，空集是任何非空集合的真子集 当集合B是集合A的真子集时，可用图1-1直观地表示两条封闭曲线的内部分别表示集合A、B图1-1 例1 用适当的符号（、）填空：（1）_ ；（2）_ ；（3）_ ；（4）_ ；（5）b _ ；（6）_Q；（7）0_ 解 （1）由于方程 的解为 ，解集为 ，所以 （2）集合 的元素都是集合 的元素，因此 （3）空集是任何集合的子集，因此 （4）集合 的元素都是集合 的元素，因此 （5）b是集合 的元素，因此 （6）正整数都是有理数，因此 Q （7）0不是集合 的元素，因此 例2 写出集合 的所有子集和真子集 解 集合A的所有子集为 ，在上述子集中，除了集合A自身 外，其余的都是它的真子集 1.2.2 集合相等集合相等 一般地，如果两个集合的元素完全相同，那么就说这两个集合相等集合A等于集合B，记作，读作“A等于B”由集合相等的定义可知，显然，若集合 ，则 且 例3 判断集合 与 的关系 解 集合A用列举法可以表示为 ；而方程 的解为 ，所以集合B用列举法可以表示为 ，因此这两个集合的元素完全相同，所以A=B1.3 集合的基本运算集合的基本运算1.3.1 交集交集 一般地，对于两个给定的集合A，B，由既属于A又属于B的所有元素组成的集合称为A与B的交集，记作AB，读作“A交B”集合A与集合B的交集可用描述法表示为 ，也可用图1-2中的着色部分来表示图1-2 由交集的定义可知，对于任何集合A与B，都有 ，例1 设 ，求 解 例2 设 ，求 解 将集合A，B在数轴上表示出来，如图1-3所示图1-3 从图中可以看出，着色部分即为集合A，B的交集，即 例3 设 ，求 解 集合A，B分别表示方程 ，的解集，两个解集的交集就是二元一次方程组 的解集解这个二元一次方程组得 ，所以 1.3.2 并集并集 一般地，对于两个给定的集合A，B，由集合A，B的所有元素组成的集合称为A与B的并集，记作 ，读作“A并B”集合A与集合B的并集可用描述法表示为也可用图1-4中的着色部分来表示图1-4 由并集的定义可知，对于任何集合A与B，都有 ，例4 设 ，求 解 例5 设 ，求 解 将集合A、B在数轴上表示出来，如图1-5所示图1-5 从图中可以看出，着色部分即为集合A、B的并集，即1.3.3 补集补集 在研究集合与集合之间的关系时，如果一些集合都是某个给定集合的子集，则称这个给定的集合为全集，一般用U表示例如，在研究数集时，经常把实数集R作为全集 如果集合A是全集U的一个子集，则由U中不属于A的所有元素组成的集合称为A在全集U中的补集，记作 ，读作“A在U中的补集”集合A在全集U中的补集可用描述法表示为也可用图1-6中的着色部分来表示图1-6 如果全集U为实数集R，可以将 中的U省略，简记为 ，读作“A的补集”由补集的定义可知，对于任何集合A，都有 ，例6 设 ，求 和 解 ，例7 设 ，求 解 将集合A在数轴上表示出来，如图1-7所示图1-7 从图中可以看出，着色部分即为A的补集，即1.4 充要条件充要条件 给定条件p和结论q：（1）如果由条件p成立能推出结论q成立，则称条件p是结论q的充分条件，记作 （2）如果由结论q成立能推出条件p成立，则称条件p是结论q的必要条件，记作 （或 ）如果p既是q的充分条件（），又是q的必要条件（），则称p是q的充分且必要条件，简称充要条件，记作 例 指出条件p是结论q的什么条件 （1），；（2），；（3），；（4），；（5），；（6），解 （1）由条件 成立，能够推出结论 成立，因此p是q的充分条件；而由结论 成立，不能推出条件 成立，因此p不是q的必要条件 （2）大于5的数不一定是正数，故由条件 成立，不能推出结论 成立，因此p不是q的充分条件；由于正数肯定大于5，故由结论 成立，能够推出条件 成立，因此p是q的必要条件 （3）由条件 成立，能够推出结论 成立，并且由结论 成立，也能够推出条件 成立，因此p是q的充要条件 （4）由条件 成立，能够推出结论 成立，因此p是q的充分条件；而由结论 成立，不能推出条件 成立，因此p不是q的必要条件 （5）由条件 成立，不能推出结论 （即x=7）成立，因为有可能是“x=7”，故p不是q的充分条件；而由结论 成立，能够推出条件 成立，故p是q的必要条件 （6）由条件 成立，能够推出结论 成立，并且由结论 成立，能够推出条件 成立，因此p是q的充要条件。