第三单元第三单元函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性一、本单元的内容要点一、本单元的内容要点1.函数单调性的判别法函数单调性的判别法设设, 若∀若∀x∈ ∈(a, b), 有则有则f (x)在在[a, b]上是单调增加上是单调增加(减少减少)．．[,](,)fC abD ab∈∩()( )00fx′>⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠则称函数则称函数f (x)(x∈ ∈I )的图形是凹的图形是凹(凸凸)弧．弧．⑵判别法设函数在区间上二阶可导，且则⑵判别法设函数在区间上二阶可导，且则f (x)的图形是凹的图形是凹(凸凸)弧．弧．()( )00fx′′>( )0fx′0, 即即( )0fx′≥12( )(),f xf x∈注对无穷区间，相应的定理为注对无穷区间，相应的定理为定理若当定理若当x∈ ∈(-∞ ∞, +∞ ∞) 时，有，且使得的点时，有，且使得的点(驻点驻点)在在(-∞ ∞, +∞ ∞)的任何有界子区间内只有有限多个，则的任何有界子区间内只有有限多个，则 f (x)在在(-∞ ∞, +∞ ∞)上单调增加上单调增加(减少减少)．．1′()( )00fx′≥≤( )0fx′=由此得到，函数由此得到，函数y=x-sinx在在(-∞ ∞, +∞ ∞)上是单调增加 的．上是单调增加 的．有些函数在它的整个定义区间上不是单调的，对于在有些函数在它的整个定义区间上不是单调的，对于在定义区间上具有连续导数的函数，用函数的驻点来划分定义区间上具有连续导数的函数，用函数的驻点来划分定义区间后，则函数在各个部分区间上是单调的．定义区间后，则函数在各个部分区间上是单调的．例例2 讨论函数的单调性．讨论函数的单调性．( )1xf xex=−−解函数的定义域为解函数的定义域为(-∞ ∞, +∞ ∞)，并且，并且( )1xf xex=−−( )1,xfxe′=−令⇒令⇒x=0, 且当且当x∈ ∈(-∞ ∞, 0)时，，当时，，当x∈ ∈(0, +∞ ∞)时，，即时，，即f (x)在在(-∞ ∞, 0)内单调下降，在内单调下降，在(0, +∞ ∞)内单调上升．内单调上升．( )0fx′=( )0fx′-2-1120.511.52 ( )1xf xex=−−如果函数在定义区间内某些点处不可导，那么在划分定义区间时，分点还应包括这些导数不存在的点．例如果函数在定义区间内某些点处不可导，那么在划分定义区间时，分点还应包括这些导数不存在的点．例3 确定函数的单调区间．确定函数的单调区间．1 3( )(1)f xxx=−解解f (x)的定义域是的定义域是(-∞ ∞, +∞ ∞)，并且在，并且在(-∞ ∞, +∞ ∞)中连续中连续当当x≠ ≠0时，有时，有2 341( ),xfx x−′=当时，，当当时，，当x=0时，导数不存在，用时，导数不存在，用1 4x=( )0fx′=x=0, 即将定义域区间划分成三个部分小区间：即将定义域区间划分成三个部分小区间：1 4x=11(,0), (0, ), ( ,),44−∞+∞现将每个部分区间上导数的符号与函数单调性列表如下现将每个部分区间上导数的符号与函数单调性列表如下(表中?表示单调增加，?表示单调减少表中?表示单调增加，?表示单调减少)：：x(, )−∞ 00 ⎟⎠⎞⎜⎝⎛ 41, 041⎟⎠⎞⎜⎝⎛+∞,41′fx( )+0+f x( )???+0-不存在不存在+0x(,0)−∞10,4⎛⎞⎜⎟⎝⎠1 41,4⎛⎞+ ∞⎜⎝⎠( )fx′( )f x利用函数的单调性，可证明某些不等式利用函数的单调性，可证明某些不等式例例4 证明：当证明：当x>1时，．时，．123xx>−证令证令, 则则f∈ ∈C[1, +∞ ∞)»D(1, +∞ ∞),且且 f (1)=0，又，又1( )23,f xxx⎛⎞=−−⎜⎟⎝⎠22111( )(1)fxx xxxx′=−=−当当x>1时，有，故时，有，故 f (x)在在[1, +∞ ∞)上单调增加，从而当上单调增加，从而当x>1时，有时，有 f (x)> f (1)=0，即有，即有( )0fx′>()123 1 .xxx>−>函数的凹凸性及其判定法函数的凹凸性及其判定法在上一目中，我们研究了函数的单调性和单调性的判在上一目中，我们研究了函数的单调性和单调性的判别法，那就是通过一阶导函数的符号，可以判定函数是别法，那就是通过一阶导函数的符号，可以判定函数是单调上升的还是单调下降的．但单调上升的还是单调下降的．但是，即使是在函数的上升或下降是，即使是在函数的上升或下降过程中，函数的图象也会呈现出过程中，函数的图象也会呈现出截然不同的情况．截然不同的情况．xyoAB CD在图中，两条曲线均为上升在图中，两条曲线均为上升曲线，但曲线弧是向上凸的曲线弧，而曲线弧是向上凹的弧．曲线，但曲线弧是向上凸的曲线弧，而曲线弧是向上凹的弧．?ACB ?ADB定义设定义设I 是一个区间，若对任意的是一个区间，若对任意的x1,x2∈ ∈I (x1≠ ≠x2)成立成立不等式不等式1212( )( ),22xxf xf xf++⎛⎞⎜⎟⎝⎠则称函数则称函数f (x)(x∈ ∈I )的图形是的图形是(向上向上)凸的凸的(或凸弧或凸弧)．．图形上任意弧段位于所张弦的下方图形上任意弧段位于所张弦的下方( )yf x=xyox1x2x1+x2 2图形上任意弧段位于所张弦的上方图形上任意弧段位于所张弦的上方( )yf x=yxx2x1ox1+x2 2定理定理2(函数图形的凹凸性判别法函数图形的凹凸性判别法)若∀若∀x∈ ∈I，则函数，则函数 f (x)在在I的图形是凹的；若∀的图形是凹的；若∀x∈ ∈I，则，则f (x)在在I的图形是凹的．的图形是凹的．( )0,fx′′>( )0,fx′′⑵所以在⑵所以在(-∞ ∞, 0)内，内，, 曲线为凹弧；曲线为凹弧；(0, +∞ ∞)内，曲线为凸弧；内，曲线为凸弧；23,6 ,yxyx′′′==0y′′ 在在(-∞ ∞, 0)，因而曲线的图形是凹的；在，因而曲线的图形是凹的；在(0, +∞ ∞)内因而曲线的图形是凸的．⑶当内因而曲线的图形是凸的．⑶当x≠ ≠0时，在时，在x=0处，不存在，处，不存在，25 3312,,39yxyx−−′′′== −y′′0y′′ >0y′′ 曲线弧是凹的；在，，曲线弧是凹的；在曲线弧是凹的；在，，曲线弧是凹的；在20,3⎛⎞⎜⎟⎝⎠0y′′由此，曲线有两 怪点：由此，曲线有两 怪点：()2 110,1 ,,.3 27⎛⎞⎜⎟⎝⎠作 业作 业1.研究下列函数的单调性研究下列函数的单调性⑴⑴( )arctan ;f xxx=−⑵⑵( )()11,0 .x f xxx⎛⎞=+>⎜⎟⎝⎠2.确定下列函数的单调区间：⑴确定下列函数的单调区间：⑴3229123;yxxx=−+−⑵⑵2;1xyx=+3.证明下列不等式⑴证明下列不等式⑴()123,1 ;xxx>−>⑵⑵sintan2 , 0;2xxxxπ⎛⎞+>4.求下列函数的凹凸区间和怪点：求下列函数的凹凸区间和怪点：⑴⑴1;yxx=+⑵⑵32535.yxxx=−++5.利用函数的凹凸性，证明下列不等式：利用函数的凹凸性，证明下列不等式：⑴⑴()1()0,0,,1 .22n nnxyxyxyxy n+⎛⎞+>>>≠>⎜⎟⎝⎠。