第九讲第九讲 空间群空间群(I)(I)：：点式空间群点式空间群 复习：复习：点对称操作、点对称操作、7 7种晶系、种晶系、3232种点群、种点群、14种布拉菲格子种布拉菲格子 360o/n (n = 1,2,3,4,6)1 (E, L1)2 (C2, L2)3 (C3, L3)4 (C4, L4)6 (C6, L6)1 (i, C)2 (σ, P), m3 (S65, Li3)4 (S43, Li4)6 (S35, Li6)++,+_,旋转轴，旋转轴， n 旋转反演轴，旋转反演轴， n 点对称操作点对称操作 1 (E)2 (C2)3 (C3)4 (C4)6 (C6)1 (i)2 (σ), m3 (S65)4 (S43)6 (S35)(C41, C42, C43, C44 )(C61, C62, C63, C64 , C65, C66 )(C31, C32, C33)n = 1n (iCn), Sn = σCn(σh, σv, σd) S4(43), S42(42), S43(4), S44(E)点对称操作点对称操作!!!(C21, C22) S6, S62(C3), S63(i), S64(C32), S65, S66(E) 35, 34, 33, 32, 31, 36 S3, S32(C32), S33(σh), S34(C3), S35, S36(E) 65, 64, 63, 62, 6, 66 对称条件对称条件晶系晶系特点特点四个三次轴四个三次轴四个三次轴四个三次轴三三 斜斜单单 斜斜正正 交交四四 方方三三 方方六六 方方立立 方方1(E)或或1(i)2(C2)或或2(m)两个两个两个两个2(C2)或或2(m)4(C4)或或4(S43)3(C3)或或3(S65)6(C6)或或6(S35)a≠ b≠ c, ≠ ≠ a≠b≠c, = = 90o≠ a≠b≠c, = = = 90oa = b≠c, = = = 90oa = b≠c, = = 90o, = 120oa = b = c, = = = 90oa = b = c, = = 菱形菱形a = b≠c, = = 90o, = 120o全对称点群全对称点群12/mmmm4/mmm6/mmmm3m3m 点群各符号的顺序点群各符号的顺序晶系晶系在在在在 国国国国 际际际际 符符符符 号号号号 中中中中 的的的的 位位位位 置置置置123三斜三斜单斜单斜正交正交四方四方三方三方六方六方立方立方只用一个符号只用一个符号第一种定向：第一种定向：c是唯一轴；第二种定向：是唯一轴；第二种定向：b是唯一轴是唯一轴2或或2沿沿a2或或2沿沿b2或或2沿沿c4或或4沿沿c2或或2沿沿a和和b2或或2沿沿a±b3或或3沿沿c2或或2沿沿a、、b和和a+b6或或6沿沿c2或或2 a、、b和和a+b3或或3沿沿< <111> >2或或2沿沿< <110> >2或或2 a、、b和和a+b2或或2沿沿a、、b和和a+b4、、4、、2或或2沿沿< <100> > 1(L1)m(P)1(C)42m (Li42L22P)2(L2)2/m (L2PC)222(3L2)mm2 (L22P)mmm (3L23PC)4 (Li4)422 (L44L2)4/mmm(L44L25PC)4mm (L44P)4/m (L4PC)4(L4)62m (Li63L23P)6 (Li6)622 (L66L2)6/mmm (L66L27PC)6mm (L66P)6/m (L6PC)6(L6)23(3L24L3)m3 (3L24L33PC)432 (3L44L36L2)m3m (3L44L36L29PC)3m (Li33L23P)3(L3)3m (L33P)32(L33L2)43m (3Li44L36P)3(Li3)32323232种种种种点点点点群群群群及及及及其其其其点点点点对对对对称称称称操操操操作作作作 从旋转点群推导从旋转点群推导3232种点群种点群 点群的熊夫利斯符号点群的熊夫利斯符号11111111种纯旋转群：种纯旋转群：种纯旋转群：种纯旋转群： 1 2 3 4 6222 32 422 62223 432C1 C2 C3 C4 C6 D2 D3 D4 D6 T O循环点群循环点群二面体点群二面体点群立方点群立方点群11111111种中心对称点群：种中心对称点群：种中心对称点群：种中心对称点群：m3 m3mS2 C2h S6 C4h C6h D2h D3d D4h D6h Th Oh1 2/m 3 4/m 6/mmmm 3m 4/mmm 6/mmm10101010种新子群：种新子群：种新子群：种新子群：m3 m3m1 2/m 3 4/m 6/mmmm 3m 4/mmm 6/mmm C1h S4 C3h C2v C3v C4v D2d C6v D3hTdmmm2463m4mm 42m43m6mm 6m2 推导推导3232种点群的种点群的熊夫利斯方案熊夫利斯方案 熊夫利斯符号熊夫利斯符号五种循环群五种循环群五种循环群五种循环群 C C C Cn n n n ( ( ( (5 5 种种种种) ) ) ) C C C Cnhnhnhnh = C = C = C = Cn n n n × {E, × {E, × {E, × {E, σσσσh h h h} (} (} (} (5 5 种种种种) ) ) ) C C C Cnvnvnvnv = C = C = C = Cn n n n × {E, × {E, × {E, × {E, σσσσv v v v} (} (} (} (4 4 种种种种, C, C, C, C1v1v1v1v = = = = C C C C1h1h1h1h) ) ) )非真旋转非真旋转非真旋转非真旋转 S S S Sn n n n ( ( ( (3 3 种，种，种，种，n =2, n =2, n =2, n =2, 4, 6)4, 6)4, 6)4, 6) D D D Dn n n n = C = C = C = Cn n n n × {E, C × {E, C × {E, C × {E, C2 2 2 2[100][100][100][100] } (} (} (} (4 4 种种种种) ) ) ) D D D Dnhnhnhnh = C = C = C = Cnhnhnhnh × {E, × {E, × {E, × {E, d d d d} (} (} (} (4 4 种种种种) ) ) ) D D D Dndndndnd = S = S = S = S2n2n2n2n × {E, C × {E, C × {E, C × {E, C2 2 2 2[100][100][100][100] } (n =2, 3 } (n =2, 3 } (n =2, 3 } (n =2, 3 共共共共2 2种种种种) ) ) )立方点群立方点群立方点群立方点群( ( ( (无主轴）无主轴）无主轴）无主轴）5 5 种种种种: T, T: T, T: T, T: T, Th h h h, T, T, T, Td d d d, , , , O, OO, OO, OO, Oh h h h 1(C1)m (C1h)1(Ci)42m (D2d)2(C2)2/m (C2h)222(D2)mm2 (C2v)mmm (D2h)4 (S4)422 (D4)4/mmm(D4h)4mm (C4v)4/m (C4h)4(C4)62 (D3h)6 (C3h)622 (D6)6/mmm (D6h)6mm (C6v)6/m (C6h)6(C6)23(T)m3 (Th)432 (O)m3m (Oh)3m(D3d)3(C3)3m (C3v)32(D3)43m (Td)3(S6)32323232种种种种点点点点群群群群符符符符号号号号 TThTdOOhTetragonalOctahedral 点群各符号的顺序点群各符号的顺序晶系晶系在在在在 国国国国 际际际际 符符符符 号号号号 中中中中 的的的的 位位位位 置置置置123三斜三斜单斜单斜正交正交四方四方三方三方六方六方立方立方只用一个符号只用一个符号第一种定向：第一种定向：c是唯一轴；第二种定向：是唯一轴；第二种定向：b是唯一轴是唯一轴2或或2沿沿a2或或2沿沿b2或或2沿沿c4或或4沿沿c2或或2沿沿a和和b2或或2沿沿a±b3或或3沿沿c2或或2沿沿a、、b和和a+b6或或6沿沿c2或或2 a、、b和和a+b3或或3沿沿< <111> >2或或2沿沿< <110> >2或或2 a、、b和和a+b2或或2沿沿a、、b和和a+b4、、4、、2或或2沿沿< <100> > 第八讲第八讲 1414种布拉菲格子种布拉菲格子旋转对称性旋转对称性晶系、参考轴晶系、参考轴初基初基P单胞单胞 (6)有心化有心化新的点阵新的点阵(有心有心 8 种种)满足点阵条件满足点阵条件 + 晶系不变晶系不变P点阵中高对称位置加心点阵中高对称位置加心(体心体心I, 全面心全面心F, 单面心单面心A, B或或C 双面心双面心)14种布拉菲点阵种布拉菲点阵旋转对称性旋转对称性六方格子特殊心六方格子特殊心 菱形菱形( (三方三方) )单胞单胞 ABXXXX双面心不满足点阵条件！双面心不满足点阵条件！ 三三斜斜晶晶系系单单斜斜晶晶系系三斜三斜 P P单斜单斜 P P单斜单斜 B B单斜单斜 C = P C = P不是新点阵不是新点阵单斜单斜 B = I = F = Ab b轴为唯一轴轴为唯一轴: :B = P，，C = I = F = A 正交正交 P P正交正交 C C正交正交 I I正交正交 F F正正交交晶晶系系正交正交 C = A = B C = A = B ≠ P ?≠ P ? 立方立方 P P立方立方 I, bcc I, bcc立方立方 F, fcc F, fcc四方四方 I I四方四方 P P四四方方晶晶系系立立方方晶晶系系四方四方 C = P ≠A ≠B C = P ≠A ≠B四方四方 F = I F = I单面心破坏单面心破坏4 4个个3 3次对称性！次对称性！非点阵非点阵非点阵非点阵 六六方方晶晶系系三三方方菱菱形形晶晶系系六方六方 P P三方三方 R R底面心：正交底面心：正交侧面心：非点阵侧面心：非点阵+c/2体心：非六方点阵体心：非六方点阵+c/2(1/3, 2/3, 0)：：P+2c/3+c/3±(1/3, 2/3, 2/3)：：R有心化有心化±(1/3, 2/3, 1/3)：：R +2c/3+c/3abc正定向正定向+c/3+2c/3abc反定向反定向六六角单胞有心化后，已不具有角单胞有心化后，已不具有6 6次对称性，却导出有次对称性，却导出有3 3次对称性的次对称性的菱形初基单胞。
菱形初基单胞R R 点阵可由两种轴系表示：点阵可由两种轴系表示：R R晶系、六角晶系晶系、六角晶系a = b≠c, = = 90o, = 120oa = b = c, = = 菱形菱形R R单胞有心化单胞有心化单胞有心化单胞有心化面心面心面心面心体心体心体心体心R R R R单胞只单胞只单胞只单胞只有有有有P P P P格子格子格子格子不同轴长和轴间角不同轴长和轴间角不同轴长和轴间角不同轴长和轴间角 点对称点对称条件条件晶系晶系点群点群四个三次轴四个三次轴四个三次轴四个三次轴三三 斜斜单单 斜斜正正 交交四四 方方三三 方方六六 方方立立 方方1(E)或或1(i)2(C2)或或2(m)两个两个2(C2)或或2(m)4(C4)或或4(S43)3(C3)或或3(S65)6(C6)或或6(S35)布拉菲布拉菲点阵点阵PP, BP, C, I, FP, IPP, I, FP1(C1),1(Ci)m(C1h),2(C2),2/m(C2h)222(D2), mm2(C2v), mmm(D2h)42m (D2d)4 (S4),422 (D4),4/mmm(D4h),4mm(C4v),4/m(C4h),4(C4),3m(D3d)3(C3),3m (C3v),32(D3),3(S6),622 (D6),6/mmm (D6h),6mm(C6v),6/m(C6h),6(C6),62 (D3h)6 (C3h),23(T), m3 (Th),432 (O), m3m (Oh)43m (Td), 第九讲第九讲 点式空间群点式空间群空空间间群群：：所所谓谓结结晶晶学学空空间间群群就就是是能能使使三三维维周周期期物物体体（（无无限限大大晶晶体体））自自身身重重复复的的几几何何对对称称对对称称操操作作的的集集合，构成数学意义上的群。
合，构成数学意义上的群 晶晶体体宏宏观观对对称称性性是是晶晶体体结结构构（（原原子子排排列列对对称称性性））即即微微观观对对称的反映称的反映 晶晶体体的的宏宏观观外外形形是是作作为为一一个个连连续续整整体体来来看看的的有有限限图图形形，，而而晶体的微观结构是不连续排列的原子在三维空间无限展开晶体的微观结构是不连续排列的原子在三维空间无限展开 宏宏观观对对称称性性的的点点群群中中对对称称要要素素必必须须交交于于一一点点，，只只有有方方向向的的概概念念微微观观对对称称性性中中对对称称要要素素无无须须交交于于一一点点，，要要引引入入平平移移和和位置的概念位置的概念 点点式式空空间间群群：：由由全全部部作作用用于于同同一一个个公公共共点点上上的的对对称称操操作作完完全全确确定定，，或或者者说说仅仅由由点点对对称称操操作和平移对称操作组合而产生作和平移对称操作组合而产生۞ 螺旋轴或滑移面不是其基本对称元素螺旋轴或滑移面不是其基本对称元素۞ 与与有有具具置置位位个个一一有有少少至至定定一一中中胞胞单单在在群群间间空空式式点点空间群点群相同的空间群点群相同的位置对称性位置对称性 晶系晶系点群点群布拉菲布拉菲点阵点阵7373种种种种点式空间群点式空间群三三 斜斜单单 斜斜正正 交交四四 方方三三 方方六六 方方立立 方方PPPPPPP1,1m,2,2/m222, mm2, mmm42m,4,422,4/mmm4mm,4/m,4,3m3, 3m, 32,3,622,6/mmm6mm,6/m,6,62m,6,23, m3,432, m3m43m,P1,P1Pm,P2,P2/mP222,Pmm2,PmmmP42m,P4,P422,P4/mmm,P4mm,P4/m,P4,P31m,P3, P3m1, P312, P3,P23, Pm3,P432, Pm3mP43m,Bm,B2,B2/mC222, Cmm2,Cmmm,I222,Imm2,ImmmF222,Fmm2,FmmmAmm2BCIFIP4m2I42m,I4,I422,I4/mmm,I4mm,I4/m,I4,I4m2RR3mR3, R3m, R32, R3,P321, P3m1P31m,P6m2,P6,P622,P6/mmm,P6mm,P6/m,P6,P62mIFI23, Im3,I432,Im3mI43m,F23, Fm3,F432, Fm3mF43m, 六六方方晶晶系系42m (Li42L22P)62m (Li63L23P)6m2 (Li63P3L2)4m2 (Li42L22P)30o45o 三三方方晶晶系系3 (L3)3m (L33P)32 (L33L2)3 (L3C)3m (L33L23PC)3m131m3213123m131m 晶系晶系点群点群布拉菲布拉菲点阵点阵7373种种种种点式空间群点式空间群三三 斜斜单单 斜斜正正 交交四四 方方三三 方方六六 方方立立 方方PPPPPPP1,1m,2,2/m222, mm2, mmm42m,4,422,4/mmm4mm,4/m,4,3m3, 3m, 32,3,622,6/mmm6mm,6/m,6,62m,6,23, m3,432, m3m43m,P1,P1Pm,P2,P2/mP222,Pmm2,PmmmP42m,P4,P422,P4/mmm,P4mm,P4/m,P4,P31m,P3, P3m1, P312, P3,P23, Pm3,P432, Pm3mP43m,Bm,B2,B2/mC222, Cmm2,Cmmm,I222,Imm2,ImmmF222,Fmm2,FmmmAmm2BCIFIP4m2I42m,I4,I422,I4/mmm,I4mm,I4/m,I4,I4m2RR3mR3, R3m, R32, R3,P321, P3m1P31m,P6m2,P6,P622,P6/mmm,P6mm,P6/m,P6,P62mIFI23, Im3,I432,Im3mI43m,F23, Fm3,F432, Fm3mF43m, 非点式对称操作非点式对称操作۞ ，，种种11：：轴轴旋旋螺螺213；；13、、24；；14、、24、、3；；616、、26、、36、、46、、5۞ 滑移面：滑移面：d；；n；；c、、b、、a点对称操作：点对称操作：r’ = Rr r’=x’a + y’b +z’c r=xa + yb +zc空间群操作：空间群操作：r’ = {R|t}r = Rr + t (赛兹算符赛兹算符) 对非点式操作对非点式操作 t = ，，是单胞的分数平移是单胞的分数平移，而对于，而对于点式操作点式操作t = = 0 = tN ++++P1abc ++++P1,_,_,_,_+_, ++++++++P2abc P2/m+,-+,-+,-+,-+,-+,-+,-+,-反映面，镜面反映面，镜面 Pm+,-+,-+,-+,- Bm+,-+,-+,-1/2+,1/2-+,-1/2+,1/2-1/4单斜单斜 B B滑移面滑移面 Cm+,++,++,++,++,+Bm+,-+,-+,-1/2+,1/2-+,-1/2+,1/2-1/4滑移面滑移面 +__+P222abc+__++__++__+ +__+C222abc+__++__++__++__+螺旋轴螺旋轴,21 ++,,++++,,++++,,++++,,++Pmm2反映面反映面 ++,,++++,,++++,,++++,,++Cmm2++,,++滑移面滑移面a, b反映面反映面 Amm2Cmm2++,,++++,,++++,,++++,,++1/2+1/2+,,1/2+1/2+1/2+1/2+,,1/2+1/2+++,,++++,,++++,,++++,,++++,,++螺旋轴，滑移面螺旋轴，滑移面滑移面滑移面 Pmmm+,-+,-+,-+,-+,-+,-+,-+,-+,-+,-+,-+,-+,-+,-+,-+,- Cmmm+,-+,-+,-+,-+,-+,-+,-+,-+,-+,-+,-+,-+,-+,-+,-+,-+,-+,-+,-+,-滑移面滑移面, n螺旋轴螺旋轴,21 abcP4++++++++++++++++ abcP4++_,_,++_,_,++_,_,++_,_, abcP42m++,+,+__,,__++,+,+__,,__++,+,+__,,__++,+,+__,,__滑移面滑移面, n abcP4m2++,+,+__,,__++,+,+__,,__++,+,+__,,__++,+,+__,,__xy abcP422++__+_+_++__+_+_++__+_+_++__+_+_螺旋轴螺旋轴,21 abcP4mm+++,+,++,++,+++,+,++,++,+++,+,++,++,+++,+,++,++, P3++++++++++++ P6+,-+,-+,-+,-+,-+,-+,-+,-+,-+,-+,-+,- 作业：作业： 作下面点式空间群的俯视图作下面点式空间群的俯视图（一般等效位置和对称操作）：（一般等效位置和对称操作）： 。