1数理统计习题答案数理统计习题答案 第一章 1.解： ()()()()()()()12252112222219294 103 105 1061005111005192 10094 100103 100105 100106 100534niiniiiiXxnSxxxn===++++====−=−=−+−+−+−+−=∑∑∑ 2. 解：子样平均数 *11liiiXm xn==∑ ()11 83 406 1026 2604=× + ×+ ×+×= 子样方差 ()22*11liiiSmxxn==−∑ ()()()()222218144034106422646018.67=×−+×−+×−+×−= 子样标准差 24.32SS== 3. 解：因为 iixayc−= 所以 iixacy=+ 11niixxn==∑ ()1111niiniiacynnacyn===+=+∑∑ 1niicaynacy==+=+∑ 所以 xacy=+ 成立 ()2211nxiisxxn==−∑ ()()()22122111nii iniiniiacyacyncycyncyyn====+−−=−=−∑∑∑ 因 为 ()2211nyiisyyn==−∑ 所 以 222xysc s= 成立 2 ( )( )( )()( )172181203.2147.211.2ennenMXXRXXMXX++====−=− −====4. 解：变换 2000iiyx=− i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ix 1939 1697 3030 2424 2020 2909 1815 2020 2310 iy -61 -303 1030 424 20 909 -185 20 310 11niiyyn==∑()161 303 103042420909 185203109240.444=−−++++−++= ()2211nyiisyyn==−∑ ()()()()()()()()()222222222161 240.444303240.4441030240.4449424240.44420240.444909240.444185240.44420240.444310240.444197032.247=−−+ −−+−+−+−+−+−−+−+−= 利用3题的结果可知 2220002240.444197032.247xyxyss=+=== 5. 解：变换 ()10080iiyx=− i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 ix 79.98 80.04 80.02 80.04 80.03 80.03 80.04 79.97 80.05 80.03 80.02 80.00 80.02 iy -2 4 2 4 3 3 4 -3 5 3 2 0 2 13111113niiiiyyyn====∑∑ []12424334353202132.00=− ++++ + +− ++ +++= ()2211nyiisyyn==−∑ 2 ()()()()()()222222122.00322.0052.00342.0013332.0032.005.3077=− −+ ×−+−+ ×−+ ×−+ − −= 利用3题的结果可知 2248080.021005.30771010000yxyxss−=+===× 6. 解：变换()1027iiyx=− *ix 23.5 26.1 28.2 30.4 iy -35 -9 12 34 im 2 3 4 1 11liiiym yn==∑ ()135 29 3 12 434101.5=−×− × +× += − 2710yx=+=26.85 ()2211lyiiismyyn==−∑ ()()()()22221235 1.539 1.5412 1.534 1.510440.25=× −++ × − ++ ×+++= 2214.4025100xyss== 7解： 身高 154?158 158?162 162?166 166?170 170?174 174?178 178?182 组中值 156 160 164 168 172 176 180 学生数 10 14 26 28 12 8 2 *11liiixm xn==∑ ()1156 10160 14 16426 172 12 168 28 176 8 180 2100166=×+×+×+×+×+× +×= 3 ()22*11liiismxxn==−∑ ()()()()()()()2222222110156166141601662616416628168166100121721668176166218016633.44=×−+×−+×−+×−+×−+×−+×−= 8解：将子样值重新排列（由小到大） -4，-2.1，-2.1，-0.1，-0.1，0，0，1.2，1.2，2.01，2.22，3.2，3.21 ( )( )( )()( )172181203.2147.211.2ennenMXXRXXMXX++====−=− −==== 9解： 121211121211nnijijnxnxnnxnn==+=+∑∑112212n xn xnn+=+ ()12221121nniisxxnn+==−+∑ 10.某射手进行20次独立、重复的射手，击中靶子的环数如下表所示： 环数 10 9 8 7 6 5 4 频数 2 3 0 9 4 0 2 试写出子样的频数分布，再写出经验分布函数并作出其图形。
解： 环数 10 9 8 7 6 5 4 频数 2 3 0 9 4 0 2 频率 0.1 0.15 0 0.45 0.2 0 0.1 ( )20040.1460.3670.75790.9910110xxxFxxxx<≤<≤<=≤<≤<≥ 11.解： 区间划分 频数 频率 密度估计值 154?158 10 0.1 0.025 158?162 14 0.14 0.035 162?166 26 0.26 0.065 166?170 28 0.28 0.07 170?174 12 0.12 0.03 174?178 8 0.08 0.02 4178?182 2 0.02 0.005 12. 解： ( )ixPλ? iExλ= iDxλ= 1,2,,in=⋅⋅⋅ 1122111111nniiiinniiiinEXExExnnnnDXDxDxnnnnλλλλ============∑∑∑∑ 13.解：(),ixU a b? 2iabEx+= ()212ibaDx−= 1,2,,in=⋅⋅⋅ 在此题中 ()1,1ixU −? 0iEx = 13iDx = 1,2,,in=⋅⋅⋅ 112111101113nniiiinniiiiEXExExnnDXDxDxnnn==========∑∑∑∑ 14.解：因为 ()2,iXNµ σ? 0iXEµσ−= 1iXDµσ−= 所以 ()0,1iXNµσ−? 1,2,,in=⋅⋅⋅ 由2χ分布定义可知 ()222111nniiiiXYXµµσσ==−=−=∑∑服从2χ分布 所以 ( )2Ynχ? 15. 解：因为 ()0,1iXN? 1,2,,in=⋅⋅⋅ ()1230,3XXXN++? 050100150200123456789Éí ¸ß学生数 5 12303XXXE++= 12313XXXD++= 所以 ()1230,13XXXN++? ( )2212313XXXχ++? 同理 ( )2245613XXXχ++? 由于2χ分布的可加性，故 ( )22212345612333XXXXXXYχ++++=+? 可知 13C = 16. 解： （1）因为 ()20,iXNσ? 1,2,,in=⋅⋅⋅ ()0,1iXNσ? 所以 ( )22121niiXYnχσσ==∑? ( ){}11122YYyFyP YyPσσ=≤=≤ ( )220yfx dxσχ=∫ ( )( )211'221YYyfyFyfχσσ==× 因为 ( )2122202200nxnxexnfxxχ−−>=Γ≥ 6所以 ( )21122202200nynnYyeynfyyσσ−−>=Γ≤ （2） 因为 ()20,iXNσ? 1,2,,in=⋅⋅⋅ ()0,1iXNσ? 所以 ( )22221niiXnYnχσσ==∑? ( ){}( )22222220nyYnYnyFyP YyPfx dxσχσσ=≤=≤=∫ ( )( )222'22YYnynfyFyfχσσ== 故 ( )221222202200nnnynnYn yeynfyyσσ−−>=Γ≤ （3）因为 ()20,iXNσ? 1,2,,in=⋅⋅⋅ ()10,1niiXNnσ=∑? 所以 ( )22311niiXYnnχσσ==∑? ( ){}( )( )22333210ynYYFyP YyPyfx dxnσχσ=≤=≤=∫ ( )( )( )233'2211YYyfyFyfnnχσσ== ( )( )22110200xexfxxxχπ−>=≤ 7故 ( )23210200ynYeyfynyyσσπ−>=≤ （4）因为 ()20,iXNσ? 1,2,,in=⋅⋅⋅ 所以 ()( )1224210,11niiniiXNnXYnσχσσ===∑∑?? ( ){}( )( )( )( )( )224224442210'2211yYYYyFyP YyPfx dxyfyFyfσχχχσσσσ=≤=≤===∫ 故 ( )24210200yYeyfyyyσπ σ−>=≤ 17.解：因为 ( )Xt n? 存在相互独立的U，V ()0,1UN? ( )2Vnχ? 使 UXVn= ( )221Uχ? 则 221UXVn= 由定义可知 ()21,Fnχ? 18解：因为 ()20,iXNσ? 1,2,,in=⋅⋅⋅ ()10,1niiXNnσ=∑? ( )221n mii nXmχσ+= +∑? 8所以 ( )1112211nniiiin mn miii ni nXmXnYt mXnXmσσ==++= += +==∑∑∑∑? （2）因为 ()0,1iXNσ? 1,2,,inm=⋅⋅⋅+ ( )( )221221niin mii nXnXmχσχσ=+= +∑∑?? 所以 ()221122211,niniiin mn miii ni nXmXnYF n mXnXmσσ==++= += +==∑∑∑∑? 19.解：用公式计算 ()20.010.0190902 90Uχ=+× 查表得 0.012.33U= 代入上式计算可得 ()20.01909031.26121.26χ=+= 20.解：因为 ( )2Xnχ? 2Enχ= 22Dnχ= 由2χ分布的性质3可知 ()0,12XnNn−? {}22XncnP XcPnn−−≤=≤ 22212222limc nntnXncncnPedtnnnn−−→∞−∞−−−≤== Φ∫ 故 {}2cnP Xcn−≤≈ Φ 第第 二二 章章 91. 0000,0()0 ,0()()1()111xxxxxexfxxExfxx d xx ed xx eedxexλλλλλλλλλλλλ−+ ∞+ ∞−− ∞+ ∞+ ∞−−+ ∞−≥=<=⋅== −+= −==∫∫∫令 从而有 1xλ∧= 2. ()111121).()(1)(1)1111kkxxExkpppkpppp∞∞−−===−=−==−−∑∑ 令1p＝X 所以有1pX∧= ２） ．其似然函数为1`11( )(1)(1)nixiinX nniLPPp pp−=−=∑=−=−∏ 1ln()ln() ln (1)niiLPnpXnp==+−−∑ 1l n1()01niidLnXnd ppp==−−=−∑ 解之得 11niinpXX∧===∑ ３． 解：因为总体Ｘ服从Ｕ（a，b）所以 10()2122!2!!()1233niiabnE XrnrXXXXabSXSbXS=∧∧+=−−=−==−=+∑222（ a-b）（） D（ X） =12令 E（ X） = D（ X） =S ，1S = na+b2（）a 4. 解： （1）设12,,nx xxL为样本观察值则似然函数为： 111()(), 01,1, 2 ,,ln()lnlnlnln0nniiiniiiniiLxxinLnxdLnxdθθθθθθθθ−====<<==+=+=∏∑∑L（- 1 ） 解之得：11l nlnniiniinxnxθθ=∧==−= =∑∑ （2）母体 X 的期望 10( )( )1E xxfx dxx dxθθθθ+∞−∞===+∫∫ 而样本均值为： 11( )1niiXxnE xXXXθ=∧===−∑令得 5.。
解：其似然函数为： 11 1111111( )2(2 )1ln( )ln(2 )10niiixnxniniiniiLeeLnxxσσσσσσσσσσ=−−==∧=∑=⋅=⋅= −−=∏∑=∑令得： （2）由于 00011222111()()()xxxxnniiiixxEed xed xx eed xEExExnnnnσσσσσσσσσσ+ ∞−−−−+ ∞+ ∞+ ∞− ∞∧=====−+====⋅=∫∫∫∑∑ 所以11niixnσ∧==∑ 为σ的无偏估计量 6. 解：其似然函数为： (1)(1)()()(1)!(1)!11kknnkxnxikiLxexeiikkiiβββββ−−−−∏==∏−−== ln()ln(1) ln ()11nnLn kkXXiiiiβββ=+−−∑∑== 1ln()0niidLnkdXβββ==−=∑ 解得 1niinkkXXβ∧===∑ ７．解：由题意知：均匀分布的母体平均数220ββµ=−=， 方差1212)0(222ββλ=−= 用极大似然估计法求β得极大似然估计量 似然函数：∏==ninL11)(θβ β≤≤≤≤≤niiiixx1)(maxmin0 1( ),0,f xxββ=≤≤ 12选取β使L达到最大取niix≤≤∧=1maxβ 由以上结论当抽得容量为 6 的子样数值 1.3，0.6，1.7，2.2，0.3，1.1，时 2 . 2=∧β即, 1 . 12==∧∧βµ 4033. 0122 . 22 . 21222≈×==∧βσ 8. 解：取子样值为)(),,,(21θ≥inxxxxL 则似然函数为： ∏=−−=nixieL1)()(θθ θ≥ix ∑∑==+−=−−=niniiinxxL11)()(lnθθθ 要使似然函数最大，则需θ取),,,min(21nxxxL 即∧θ=),,min(21nxxxL 9. 解：取子样值)0)(,,(2, 1>inxxxxL 则其似然函数∑===−=−∏niiixnnixeeL11)(λλλλλ ∑=−=niixnL1ln)(lnλλλ ∑=−=niixndL1)(lnλλλ xxnnii11==∑=∧λ 由题中数据可知 20)6525554545703510025150152455365(10001=×+×+×+×+×+×+×=x 则 05. 0201==∧λ 10. 解： （1）由题中子样值及题意知： 极差7 . 45 . 12 . 6=−=R 查表 2-1 得4299. 015=d 故0205. 27 . 44299. 0=×=∧λ （2）平均极差115. 0=R，查表知3249. 0110=d 0455. 0115. 03249. 0=×=∧λ 解：设∧u为其母体平均数的无偏估计，则应有x=∧µ 13又因4)26261034018(601=×+×+×+×=x 即知4=∧µ 12. 解：) 1 ,(~µNXQ µ=∴)(ixE ，1)(=ixD， )2 , 1(=i 则µµ=+=∧2113231)(EXEXE µµ=+=∧2124341)(EXEXE µµ=+=∧2132121)(EXEXE 所以三个估计量321,,∧∧∧µµµ均为µ的无偏估计 9591949194)3132()(2121=+=+=+=∧DXDXXXDDµ 同理可得85)(2=∧µD，21)(2=∧µD 可知3∧µ的方差最小也亦∧2µ最有效。
13 解：)(~λPXQλλ==∴)(,)(XDXE ])(11[)(122*∑=−−=niiXXnESE)]()([11212XnEXEnnii−−=∑= ] )()([11122∑=+−+−=ninnnλλλλλλλ=−−=)(11nn 即2*S是λ的无偏估计 又因为λ====∑∑∑===niiniiniiEXnXEnXnEXE1111)(1)1()( 即X也是λ的无偏估计 又] 1 , 0[∈∀α λλλαλααα=−+=−+=−+)1 ()()1 ()())1 ((2*2*SEXESXaE 因此2*)1 (SXαα−+也是λ的无偏估计 14.解：由题意：),(~2σµNX 因为])(()([)()(21111212iiniiiiiXXEXXDCXXECE−+−=−=+−=++∧∑∑λ 142112111) 1(22]0)()([λλ−==++=∑∑−=−=+nCCXDXDCniniii 要使22)(λλ=∧E只需) 1(21+=nC 所以当) 1(21−=nC时2∧λ为2λ的无偏估计 15.证明：Q参数θ的无偏估计量为∧θ，∧θD依赖于子样容量n 则, 0>∀ε由切比雪夫不等式 0lim=∧∞→θDnQ故有1lim=<−∧∞→εθθpn 即证∧θ为θ的相合估计量。
16 证明：设 X 服从),(pNB，则分布律为 kkkNPPkXPC)1 ()(−== ), 2 , 1(NkK= 这时NPXE=)( )1 ()(PNPXD−= 2222)1 ()(PNPNPEXDXEX+−=+= 例 4 中NXp−∧= 所以PNNPNXEPE===−∧)(（无偏） NnPPnNPNPNXDPD)1 ()1 (22−=−==−∧ 罗—克拉美下界满足 ∑=−−−−∂∂=nkPNKKNPNKKNRPPPPLnpnICC02)1 (])1 ([1 ∑=−−−−++∂∂=NKKNKKNKNPPPLnPNKLnPLnPnCC02)1 ())]1 ()(([ ∑=−−−−−=NKKNKKNPPPPNPKnC02)1 (]1[ ])1 (2)1 (22[222222PEXNEXNPPEXNEXPEXn−+−+−−−= 222222222222)1 ()1 (2)1 ()1 (2)1 ([PPNPNPPNNPPNPNPPNPPNPNPn−+−+−+−−−−−+−=)1 (]111[PPnNPPnN−=−+= 15 所以∧=−=PDnNPPIR)1 (即∧p为优效估计 17． 解：设总体 X 的密度函数 222)(21)(σµσπ−−=xexf 似然函数为∏=−−−−∑===nixnxniiieeL12)(222)(221222)2(21)(σµσµπσσπσ 212222)(222)(σµσπσ∑=−−−−=niixLnnLnnLnL 02)(241222=−+−=∑=σµσσniixnddLnL ∑=−=niixn122)(1µσ 因为∫+∞∞−∂∂dxxfxLnf)())((22σ=∫∞+∞−−−−−dxexx222)(224221]212)([σµσπσσµ =]2)()([4142248σσµµσ+−−−XEXE =42σn 故2σ的罗—克拉美下界 42σnIR= 又因∑=∧−=niiXnEE122))(1(µσ∑=−=niiXEn12))((1µ2σ= 且∑=−=niiXnDD122))(1()(µσ42σn= 所以2∧σ是2∧σ的无偏估计量且)(2∧=σDIR 故2∧σ是2∧σ的优效估计 18． 解：由题意：n=100，可以认为此为大子样， 所以nSXUµ−=近似服从) 1 , 0(N αα−=1}{2uUPp 得置信区间为nsux2(α− )2nsuxα+ 已知95. 01=−α s=40 x=1000 查表知96. 12=αu代入计算得 16所求置信区间为（992.16 1007.84） 19.解： （1）已知cm01. 0=σ 则由) 1 , 0(~NnXUσµ−= αα−=<1}{2uUP 解之得置信区间nuXσα2(− )2nuXσα+ 将 n=16 X=2.125 645. 105. 02== uuα 01. 0=σ 代入计算得置信区间（2.1209 2.1291） （2）σ未知 ) 1(~−−=ntnSXTµ αα−=<1}{2tTP 解得置信区间为2(αtnsX − )2αtnsX + 将 n=16 753. 1)15()15(05. 02== ttα 00029. 02=S代入计算得 置信区间为（2.1175 2.1325） 。
20． 解：用 T 估计法 ) 1(~−−=∗ntnSXTµ αα−=−<1)}1({2ntTP 解之得置信区间2(αtnSX∗− )2*αtnSX+ 将6720=X 220=∗S n=10 查表2622. 2)9(025. 0=t 代入得置信区间为（6562.618 6877.382） 21．解：因 n=60 属于大样本且是来自（0—1）分布的总体，故由中心极限定理知 )1 ()1 (1pnpnpXnpnpnpXnii−−=−−∑=近似服从) 1 , 0(N 即 αα−=<−−1})1 ()({2upnpPXnp 17解得置信区间为2)1 ((αunppX−− ))1 (2αunppX−+ 本题中将nUn代替上式中的X 由题设条件知25. 0=nUn 055. 0)()1 (2=−=−nUnUnppnn 查表知96. 1025. 0==UUn 代入计算的所求置信区间为（0.1404 0.3596） 22． 解：2σ未知 故) 1 , 0(~NnXUσµ−= 由αα−<<1}{2uUP 解得 置信区间为2(ασunX − )2ασunX + 区间长度为22ασun 于是Lun≤22ασ 计算得22224ασULn≥ 即为所求 23．解：µ未知，用2χ估计法 ) 1(~) 1(2222−−=nSnχσχ αχχχαα−=−<−<−−1)}1() 1() 1({222221nnnP 解得σ的置信区间为222) 1((αχSn− )) 1(2212αχ−−Sn （1）当 n=10，∗S=5.1 时 查表)9(2005. 0χ=23.59 )9(2995. 0χ=1.73 代入计算得σ的置信区间为（3.150 11.616） （2）当 n=46，∗S=14 时 查表)45(2005. 0χ=73.166 )45(2995. 0χ24.311 代入计算可得σ的置信区间为（10.979 19.047） 24．解： （1）先求µ的置信区间 由于σ未知 18 ) 1(~−−=ntnSXTµ αα−=<1}{2tTP 得置信区间为2(αtnSX − )2αtnSX + 经计算2203. 012. 5==SX 查表093. 2)19(025. 0=t n=20 代入计算得置信区间为（5.1069 5.3131） （2）µ未知 用统计量) 1(~) 1(2222−−=nSnχσχ αχχχαα−=<<−1}{222221P 得σ的置信区间为222) 1((αχSn− )) 1(2212αχ−−Sn 查表)19(2025. 0χ=32.85 )19(2975. 0χ=8.91 代入计算得σ的置信区间为（0.1675 0.3217） 25．解：因1+nX与nXXXK,,21相互独立，所以1+nX与X相互独立，故 ))11 ( , 0(~21σnNXXn+−+ 又因) 1(~222−nnSχσ 且与XXn−+1相互独立，有 T 分布的定义知 ) 1(~11) 1(11221−+−−=−+−++ntnnSXXnnSnnXXnnσσ 26． 解：因),(~21σµNXi miK, 2 , 1= ),(~22σµNYj njK, 2 , 1= 所以), 0(~)(221mNXσαµα−， ), 0(~)(222nNYσβµβ− 由于X与Y相互独立，则 19)]( , 0[~)()(2221nmNYXβαµβµα+−+− 即 ) 1 , 0(~)()(2221NnmYXσβαµβµα+−+−又因 ) 1(~222−mmsxχσ ) 1(~222−nnsyχσ 则)2(~22222−++nmnsmsyxχσσ 构造 t 分布 nmYX2221)()(βασµβµα+−+−=)2(~2)()(222221−++−++−+−nmtnmnmnsmsYXyxβαµβµα 27． 证明：因抽取 n>45 为大子样 ) 1(~) 1(222*2−−=nsnχσχ 由2χ分布的性质 3 知 ) 1(2) 1(2−−−=nnUχ近似服从正态分布) 1 , 0(N 所以 αα−=≤1}{2uUP 得 22) 1(2) 1(αχunn≤−−− 或2222) 1(2) 1() 1(αασunnsnu≤−−−−≤− 可得2σ的置信区间为 −−−+2222121,121ααunsuns 28．． 解： 因22221σσσ==未知，故用T统计量 )2(~11)(21−++−−−=mntmnsYXTwµµ 其中2) 1() 1(22212−+−+−=mnsmsnsw 而05. 0=α 2−+mn 20查表 144. 2)4(025. 0=t 计算 625.81=X 125.76=Y 695.14521=s，554.10122=s， 625.1232=ws 代入得 9237.115 . 511)2(2±=+−+±−mnsmntYXwα 故得置信区间)4237.17,4237. 6(− 29 解： 因22221σσσ==故用T统计量 )2(~11)(21−++−−−=mntmnsYXTwBAµµ其中2) 1() 1(22212−+−+−=mnSmSnSW αα−=<12tTP 计算得置信区间为 mnmntSXXWBA11)2((2+−+−−α )11)2(2mnmntSXXWBA+−++−α 把2WS=0.000006571 )7(2αt=2.364 代入可得所求置信区间为（-0.002016 0.008616） 。
30．．解：由题意 用 U 统计量 ) 1 , 0(~)(22212121NmSnSXXU+−−−=µµ αα−=<1}}{2uUP 计算得置信区间为 mSnSuXX2221221(+−−α )2221221mSnSuXX++−α 把71. 11=X 67. 12=X 221035. 0=S 222038. 0=S 100== mn 96. 1025. 02== uuα 代入计算得 置信区间)0501. 0 ,0299. 0(− 31．解：由题意，21,uu未知，则 21) 1, 1(~12212*1222*2−−=nnFSSFσσ则ααα−=−−<<−−−1) 1, 1() 1, 1(1221221nnFFnnFP 经计算得ασσαα−=−−<<−−−1) 1, 1() 1, 1(2*22*112222212*22*11221SSnnFSSnnFP 解得2221σσ的置信区间为−−−−−2*22*11222*22*11221) 1, 1(,) 1, 1(SSnnFSSnnFαα 61=n 92=n 245. 02*1=S 357. 02*2=S 05. 0=α 查表：82. 4)8 , 5(025. 0=F 207. 082. 41)8 , 5(1)5 , 8(025. 0975. 0===∴FF 带入计算得2221σσ的置信区间为：)639. 4 ,142. 0(。
32. 解：2σ未知，则 ) 1(~*−−=ntnSXTµ即：{}αα−=−<1) 1(ntTP 有：αµα−=−−>1) 1(*nSntXP则单侧置信下限为：nSntX*) 1( −−α 将6720=X 220*=S 10=n 833. 1)9(05. 0=t 带入计算得471.6592 即钢索所能承受平均张力在概率为%95的置信度下的置信下限为471.6592 33.解：总体服从（0，1）分布且样本容量 n=100 为大子样 令X为样本均值，由中心极限定理 ) 1 , 0(~2NnnPXnσ− 又因为22S=σ所以αα−=<−12unSnpXnP 则相应的单侧置信区间为−∞(， )2αunSX + 将X=0.06 94. 06 . 0)1 (2×=−=nmnmS 645. 105. 0== uuα 代入计算得所求置信上限为 0.0991 即为这批货物次品率在置信概率为 95%情况下置信上限为 0.0991 2234.解：由题意： ) 1(~) 1(2222−−=∗nSnχσχ{}αχχα−=−>−1) 1(122nP 解得σ的单侧置信上限为) 1() 1(212−−−∗nSnαχ 其中 n=10，∗S=45， 查表==−)9() 1(295. 02χχαn3.325 代入计算得σ的单侧置信上限为 74.035。
第三章第三章 1.解: 假设: 26:,26:10≠=µµHH 由于2 . 5=σ已知,故用统计量) 1 , 0(~ Nnxuσµ−=− αα=≥2uuP u的拒绝域2αuu ≥ 2 . 142 . 52656.27=−=−=−nxuσµ 因显著水平05. 0=α,则96. 12 . 1025. 02==≤=uuuα 这时,就接受0H 2. 解: (1) σ已知,故) 1 , 0(~0Nnxuσµ−=− αα=≥2uuP u的拒绝域2αuu ≥ 2 . 3101532. 50=−=−=−nxuσµ因显著水平01. 0=α,则 576. 22 . 3005. 02==≥=uuuα 故此时拒绝0H:5=u (2) 检验8 . 4=u时犯第二类错误的概率β −+−−−∫−=xdennnnx02022022021σµµσµµσµαασπβ 令nxt0σµ−=−则上式变为 237180. 0171990. 09999979. 01)58. 0()58. 4()58. 0()58. 4(212158. 458. 0222201020102≈−+=−Φ+Φ=−Φ−Φ===∫∫−−+−−−−dtedtetununtππβαασµµσµµ 3. 解:假设25. 3:,25. 3:10≠=µµHH 用t检验法拒绝域) 1(2*−≥−=−ntnsxTαµ 01. 0=α, 252. 3=−x 查表6041. 4)14(0112. 0=t 0130. 0,00017. 02*==ss 代入计算)14(344. 00112. 0tT<= 故接受0H,认为矿砂的镍含量为25. 3 4 解:改变加工工艺后电器元件的电阻构成一个母体,则在此母体上作假设64. 2:0=µH,用大子样检验 ) 1 , 0(~0Nnsxuµ−=− 拒绝域为2αuu ≥ 由01. 0,06. 0,62. 2,200====−αsxn 查表得575. 22=αu 20575. 233. 31006. 002. 0αµunsxu=>==−=− 故新加工工艺对元件电阻有显著影响. 5 .解：用大子样作检验，假设00:µµ=H ) 1 , 0(~0Nnsxu近似µ−=− 拒绝域为2αuu >由96. 1,05. 0,162. 0,994. 0,973. 0,200025. 00======−usxnαµ 96. 1833. 1200162. 0021. 00<≈=−−nsxµ故接收0H，认为新工艺与旧工艺无显著差异。
6.解:由题意知，母体X的分布为二点分布), 1 (pB，作假设)17. 0(:000==pppH 24此时)(个产品中废品数为nmnmx=− 因400=n很大，故由中心极限定理知−x近似服从正态分布 故) 1 , 0(~)1 (000Nnpppnmu−−=即αα≈≥−−})1 ({2000unpppnmP 计算得拒绝域为nppupnm)1 (0020−≥−α 把17. 0,96. 1,400,560025. 02=====puunmα代入 037. 00188. 096. 103. 017. 014. 00=×<=−=−pnm 即接受0H，认为新工艺不显著影响产品质量 7 解：金属棒长度服从正态分布原假设5 .10:00==µµH，备择假设01:µµ≠H ) 1(~−−=−ntnsxtµ 拒绝域为2αtt ≥ 48.10)7 .106 .104 .10(151=+++=−Lx 样本均方差237. 0)48.107 .10()48.104 .10(14122=−++−=Ls 于是327. 015237. 002. 00==−=−nsxtµ而144. 2)14(025. 0=t 因144. 2327. 0< 故接受0H，认为该机工作正常。
8．解：原假设12100:00==µµH，备择假设01:µµ≠H ) 1(~0−−=−ntnsxµτ，拒绝域为2αtT ≥ 将05. 0,323,11958===−αsx代入计算 068. 2)13(153. 224323142025. 00=≥==−−tnsxµ 故拒绝原假设即认为期望 259． 假设8 .20:, 8 .20:010=>==µµµµHH 使用新安眠药睡眠平均时间 2 .24)4 .230 .227 .26(71=+++=−Lx 296. 2])2 .244 .23()2 .247 .26[(612222==−++−=sssL 046. 47296. 24 . 30==−=−nsxtµ 所以拒绝域为) 1(05. 0−>ntt 查表tt=<=046. 4943. 1)6(05. 0 故否定0H 又因为38 .202 .24+>=−x 故认为新安眠药已达到新疗效 10． 原假设乙甲乙甲，µµµµ≠=::10HH) 1 , 0(Nu~222121近似乙甲nsnsxx+−=−− 解得拒绝域2uuα≥ 100n,140n00.105s ,41.120s2680x,2805x212121======−−代入计算03. 810010511041.120125nsnsxx2222212121=+=+−−− 查表96. 1uu025. 02==α 因96. 103. 8> 故拒绝原假设即两种枪弹速度有显著差异。
11．解：因两种作物产量分别服从正态分布且2221σσ= 假设211210:,:µµµµ≠=HH 故统计量)2(~112121−++−=−−nntnnSYXTw 其中2) 1() 1(212221−+−+−=nnsnsnSyxw 拒绝域为2αtT ≥ 代入计算063.24=ws 2878)18()2(005. 0212==−+tnntα 代入数值T的观测植为 85. 0756.1018. 9101101063.2479.2197.30≈=+×−=t 因为)18(878. 285. 0005. 0tt=<= 26所以接受0H，认为两个品种作物产量没有显著差异 12． 解：因两台机床加工产品直径服从正态分布且母体方差相等，由题意 假设211210:,:µµµµ≠=HH 统计量)2(~11212121−++−=−−nntnnSXXTw 2) 1() 1(21222211−+−+−=nnsnsnSw 拒绝域为2αtT ≥ 数值代入计算5473. 0=ws 265. 05175. 05437. 0925.19203966. 0,2164. 020)2 .197 .19(71925.19)9 .195 .20(81222121≈×−====++==++=−−tssxxLL 因)13(160. 2265. 0025. 0tt=<= 故接受假设0H，认为直径无显著差异。
13．解：由题意设施肥，未施肥植物中长势良好率分别为2, 1pp（均未知） 则总体), 1 (~),, 1 (~21pBYpBX且两样本独立假设211210,:ppHppH>== 既)()(:).()(:10yExEHyExEH>=而)(),(yDxD均未知，则 ) 1 , 0(~222121Nnsnsyxu+−=−−由题意易得2491. 0)1 (53. 010053,1001137. 0)1 (87. 0900783,900222211=−=====−=≈==−−−−−−yysynxxsxn 于是6466. 60511. 034. 01002491. 09001137. 053. 087. 0222121==+−=+−−−nsnsyx查表6466. 633. 201. 0<=u 故应拒绝0H，接受1H即认为施肥的效果是显著的 （1） 14． 解：假设两厂生产蓄电池容量服从正态分布由于21,σσ未知，故假 27设211210:,:µµµµ≠=HH选取统计量)2(~11212121−++−=−−nntnnSXXTw 2) 1() 1(21222211−+−+−=nnsnsnSw拒绝域为2αtT ≥ )18(1009. 201 .140, 1 .140025. 021tTxx=<===−− 故接受210:µµ=H，即认为两种电池性能无显著差异 （2）检验要先假设其服从正态分布且2221σσ= 15． 解：由题意假设048. 0:,048. 0:100≠==σσσHH由于µ未知。
故 ) 1() 1(22022−=−=nsnχσχ拒绝域为2212222ααχχχχ−≤≥或 00778. 05,048. 020===snσ 得2χ的观测值5 .130482. 000778. 042≈×=χ查表得14.11)4() 1(2025. 022==−χχαn 因为)4(14.115 .13025. 02χχ≥>=故拒绝0H，认为母体标准差不正常 16．解：由题意熔化时间服从)400,(µN假设400:,400:2120≠=σσHH ) 1(~) 1(22022−−=nsnχσχ拒绝域为2212222ααχχχχ−≤≥或 400,77.404,2522===σsn代入计算29.24) 1(22=−σsn 查表56.45)24() 1(2005. 022==−χχαn 89. 9)24() 1(2995. 0221==−−χχαn因为56.4529.2489. 9<< 故接受0H，即认为无显著差异 17．证明：大子样在正态母体上作的假设 ) 1(~) 1(:22222020−−==nsnHχσχσσ 因1−n很大，故由2χ分布的性质3知) 1(2−nχ分布近似于正态分布)]1n(2),1n[(N−−而) 1 , 0(N~) 1n(2) 1n() 1n(2−−−−χ给定显著水平α，则 28αχα=≥−−−−}u) 1n(2) 1n() 1n({P22即可计算2222) 1(2) 1() 1() 1(2) 1() 1(ααχχunnnunnn−+−≥−−−−≤−或 拒绝假设0H 相反：222) 1(2) 1() 1(2) 1(ααχunnunn−+−<<−−−若 则接受0H，即证。
18 解： （1）2σ未知假设0100:%,5 . 0:µµµµ≠==HH则) 1(~0−−=−ntnsxTµ 拒绝域为αtT≥05. 0,162. 310%,037. 0%,5 . 0%,452. 00======−αµnsx 查表262. 2)9(025. 0=t 因为)9(262. 210. 4162. 3%037. 0%048. 0025. 00tnsx=>==−−µ 故拒绝假设0H，即认为0µµ≠ （2）µ未知假设20212020:%,04. 0:σσσσ≠==HH) 1(~) 1(22022−−=nsnχσχ 拒绝域为2212222ααχχχχ−≤≥或025. 0,10,%04. 0,%037. 022022====ασns 查表7 . 2)9(02.19)9(20975. 02025. 0==χχ70. 7%04. 0%037. 09) 1(222022=×=−=σχsn 故)9()9(2025. 022975. 0χχχ<<故接受%04. 0:0=σH 19．解：甲品种),(~211σµNX乙品种),(~222σµNY 假设2221122210:,:σσσσ≠=HH而均值未知，则 10, 1 .2126.7,10) 1, 1(~2122========−−=小大小大小大小大，nnssssnnnnFssFyx 代入计算601. 11 .217 .2622==F查表54. 6)9 , 9() 1, 1(005. 02==−−FnnF小大α 而)9 , 9(54. 6601. 1005. 0FF=<=故接受0H，认为产量方差无显著差异。
2920． 解：甲机床加工产量~),(211σµN乙机床加工产量~),(222σµN 假设2221122210:,:σσσσ≠=HH21,µµ未知，则) 1, 1(~22−−=小大小大nnFssF 222221213966. 0,2164. 012, 7, 8大小题计算知由ssssnn======故8712====nnnn小大 代 入 计 算833. 12164. 03966. 0==F 查表)7 , 6(12. 5833. 112. 5)7 , 6() 11(025. 0025. 02FFFnnF=<===−−小大，α 故接受0H，认为两台机床加工精度无显著差异 21．解：BA,测定值母体都为正态分布)(~:),,(~:22, 2211σµσµNYBNXA 假设2221122210:,:σσσσ≠=HH21,µµ未知，则 ) 1, 1(~22−−=小大小大nnFssF 222221215006. 0,4322. 0, 7, 5大小ssssnn====== 故5712====nnnn小大 158. 14342. 06500. 0==F 查表)4 , 6(20. 9158. 19.20)4 , 6() 11(025. 0025. 02FFFnnF=<===−−小大，α 故接受0H，认为方差无显著差异。
22． 解：由题意（1）检验假设2221122210:,:σσσσ≠=HH由于222121,,,σσµµ未知，则) 1, 1(~212221−−=nnFssF 又05. 0=α，可查表得相应的拒绝域为 15. 7)5 , 5() 1, 1(025. 0212==−−≥FnnFFα 由样本计算0000071. 0,0000078666. 01385. 0)140. 0135. 0(611407. 0)137. 0140. 0(612221===++==++=−−ssyxLL由此可得1079. 12221==ssF 由于15. 71079. 114. 0<=< F 故接受22210:σσ=H 30（2）检验假设211210:,:µµµµ≠=HH由（1）可知2221σσ=且未知，故 )2(~11212121−++−=−−nntnnSXXTw 6,2) 1() 1(2121222211==−+−+−=nnnnsnsnSw 又可计算0027355. 0=ws，代入得2716. 1310027355. 01385. 01407. 0=⋅−=T 又由,05. 0=α，查表228. 2)10(025. 0=t 因228. 2)10(2716. 1025. 0=<=tT 故接受0H，即认为这两批电子元件的电阻值的均值是相同的。
23． 解： （1）检验假设0100:,:µµµµ<=HH由 5 题，用统计量) 1 , 0(~0Nnsxuµ−=− αα=−≤}{uuP 拒绝域为αuu≤ 由645. 1,05. 0,162. 0,994. 0,973. 0,2000======−ααusxun 代入计算645. 1833. 1−=−>=αuu 故接受0H，认为方差无显著降低 （2）假设0100:,:ppHppH<=由 6 题知) 1 , 0(~)1 (000Nnpppnmu−−= αα=−≤}{uuP拒 绝 域 为αuu<把17. 0,645. 1,400,56005. 0=====puunmα代 入αuu−=−≥−=645. 1596. 1即接受0H，即产品质量显著提高 （3）假设乙甲乙甲，µµµµ>≤::10HH由 10 题知) 1 , 0(N~u222121nsnsxx+−=−−乙甲 解得拒绝域αu≥u 当110,00.105,41.120,100,26802805,1212======−−nssnxx乙甲 代入计算05. 0645. 103. 8uuu==>=α 即拒绝0H，接受1H，认为甲枪弹的速度比乙枪弹速度显著得大。
31（4）假设400,400:120>≤HHσ) 1(~) 1(22022−−=nsnχσχ 400,77.404,25202===σsn代入)24(98.4229.24201. 02χχ=<= 即接受0H，认为符合要求 24． 解：由题意假设2221122210::σσσσ>≤HH， 21µµ，未知，故用统计量 ) 1, 1(~212221−−=nnFssF 解得拒绝域αFF≥ 把0.245, 6, 90.3572*2212*21======甲乙乙，ssnnss 代入计算)5 , 8(82. 4457. 1245. 0357. 005. 0FF=<== 故接受0H，即认为乙机床零件长度方差不超过甲机床，或认为甲机床精度不比乙高 25． 解：假设0H，各锭子的断头数服从泊松分布 即)2 , 1 , 0(!}{L===−ieiixPiλλ 其中λ未知，而λ的极大似然估计为 66. 01^!66. 066. 04402921−=−=====∑eipimnxiiniiλ 由此可用泊送分布算得ip及有关值，如下表 i im ip inp ()iiinpnpm2− 0 263 517. 0 5 .227 540. 5 1 112 341. 0 0 .150 627. 9 2 38 113. 0 7 .49 754. 2 323 19 025. 0 0 .11 818. 5 ∞~4 8 004. 0 8 . 1 356.21 合计 440 1 440 095.45 由分组数1, 5==rl 故自由度数21=−−=rlk 由05. 0=α查表知82. 7)2()2(205. 02==χχα 由于∑=>=−=402282. 7095.45)(iiiinpnpmχ 故拒绝0H，即认为总体不服从泊松分布。
26. 解：假设四面体均匀，记则抛次时白色与地面接触的概率为41=p kx =，表示1−k次抛掷时，白色的一面都未与地面接触，第k次抛掷时才与地面相接触则相当于 假设)2, 1(4143)1 (}{:110L==−==−−kppkxPHkk 则2568125627163411}5{256274143}4{6494143}3{1634143}2{,41}1{32=−−−===×===×===×====xPxPxPxPxP 将以上数据代入下式，则 216.18)(5122=−=∑−iiiinpnpfχ 对于05. 0=α，自由度41=−= ln 查表2205. 0216.18488. 9)4(χχ=<= 所以拒绝0H，即认为四面体是不均匀的 3327． 解：假设0H螺栓口径X具有正态分布 即),,(~2σµNX首先用极大似然估计法求出参数2σµ与的估计值，ix为各小区间中点 ∑∑=−=−===niiniixxnxnu1^21^)(1,111σ 下面计算x落在各小区间上的概率 0594. 09406. 01)5625. 1 (1}05.11{1142. 08264. 09460. 0)9375. 0()5625. 1 (}05.1103.11{2047. 06217. 08264. 0)3125. 0()9375. 0(}03.1101.11{2434. 03783. 06217. 0)3125. 0()3125. 0()032. 01199.10()032. 01101.11(}01.1199.10{2047. 01736. 03783. 0)9375. 0()3125. 0()032. 01197.10()032. 01199.10(}99.1097.10{1142. 00594. 01736. 0)5625. 1()9375. 0()032. 01195.10()032. 01197.10(}97.1095.10{0594. 0)5625. 1()()032. 0)1195.10(}95.10{7654321=−=Φ−=+∞<<==−=Φ−Φ=<<==−=Φ−Φ=<<===−=−Φ−Φ=−Φ−−Φ=<<==−=−Φ−−Φ=−Φ−−Φ=<<==−=−Φ−−Φ=−Φ−−Φ=<<==−Φ=−∞Φ−−Φ=<<−∞=xPpxPpxPpxPpxPpxPpxPp 计算2χ的观测值列表如下： 区间 ni 组中值 pi npi (ni-npi)2/npi 93.10~∞− 5 10.94 0.0594 5.94 0.1488 97.10~95.10 8 10.96 0.1142 11.42 1.0242 99.10~97.10 20 10.98 0.2047 20.47 0.0108 01.11~99.10 34 11.00 0.2434 24.34 3.8338 03.11~01.11 17 11.02 0.2047 20.47 0.5882 05.11~03.11 6 11.04 0.1142 11.42 2.5724 +∞~09.11 10 11.06 11.08 0.0594 5.94 2.7750 合计 100 1 100 10.9532 34计算得统计量的观测值为9532.102=χ 2χ的自由度4127=−−=n 05. 0=α查表9532.1049. 9)4(205. 0<=χ 故拒绝0H，认为其不服从正态分布。
28． 解：由题意，取80. 3,20. 2==ba，组距为0.2, 得其分布密度估计表 区间划分 频数 频率 密度估计表 [2.20,2.40) 7 0.035 0.175 [2.40,2.60) 16 0.08 0.4 [2.60,2.80) 29 0.145 0.725 [2.80,3.0) 45 0.225 1.125 [3.0,3.2) 46 0.23 1.15 [3.2,3.4) 32 0.16 0.8 [3.4,3.6) 20 0.1 0.5 [3.6,3.8) 6 0.03 0.15 由此图形可大致认为其为母体及正态分布下面用2χ检验法作检验 假设212^1^20322. 0)(1009. 31),(~:=−===∑∑=−=niiniixxnxnuNXHλσµ 区间 ni pi npi (ni-npi)2/npi [2.20 2.40) 7 0.0882 4.68 1.87 [2.40 2.50) 5 0.0276 5.52 0.05 [2.50 2.60) 11 0.045 9 0.44 [2.60 2.70) 12 0.0665 13.3 0.13 [2.70 2.80) 17 0.0893 17.86 0.041 [2.80 2.90) 19 0.1091 21.82 0.36 [2.90 3.00) 26 0.1211 24.22 0.131 [3.00 3.10) 24 0.1223 24.46 0.009 35[3.10 3.20) 22 0.1121 22.42 0.008 [3.20 3.30) 19 0.1135 22.7 0.022 [3.30 3.40) 13 0.071 14.2 0.101 [3.40 3.50) 13 0.0488 9.76 1.076 [3.50 3.60) 7 0.0314 6.28 0.083 [3.60 3.80) 5 0.026 5.2 0.079 2,16==kl ∑==−=16122069. 3)(iiiinpnpmχ )13() 1216(22ααχχ=−− 查表可知无论α为何值 总有069. 3)13(2>αχ 故接受0H，即认为母体服从正态分布 数理统计第四章习题答案数理统计第四章习题答案 1 解： 母体 子样 子样平均 1X 11X , 12X,…, 11nX 1X 2X 21X , 22X,…, 22nX 2X … … rX 1rX , 2rX,…, rrnX rX 11111122112221111()()1()()11011()()111()()iiiinniijijijjiinnrrijijijijiirrAiiiiiirriiiiiiyb xcbxbcb Xcnnbyb xcxbcb XcnnXcyXcybbbSn XXn cycybbnyyn yybbb===========−=−=−=−=−=−∴=+=+≠=−=+− −=−=−∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑ 令221()rAiiAiSn yyb S=′ =−=∑ 362222211112222111111111()()11()()rrrrAAAAAAnnrrEijiijiijijnnrrijiijiijijSb SSb SrrSSbSxXcycybbyyyybb========′′ ===−−′∴==−=+− −=−=−∑∑∑∑∑∑∑∑ 令2211()rnrEijiEijSyyb S==′ =−=∑∑ 22222111EEEEEEAAAEEESb SSb SnrnrSSbSSSbFFSSSb′′ ===−−′∴=′′′====′′ 2解：假设01234:Hµµµµ=== 11234:Hµµµµ不全为零 生产厂 干电池寿命 iX A 24.7 ,24.3 ,21.6 ,19.3 ,20.3 22.04 B 30.8 ,19.0 ,18.8 ,29.7 24.575 C 17.9 ,30.4 ,34.9 ,34.1 ,15.9 26.64 D 23.1 ,33.0 23.0 26.4 18.1 25.1 24.783 1234454562024.52rnnnnnX======= 经计算可得下列反差分析表： 来源 离差平方和 自由度 均方离差 组间 53.6511 3 17.8837 组内 603.0198 16 37.6887 总和 656.6709 19 查表得0.05(3,16)3.24F= 0.0517.88370.4745(3,16)37.6887FF==< 37故接受0H即可认为四个干电池寿命无显著差异。
3 解： 假设0123:Hµµµ== 1123:Hµµµ不全相等 小学 身高数据（厘米） iX 第一小学 128.1,134.1,133.1,138.9,140.8,127.4 133.733 第二小学 150.3,147.9,136.8,126.0,150.7,155.8 144.583 第三小学 140.6,143.1,144.5,143.7,148.5,146.4 144.467 12336140.9278rnnnX===== 经计算可得下列方差分析表： 来源 离差平方和 自由度 均方离差 F值 组间 465.886 2 232.943 4.372 组内 799.25 15 53.385 总和 7265.136 17 0.050.05(2,15)3.684.3733.68(2,15)FFF==>= ∴拒绝0H故可认为该地区三所小学五年级男生平均身高有显著差异 4 解： 假设01234:Hµµµµ=== 11234:Hµµµµ不全相等 伏伏特特计计 测测定定值值 iX A 100.9,101.1,100.8,100.9,100.4 100.82 B 100.2,100.9,101.0,100.6,100.3 100.6 C 100.8,100.7,100.7,100.4,100.0 100.52 D 100.4,100.1,100.3,1060.2,100.0 100.2 123445100.535rnnnnX====== 经计算可得下列方差分析表： 来源 离差平方和 自由度 均方离差 F值 组间 0.9895 3 0.3298 4.0716 38组内 1.296 16 0.081 总和 2.2855 19 0.05(3,16)3.24F= 0.05(3,16)3.24FF>= ∴拒绝0H故可认为这几支伏特计之间有显著差异。
5 解：假设012345:Hµµµµµ==== 112345:Hµµµµµ不全相等 温度（Co） 得率（%） iX 60 90 92 88 90 65 97 93 92 94 70 96 96 93 95 75 84 83 88 85 80 84 86 82 84 123455389.6rnnnnnX======= 经计算可得下列方差分析表： 来源 离差平方和 自由度 均方离差 F值 组间 303.6 4 75.9 15.18 组内 50 10 5 总和 353.6 14 0.050.05(4,10)3.4815.18(4,10)FFF==> ∴拒绝0H故可认为温度对得率有显著影响 215151511(,())XXNnnµµσ−−+? 由T检验法知： 151515()()11EXXTt nrSnnµµ−−−=−+? Q给定的置信概率为10.95α−= 0.025{()}0.95P Ttnr<−= 故15µµ−的置信概率为0.95的置信区间为 39150.025150.02515151111((),())EEXXtnrSXXtnrSnnnn−−−+−+−+ 52.236EEQSnr===− 0.025(10)2.2281t= 由上面的数据代入计算可得： 150.025150.02522(10)90842.2281 2.2361.9322332(10)10.06783EEXXtSXXtS−−=−−××=−+= 故15µµ−的置信区间为（1.9322 , 10.0678） 234343411(,())XXNnnµµσ−−+? 由T检验法知： 343434()()11EXXTt nrSnnµµ−−−=−+? 34µµ−的置信区间为： 340.025340.02534341111((),())EEXXtnrSXXtnrSnnnn−−−+−+−+ 代入数据计算得： 340.02534340.02534112(10)102.2281 2.2365.9327311(10)14.0678EEXXtSnnXXtSnn−−+=−××=−++= 故34µµ−的置信区间为（5.9322 , 14.0678） 6 解：2(,)iiiiXNEXµ σµ∴=Q? ∴又矩估计法知?11iniiijjiXxnµ===∑ ?????11111inrriiijiijiiinxXnnXXµµαµµ======∴=−=−∑∑∑ 40且 ?1111112222111111()()(0)()[()()]11()2 [()()][()]iiiiiinnnnrriiijijiijijjijiiiiiiiiinniiiiiiiiiijjEEXEXExExnnnnDE XXE XXE XE Xn XEn Xnnαµαµαµαµαααµµµµµµ=========−=−=+−+=+−+==−−=−−−=−−−−+−∑∑∑∑∑∑∑∑ 注意到 2[()()]()()0((,))iijjiijjiiiE XXE XEXXNnσµµµµµ−−=−−=Q? 22222122121()()()21riiiiiiiiiriiiiiiE Xn E Xn E XnnDXn DXn DXnnµµµ==∴=−−−+−=−+∑∑上式 2222221222221()2111()riiiiiiiiiinnDXnnnnnnnnnnnσσσσσσσσ==−+==−+=−∑Q 7 解： 因子B 因子A 1B 2B L sB .iX 1A 11X 12X L 1sX 1.X 2A 21X 22X L 2sX 2.X M M M M M M rA 1rX 2rX L rsX .rX . jX .1X .2X L .sX X ....22..112.2111111()()1()iijjrrAiiiiriiXcyXcybbXcybSsXXscycybbsyyb====+=+=+=−=+− −=−∑∑∑ 41令22.1()rAiAiSsyyb S=′ =−=∑，则2AASb S′ = 22..112.2111()()1()ssBjjjjrjjSrXXrcycybbryyb====−=+− −=−∑∑∑ 令22.1()sBjBjSryyb S=′ =−=∑，则2BBSb S′ = 22....11112..211111()()1()rsrsEijijijijijijrsijijijSxXXXcycycycybbbyyyyb=======−−+=+− −− −+ +=−−+∑∑∑∑∑∑ 令2..11()rsEijijijSyyyy==′ =−−+∑∑ 则2EESb S′ =，2EESb S′ = 22AAAAAEEESb SSFFSb SS′ ==== 22BBBBBEEESb SSFFSb SS′ ==== 8 解：假设01123:0Hααα=== 假设021234:0Hββββ==== 加压 机器 iX 1B 2B 3B 4B 1677.75 1A 1577 1692 1800 1642 1644.75 2A 1535 1640 1783 1621 1679.25 3A 1592 1652 1810 1663 1667.25 3r = , 4s = 来源 离差平方和 自由度 均方离差 F值 因子A 3042 2 1521 AF=6.3436 因子B 82597.64 3 27532.547 误差 1438.61 6 239.7683 42总和 87078.25 11 BF=114.8298 0.01(2,6)10.92F= 0.01(3,6)9.78F= 0.01(2,6)AFF< 0.01(3,6)BFF> 故接受01H，拒绝02H 即可认为不同加压水平对纱支强度无显著差异；既可认为不同机器对纱支强度有显著差异。
9 解：假设011234:0Hαααα==== 假设02123:0Hβββ=== 假设03:01,2,3,4;1,2,3ijHijγ=== 机器 操作工 ..iX 甲 乙 丙 1A 15，15，17 19，19，16 16，18，21 17.3 (15.67) (18) (18.33) 2A 17，17，17 15，15，15 19，22，22 17.67 (17) (15) (21) 3A 15，17，16 18，17，16 18，18，18 17 (16) (17) (18) 4A 18，20，22 15，16，17 17，17，17 17.67 (20) (16) （17） . . jX 17.167 16.5 18.583 17.417 433,ABrskFF===和IF的值 可按入夏二元方差分析表来引进 来源 离差平方和 自由度 均方离差 F值 机器A 2.8386 3 0.9462 AF=0.5488 BF=7.8756 IF=7.093 机器B 27.155 2 13.5775 交互作用 73.3698 6 12.2283 误差 42.3866 24 1.724 总和 144.75 35 0.05(3,24)3.01F= 0.05(2,24)3.40F= 0.05(6,24)2.51F= 0.05(3,24)AFF< 0.05(2,24)BFF> 0.05(6,24)IFF> 故接受01H，拒绝02H,03H 即可认为机器之间的差异不显著，操作工之间的差异显著，交互作用的影响也显著。
10、 解：假设01123:0Hααα=== 43021234:0Hββββ==== 03:01,2,3,;1,2,3,4ijHijγ=== 浓度（%） 温度（Co） ..iX 10 24 38 52 2 14，10 11，11 13，9 10，12 11.25 （12） (11) （11） （11） 4 9，7 10，8 7，11 6，10 8.5 （8） （9） （9） （8） 6 5，11 13，14 12，13 14，10 11.5 （8） （13.5） （12.5） （12） . . jX 9.3 11.17 10.83 10.3 10.417 342,ABrskFF===和IF的值可按入夏二元方差分析表 来源 离差平方和 自由度 均方离差 F值 浓度A 44.3 2 22.176 AF=4.092 BF=0.7114 IF=0.829 温度B 11.5602 3 3.8534 交互作用 26.943 6 4.4905 误差 64.9998 12 5.4167 总和 147.833 23 0.05(2,12)3.89F= 0.05(3,12)3.49F= 0.05(6,12)3.00F= 0.05(2,12)AFF> 0.05(3,12)BFF< 0.05(6,12)IFF< 故拒绝01H，接受02H,03H 即可认为浓度对得率的影响显著，而温度和交互作用对得率的影响不显著。
11、解：由题意：设温度为因子A，加碱量为因子B，催化剂种类为因子C 假设01123:0Haaa=== 0212303123:0:0HbbbHccc====== 则可列下表： 列号 试验号 A B C 试验值 平方 1 1 1 1 51 2601 2 1 2 2 71 5041 443 1 3 3 58 3364 4 2 2 82 6724 5 2 2 3 69 4761 6 2 3 1 59 3481 7 3 1 3 77 5929 8 3 2 1 85 7225 9 3 3 2 84 7056 1k 180 210 195 k=636，w=46182 2k 210 225 237 3k 246 201 204 u 45672 45042 45270 P=44944 Q 728 98 326 得方差分析表如下： 来源 离差平方和 自由度 均方离差 F值 A 728 2 364 AF=8.465 BF=1.139 cF=3.79 B 98 2 49 C 326 2 163 误差 86 2 43 总和 1238 8 给定0.05α=，查表0.05(2,2)19F= 0.050.050.058.465(2,2)1.13919(2,2)3.7919(2,2)ABCFFFFFF=<=<==<= 即接受01H，02H，03H，即可认为温度、加碱量、催化剂种类对收率无显著影响。
12、解：由题意，设退伙温度为因素A，退伙时间为因子B，原料产地为因子C，轧程分配为因子D 假设0112:0Haa== 02120312:0:0HbbHcc==== 450412:0Hdd== 则可列表如下： 试验号 A B C D 试验值 平方 1 1 1 1 1 0.82 0.6724 2 1 1 2 2 0.85 0.7225 3 1 2 1 2 0.70 0.49 4 1 2 2 1 0.75 0.5676 5 2 1 1 2 0.74 0.5476 6 2 1 2 1 0.79 0.6241 7 2 2 1 1 0.80 0.64 8 2 2 2 2 0.87 0.7569 1k 3.12 3.2 3.06 3.16 k=6.32 w=5.016 2k 3.2 3.12 3.26 3,16 u 4.9936 4.9936 4.9978 4.9928 P=4.9928 Q 0.0008 0.0008 0,005 0 可得方差分析表为： 来源 离差平方和 自由度 均方离差 F值 A 0.0008 1 0.0008 AF=0.145 BF=0.145 cF=0.909 DF=0 B 0.0008 1 0.0008 C 0.005 1 0.005 D 0 1 0 误差 0.0166 3 0.0055 总和 0.0232 7 0.05α=，查表0.05(1,3)10.13F= 0.050.050.050.14510.13(1,3)0.90910.13(1,3)010.13(1,3)ABCDFFFFFFF==<==<==<= 46故接受01H，02H，03H，04H，认为四种因素均对铁损没有显著影响。
13、解：设秧龄为因素A，苗数为因素B，肥料为因素C 假设0112:0Haa== 02120312:0:0HbbHcc==== 040506:01,2;1,2:01,2;1,2:01,2;1,2ijijijHijHijHijαβγ========= 有计算可得表如下 试验号 A B AB× C A C× B C× 试验值 平方 1 1 1 1 1 1 1 600 360000 2 1 1 1 2 2 2 613.3 376136.89 3 1 2 2 1 1 2 600.6 360720.36 4 1 2 2 2 2 1 606.6 367963.56 5 2 1 2 1 2 1 674 454276 6 2 1 2 2 1 2 746.6 557411.56 7 2 2 1 1 2 2 688 473344 8 2 2 1 2 1 1 686.6 471419.56 1k 2420.5 2633.9 2587.9 2562.6 2567.2 2567.2 k=5215.7 w=3421271.93 2k 2795.2 2581.8 2627.8 2653.1 2648.5 2648.5 u 3417990.8 3400780.1 3400639.8 3401464.6 3400777.5 3401267.0 P=3400440.8 Q 17550 339.3 199 1023.7 336.7 826.2 有计算可得方差分析表如下： 来源 离差平方和 自由度 均方离差 F值 A 17550 1 17550 AF=31.55 B 339.3 1 339.3 AB× 199 1 199 47C 1023.8 1 1023.8 BF=0.61 A BF×=0.36 cF=1.84 A CF×=0.6 B CF×=1.48 A C× 336.7 1 336.7 B C× 826.2 1 826.2 误差 556.13 1 556.13 总和 20831.13 7 20831.13 上表中B、AB×、A C×得离差平方和相对很小， 这三项作用不显著。
为了提高检验的效果， 把BQ、ABQ、ACQ并入EQ，并取EQ的自由度为4项自由度之和得到下表： 来源 离差平方和 自由度 均方离差 F值 A 17550 1 17550 AF=49.05 cF=2.86 B CF×=2.31 C 1023.8 1 1023.8 B C× 826.2 1 826.2 误差 1431.13 4 357.7825 总和 20831.13 7 0.05α=,查表0.05(1,4)7.71F= 7.717.717.71ACB CFFF×><<所以若把苗数、秧龄和苗数交互作用、秧龄和氮肥交互作用引起的三项离差合并到误差项中，则秧龄对亩产有显著影响而氮肥、亩数和氮肥交互作用无显著影响 第五章 1.解： 对一元回归的线性模型为iiiYxβε=+ 1,2,,in=⋅⋅⋅ 离差平方和为 ()21niiiQyxβ==−∑ 对Q求β的偏导数，并令其为0，即 ()10niiiiyxxβ=−=∑ 变换得 21111nniiiiix yxnnβ===∑∑ 48解此方程得 2xyxβ∧= 因为 22DEσεε== iiiyxεβ=− 所以 2211niiiyxnσβ∧∧==−∑ ()()( )222122222222221222niiiiiyx yxnyxyxxyxyxyxxββββ∧∧=∧∧=−+=−+=−+∑ ()222xyyx=− 其中 11niiixyx yn==∑ 2211niixxn==∑ 2211niiyyn==∑ 2. 解：将 26x = 90.14y = 2736.511xy = 2451.11xm = 2342.665ym = 代入得 2222222736.511 26 90.140.8706451.1190.140.8706 2667.5088342.6650.8706451.110.7487xyxxyxymyxmmβαβσβ∧∧∧∧∧−−×====−=−×==−=−×= 3证明： '002211dd uvuvdduuβ∧−=− ()()()01211niiiniiuuvvdduu==−−=−∑∑ 49 ()()()()()()1001111000211111110012121112111niiiniiniiiniiniiiniixcycycxcddddddxcxcddxxyydd ddxxdxxyyxxβ======∧−−−−−−=−−−−−=−−−=−=∑∑∑∑∑∑ ''00011''000011'10001'01ddccddd vduccdcd vcduddyxdyxαββββββα∧∧∧∧∧∧∧∧+−=−+−=+−+=−=−= ()2''2012''00012''1000112'''0000111121niiiniiiniiiniiiniiidvud vdduxcycdddddycdxcddyxαβαβαβαββαβ∧∧=∧∧=∧∧=∧∧∧=∧∧=−−=−−−=−−−=−−−+=−−∑∑∑∑∑ 504.解：15202530354045505560180019002000210022002300240025002600品质指标支 数 B 将 35.353x = 2211.2y = 76061.676xy = 2132.130xm = 234527.46ym = 代入得 ()22222276061.67635.353 2211.215.98132.1302211.2 15.98 35.3532776.1434527.4615.98132.130786.69xyxxyxymyxmmβαβσβ∧∧∧∧∧−−×=== −=−=+×==−=− −×= *2σ∧为2σ∧的无偏估计量 *2220786.69874.10218nnσσ∧∧===− 5. 解：将 6x = 210.4y = 1558xy = 28xm = 210929.84ym = 代入得 ()2*222*15586 210.436.958210.436.95 611.3510929.8436.95812.37233.517xxyxymyxnnβαβσσσ∧∧∧∧∧∧−− ×====−=−×= −==−×=−= 假设 0:38Hβ= 1:38Hβ≠ 51用T检验法 拒绝域为 ()()202*12niixxtnαββσ∧=−−≥−∑ 查表得 ( )0.02533.1824t= 将上面的数据代入得 ( )0.0251.893tt=< 所以 接受0H 即认为β为38 6. 解： （1）由散点图看，x的回归函数具有线性函数形式，认为长度对于质量的回归是线性的。
51015202530789101112长度质量 B （2）将 17.5x = 9.49y = 179.37xy = 272.92xm = 22.45ym = 代入得 2179.37 17.5 9.490.18272.92xxyxymβ∧−−×=== 9.490.182 17.56.305yxαβ∧∧=−=−×= 6.3050.182yxxαβ∧∧∧=+=+ （3）当16x =时 0016yabε=++ 由T分布定义 ()()()0020*21211niiYxTt nxxnxxαβσ∧∧∧=−−=−−++−∑? 52 ()()()000.02520*2120.9511niiYxPtnxxnxxαβσ∧∧∧=−−<−=−++−∑ 所以0Y的预测区间为 ()()()()()()2200**00.02500.02522111121,21nniiiixxxxxtnxtnnnxxxxαβσαβσ∧∧∧∧∧∧==−−+−−++++−++−−∑∑ 查表得 ( )0.02542.776t= 将（2）的数据代入得 ()*222*62.450.18272.920.0075240.0866nnσσσ∧∧∧==−×=−= 计算得0Y的预测区间为 ()8.9521,9.4721 9. 解：利用第八题得到的公式 将 21x = 141.2y = 3138xy = 290xm = 代入得 2313821 141.21.9290141.2 1.92 21100.88xxyxymyxβαβ∧∧∧−−×====−=−×= 10.。
解：二元线性回归模型为1122,1,2,,iiiiYxxinββε=++=⋅⋅⋅ 离差平方和为 ()21221niiiiiQyxxββ==−−∑ 对Q求12,β β的偏导数并令其为0 ()()11221111222100niiiiiniiiiiyxxxyxxxββββ==−−=−−=∑∑ 可变换为 53 2111212111221122211100nnniiiiiiiinnniiiiiiiix yxx xy xx xxββββ======−−=−−=∑∑∑∑∑∑ 正规方程为 21112212121222xx xx yx xxx yββββ∧∧∧∧+=+= 最小二乘估计为 2212121222121221122122221212x yx xx yxx xx xx yx xx yxx xx xββ∧∧−=−−=− 其中 1111niiix yx yn==∑ 2211niiix yx yn==∑ 121211niiix xx xn==∑ 2211njijixxn==∑ 1,2j = 11解： （1） 2p = 15n = 采用线性回归模型 ()()1122Yxxxxµββε=+−+−+ 151248.25iiy==∑ 16.55y = 15214148.3125iiy==∑ 1511920iix==∑ 1521156734iix==∑ 161.33x = 15217257iix==∑ 2483.8x = 152213524489iix==∑ 15121445366iiix x==∑ 151115170iiix y==∑ 152112063925iiix y==∑ 54 21515211111115673456426.66307.3415iiiiLxx===−=−=∑∑ 215152222211135244893510936.613552.415iiiiLxx===−=−=∑∑ 15151512211212111144536644509627015iiiiiiiLLx xxx=====−=−=∑∑∑ 151515111111115170 152265615yiiiiiiiLx yxy====−=−= −∑∑∑ 1515152221111120639.25 120103.2553615yiiiiiiiLx yxy====−=−=∑∑∑ 于是 16.55yµ∧== 307.3427027013552.4L= 1256536yyLL−= 可得 11256536Lββ∧−∧−= 所以 1210.5040.2160.04yxx=−+ 12.解 3p = 18n = 采用线性回归模型 ()()()112233Yxxxxxxµβββε=+−+−+−+ 1811463iiy==∑ 81.277y = 1811215iix==∑ 111.944x = 1821758iix==∑ 242.11x = 18312214iix==∑ 3123x = 182114321.02iix==∑ 1822135076iix==∑ 18231307864iix==∑ 55 21818211111121818222221121818233331114321.022568.051752.971813507631920.223155.781813078942723223557218iiiiiiiiiiiiLxxLxxLxx=======−=−==−=−==−=−=∑∑∑∑∑∑ 1812110139.5iiix x==∑ 18181812211212111110139.59053.881085.6218iiiiiiiLLx xxx=====−=−=∑∑∑ 1813196598iiix x==∑ 1818181331131311112764526445120018iiiiiiiLLx xxx=====−=−=∑∑∑ 1823196598iiix x==∑ 1818183223232311119659893234336418iiiiiiiLLx xxx=====−=−=∑∑∑ 181120706.2iiix y==∑ 181818111111120706.2 17474.73231.518yiiiiiiiLx yxy====−=−=∑∑∑ 182163825iiix y==∑ 18181822211116382561608.52216.518yiiiiiiiLx yxy====−=−=∑∑∑ 1831187542iiix y==∑ 1818183331111187542 179949759318yiiiiiiiLx yxy====−=−=∑∑∑ 56于是 4.582yµ∧== 1752.931085.621200L−= 1085.621200 3155.78 3364 3364 35572 1233231.52216.57593yyyLLL= 可得 11233231.52216.57593Lβββ∧∧−∧= 所以 12343.65 1.780.080.16yxxx∧=+−+ 。