读万卷书 行万里路 1 小学数学思维训练 ----数阵 一、知识讲解 把给定的一些数，按照一定的要求或规律填在某一特定形状的图形中，这 样的图形叫做数阵图，有时简称数阵 传说在四千年前，洛河洪水泛滥，大禹去治水有一天，从河里浮出一只 大乌龟，龟驮着一本书，称为“洛书” ，书上有一幅奇特的图案（见下左图） 这幅图用现在的数字表示，即为 1 到 9 这九个数字，填在九个格子里，每 一纵列、每一横行以及两条对角线上的三个数字之和都是 15（见上右图） 多 么巧妙、奇特的数字图！我国古代数学家称它为“纵横图”或“九宫图” ，国 外称它为“魔方”或“幻方” 我们这一讲学习的数阵问题就是由幻方演变而 来的填数问题 数阵是由幻方演化出来的另一种数字图 幻方一般均为正方形 图中纵、 横、 4 9 2 3 5 7 8 1 6 读万卷书 行万里路 2 对角线数字和相等数阵则不仅有正方形、长方形，还有三角形、圆、多边形、 星形、花瓣形、十字形，甚至多种图形的组合变幻多姿，奇趣迷人一般按数 字的组合形式，将其分为三类，即辐射型数阵、封闭型数阵、复合型数阵 数阵的特点是：每一条直线段或由若干线段组成的封闭线上的数字的和相 等。
它的表达形式多为给出一定数量的数字，要求填入指定的图中，使其具备数 阵的特点 解决数阵问题的一般思路是： 1.求出条件中若干已知数字的和 2.根据“和相等” ，列出关系式，找出关键数重复 使用的数 3.确定重复用数后，对照“和相等”的条件，用尝试的方法，求出其他各数 有时，因数字存在不同的组合方法，答案往往不是唯一的 二、例题解析： 例 1 将 15 五个数字，分别填入下图的五个中，使横、竖线上的三个数字和 都是 10 读万卷书 行万里路 3 来源:Zxxk 解：已给出的五个数字和是：1234515 题中要求横、竖每条线上数字和都是 10，两条线合起来便是 20 了20 例 2 将自然数 1 至 9，分别填在下图的方格中，使得每行、每列以及两条对角线 上的三个数之和都相等 解：中间一格所填的数，在计算时共算了 4 次，所以可先填中间一格的数 （l+2+3++9）3=15，则符合要求的每三数之和为 15显然，中间 一数填“5”再将其它数字顺次填入，然后作对角线交换，再通过旋转（如下 图 ），便得解答如下 读万卷书 行万里路 4 例 3 将17 七个数字，分别填入图中的各个内，使每条线上的三个数和相等。
解：图中共有 3 条线，若每条线数字和相等，三条线的数字总和必为 3 的 倍数设中心数为 a，a 被重复使用了 2 次总和为 1234567 2a282a，282a 应能被 3 整除 （三条线段分为三组数） 三数 读万卷书 行万里路 5 例 4 下图是四个互相联系的三角形把 19 九个数字，填入中，使每个三角 形中数字的和都是 15 解：每个三角形数字和都是 15，四个三角形的数字和便是：15460，而 19 九个数字和只有 45 45 比 60 少 15 怎样才能使它增加 15 呢？靠数字重 复使用才能解决 把中间的三角形各顶角数字先填出，其他各个三角形便容易解决了右图是其中 的一种 例 5 在下列图中三个正方形中，每个正方形的四个顶点上，只填入 1，2，3， 4 四数，使图中八个三角形顶点数字和互不相同 读万卷书 行万里路 6 解：图中，顶角在大正方形边上的四个三角形，顶角都分别为两个三角形共 用，只有正方形的四个角分别只属于一个三角形，所以，四个三角形顶点数字的 和应等于： （1234）330 30 不是 4 的倍数，因而，外面的四个三角形顶点数字和不可能相等。
同理， 里面的四个三角形顶点数字和也不可能相等来源:Zk 三、巩固练习 （一）选择题 读万卷书 行万里路 7 1.在下图的七个中各填上一个数，要求每条直线上的三个数中，中间一个 数是两边两个数的平均数现已填好两个数，那么 X=_______ A.12 B.15 C. 19 D.16 （二）填空题 1.把 19 九个数字，分别填入下图中，使每边上四个数的和都是 21 2.111 十一个数字，填入下图各中，使每条线段上的数字和相等 3.将 18 这八个自然数分别填入图中的内，使每个大圆上五个内所填数 读万卷书 行万里路 8 的和等于 21 （三）解答题 1.将 112 分别填入下图中，使图中每个三角形周边上的六个数的和都相 等 2.请你在下图的 44 方格中填上适当的数字，使图中每条直线上的四个数 字之和都相等 来源:学&科&网 3.在图 (1)中，同一个圆圈内 四个数的和都是 15 请在 读万卷书 行万里路 9 图(2)中的空白部分填上适当的数(2、3、5、7)，使每个圆圈内四个数的和仍然 等于 15。
巩固练习答案： （一）选择：1.C （二）填空： 1.多种填法，其中一种： 2. 图中共有五条线段，全部数字的总和必须是 5 的倍数，每条线上的数字 和才能相等111 十一个数字和为 66，66513 余 1，必须再增加 4，可使 各线上数字和为 14共五条线，中心数重复使用 4 次，中心数与其重复使用次 数“4”的积加上原余数 1，所得的和必须是 5 的倍数 据此，中心数填 1、6、11 均可得解以下 读万卷书 行万里路 10 为中心数为“1”时的解 3.解设两个圆交叉点上的两个内各填的数是 a、 b， 那么，在计算两个大圆周上 10 个数的和时，a 和 b 都 多加了一次，根据题目的要求，1+2+3++7+8+a+b=36+(a+b)除以 2 应是 21，所以 a+b=6.但在 18 这 8 个数中，只有 1+5=6、2+4=6 两种情况如 果中间两个内分别填 1 和 5，另 （三）解答： 1.解：图中共有四个三角形，共有六个边112 的数字和是 78每条边 上的数字和应为：78613 这样，我们可以推想：因为内部的三条边都被重复计算两次，只要每个数增 读万卷书 行万里路 11 加 1，十二个数的总和便增加 6，它们同样可以填出来，因而，本题的解法是很 多的。
来源:学.科.网 2.解：要使图中每条直线上的四个数字之和都相等，那么每一行、每一列 及两对角线上的四个数字只能是 1、9、8、3，并且每一个数字在同一直线上只 能出现一次.根据这一特点，可以采取尝试推导法，逐步填出图中各空格上的数 如下左图，A 格中只能填 8 或 3，若 A 格填 8，则 B 格只能填 3 或 9，尝试 B 格只能填 3，这样 C 格必须填 9，D 格只能填 1，E、F 两格应分别填 8、1，至 此，剩下的空格便可顺利填出了（如下右图）如果 A 格中填 3，仿刚采用的尝 试推导法，也可得到另一填法(略) 读万卷书 行万里路 12 。