第二十一章第二十一章 一元二次方程一元二次方程21.121.1 一元二次方程一元二次方程【知识与技能】1.使学生理解一元二次方程的概念,掌握一元二次方程的一般形式,并能将一元二次方程化成一般式,正确识别二次项系数、一次项系数和常数项.2.会判断一个数是否是一元二次方程的根.【过程与方法】经历由实际问题中抽象出一元二次方程等有关概念的过程， 让学生体会到方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型.【情感态度】进一步培养学生的观察、类比、归纳能力，体验数学的严密性和深刻性.【教学重点】一元二次方程的概念及其一般表现形式.【教学难点】从实际问题中抽象出一元二次方程的模型；识别方程中的“项”及“系数”.一、情境导入,初步认识(课件展示问题)雷锋纪念馆前的雷锋雕像高为 2m，设计者当初设计它的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，即下部高度的平方等于上部与全部的积，如果设此雕像的下部高为 xm，则其上部高为（2-x）m，由此可得到的等量关系如何？它是关于 x 的方程吗？如果是，你能看出它和我们以往学过的方程有什么不同吗？【教学说明】 设置上述从美学角度而构建的人体雕像（教师可适时补充有关简单黄金分割问题）可激发学生学习兴趣，进而增强求知欲望.二、思考探究，获取新知由上述问题，我们可以得到 x2=2(2-x),即 x2+2x-4=0.显然这个方程只含有一个未知数，且 x 的最高次数为 2，这类方程在现实生活中有广泛的应用.探究 1 见教材第 2 页问题 1.(课件展示问题)【教学说明】 针对上述问题可给予 58 分钟时间让学生讨论， 教师可相应设置如下问题帮助学生分析：如果设四角折起的正方形的边长为 xm，则制成的无盖方盒的底面长为多少?宽为多少?由底面积为 3600cm2,可得到的方程又是怎样的?【讨论结果】设切去的正方形的边长为 xcm,则盒底的长为(100-2x)cm,宽为(50-2x)cm,由此可得到方程(100-2x)(50-2x)=3600,整理为:4x2-300 x+1400=0,化简,得 x2-75x+350=0,由此方程可得出所切去的正方形的大小.探究 2 见教材 23 页问题 2.【教学说明】教学过程中,教师可设置如下问题:(1)这次排球赛共安排场;(2)若设应邀请 x 个队参赛，则每个队与其它个队各赛一场，这样共应有场比赛；(3)由此可列出的方程为，化简得.教师提出问题， 引导学生思考方程的建模过程，同时注重激发学生解决问题的欲望和兴趣.（课件展示）【讨论结果】设应邀请 x 个队参赛，通过分析可得到简，得 x2-x=56，即 x2-x-56=0.观察思考观察前面所构建的三个方程， 它们有什么共同点？可让学生先独立思考，然后相互交流，得出这些方程的特征：（1）方程各项都是整式；（2）方程中只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是 2.【归纳结论】1.一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2 的整式方程称为一元二次方程.2.一元二次方程的一般形式是 ax2+bx+c=0(a0)，其中 ax2 是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项.想一想1x （x-1）=28,化21.二次项的系数 a 为什么不能为 0?2.在指出二次项系数、一次项系数和常数项时，a、b、c 都一定是正数吗？谈谈你的看法.【教学说明】本环节为学生提供了多次观察、比较、归纳的活动过程，教学时应让学生进行充分的探索和交流.注重类比是帮助学生正确理解概念的有效方法.探究 3 从探究 2 中我们可以看出，由于参赛球队的支数 x 只能是正整数，因此可列表如下：可以发现，当 x=8 时，x2-x-56=0,所以 x=8 是方程 x2-x-56=0 的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.思考1.一元二次方程的根的定义应怎样描述呢？2.方程 x2-x-56=0 有一个根为 x=8，它还有其它的根吗？【探讨结论】1.一元二次方程根的定义：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的根；2.由于 x=-7 时，x2-x-56=49-（-7）-56=0，故 x=-7 也是方程 x2-x-56 的一个根.事实上，一元二次方程如果有实数根，则必然有两个实数根，通常记为x1=m,x2=n.三、典例精析，掌握新知例 1 已知关于 x 的方程(m+2)x|m|+3x+m=0 是一元二次方程，求此一元二次方程.分析:观察方程特征，依定义建立关于 m 的方程，再考虑其二次项系数不能为 0，可得到结论.m 2解：由题意有,m=2.m2 0因此原一元二次方程为 4x2+3x+2=0.例 2 将方程 3x(x-1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中二次项系数、一次项系数及常数项.解：去括号，得 3x2-3x=5x+10,移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式为 3x2-8x-10=0.其中二次项系数为 3，一次项系数为-8，常数项为-10.【教学说明】以上两例均可让学生独立思考，自主完成.教师巡视，了解学生的掌握情况， 最后选取几个优秀作业和有代表性问题作业通过幻灯片展示给全班同学学习与思考，加深对本节知识的理解和掌握.四、运用新知，深化理解1.下列各式中，是一元二次方程的是（）A.3x2+1x=0B.ax2+bx+c=0C.(x-3)(x-2)=x2D.(3x-1)(3x+1)=32.关于 x 的方程（k-1）x|k|+1-2x=3 是一元二次方程，则 k=.3.已知方程 5x2+mx-6=0 的一个根为 4，则 m 的值为.4.根据下列问题， 列出关于 x 的方程， 并将其化成一元二次方程的一般形式，指出其二次项系数、一次项系数及常数项：（1）4 个完全相同的正方形的面积之和是 25，求正方形的边长 x;（2）一个长方形的长比宽多 2，面积是 100，求长方形的长 x;（3）把长为 1 的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积，等于较长一段的平方，求较短一段的长 x.【教学说明】让学生当堂完成上述练习，达到巩固新知目的.最后全班同学核对答案即可.【答案】1.D2.-13.-37/24.(1)4x2-25=0,其中二次项系数为 4，一次项系数为 0，常数项为-25；(2)x2-2x-100=0,其二次项系数、一次项系数和常数项分别为 1,-2,-100;(3)x2-3x+1=0，其二次项系数、一次项系数和常数项分别为 1，-3，1.五、师生互动，课堂小结教师提出以下问题，让学生交流，加强反思、提炼及知识归纳.(1)一元二次方程的定义，一般式及二次项系数、一次项系数和常数项；（2）一元二次方程一般形式 ax2+bx+c=0(a0)中的括号是否可有可无？为什么？（3）通过这节课的学习你还有哪些收获？【教学说明】师生共同回顾，注重学生的交流发言.1.布置作业：从教材“习题 21.1”中选取.2.完成创优作业中本课时练习的“课时作业”部分.1.注重知识的前后联系，在温故而知新的过程中孕育新知，按照由特殊到一般的规律，降低学生理解的难度.2.教师创设情境，给出实例，学生积极主动探索，教师引导与启发、点拨与设疑相结合，师生互动，体现教师的组织者、引导者与合作者的地位.3.增设例题难度，让学生产生困惑，避免今后犯类似错误，增加课堂练习，巩固知识.4.对于一元二次方程的根的概念形成过程，要让学生大胆猜测，经过思考、讨论、分析的过程，让学生在交流中体会成功.21.221.2 解一元二次方程解一元二次方程21.2.121.2.1 配方法配方法第第 1 1 课时课时 直接开平方法直接开平方法【知识与技能】1.会利用开平方法解形如 x2=p(p0)的方程；2.初步了解形如（x+n）2=p（p0）方程的解法.3.能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性.【过程与方法】通过对实例的探究过程，体会类比、转化、降次的数学思想方法.【情感态度】在成功解决实际问题过程中， 体验成功的快乐， 增强数学学习的信心和乐趣.【教学重点】解形如 x2=p(p0)的方程.【教学难点】把一个方程化成 x2=p(p0)的形式.一、情境导入，初步认识问题我们知道，42=16,(-4)2=16，如果有 x2=16，你知道 x 的值是多少吗？说说你的想法.如果 3x2=18 呢？【教学说明】 让学生通过回顾平方根的意义初步感受利用开平方法求简单一元二次方程的思路，引入新课.教学时，教师提出问题后，让学生相互交流，在类比的基础上感受新知.解：如果 x2=16，则 x=4;若 3x2=18,则 x=6.二、思考探究，获取新知探究一桶油漆可刷的面积为 1500dm2， 李林用这桶油漆恰好刷完 10 个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？思考 1 设一个盒子的棱长为 xdm，则它的外表面面积为，10 个这种盒子的外表面面积的和为，由此你可得到方程为，你能求出它的解吗？解：6x2,106x2,106x2=1500，整理得 x2=25,根据平方根的意义，得 x=5,可以验证，5 和-5 是原方程的两个根，因为棱长不能为负值，所以盒子的棱长为 5dm,故 x=5dm.【教学说明】学生通过自主探究，尝试用开平方法解决一元二次方程，体验成功的快乐.教师应关注学生的思考是否正确，是否注意到实际问题的解与对应的一元二次方程的解之间的关系，帮助学生获取新知.【归纳结论】一般地，对于方程x2=p,（）（1）当 p0 时，根据平方根的意义，方程（）有两个不等的实数根x1=-p,x2=p;(2)当 p=0 时，方程（）有两个相等的实数根 x1=x2=0;(3)当 p0 时，因为对任意实数 x，都有 x20,所以方程（）无实数根.思考 2 对上面题解方程（）的过程，你认为应该怎样解方程（x+3）2=5?学生通过比较它们与方程 x2=25 异同，从而获得解一元二次方程的思路.在解方程（）时，由方程 x2=25 得 x=5.由此想到：由方程（x+3）2=5,得 x+3=5,即 x+3=5或 x+3=-5.于是，方程（x+3）2=5 的两个根为 x1=-3+5,x2=-3-5.【教学说明】教学时，就让学生独立尝试给出解答过程，最后教师再给出规范解答， 既帮助学生形成用直接开平方法解一元二次方程的方法，同时为以后学配方法作好铺垫，让学生体会到类比、转化、降次的数学思想方法.【归纳结论】上面的解法中，由方程得到，实质上是把一个一元二次方程“降次” ，转化为两个一元一次方程，这样就把方程转化为我们会解的方程了.【教学说明】 上述归纳结论应由师生共同探讨获得，教师要让学生知道解一元二次方程的实质是转化.三、典例精析，掌握新知例解下列方程： （教材第 6 页练习）(1)2x2-8=0;(2)9x2-5=3;(3)(x+6)2-9=0;(4)3(x-1)2-6=0;(5)x2-4x+4=5;(6)9x2+5=1.解：(1)原方程整理，得 2x2=8,即 x2=4,根据平方根的意义，得 x=2,即x1=2,x2=-2.（2）原方程可化为 9x2=8,即 x2=8/9.两边开平方，得 x=即 x1=2 22 2,x2=-.332 2,32(3)原方程整理， 得 （x+6）=9， 根据平方根的意义,得 x+6=3,即 x1=-3,x2=-9.（4）原方程可化为（x-1）2=2,两边开平方，得 x-1=2，x1=1+2,x2=1-2;（5）原方程可化为（x-2）2=5,两边开平方，得 x-2=5,x1=2+5,x2=2-5.（6）原方程可化为 9x2=-4,x2=-4/9.由前面结论知，当 p0 时，方程（）有两个不等的实数根x1=-n-p,x2=-n+p;(2)当 p=0 时，方程（）有两个相等的实数根x1=x2=-n;(3)当 p0 时，因为对任意实数x,都有（x+n）20,所以方程（）无实数根 .【试一试】师生共同完成教材第 9 页练习.【教学说明】第 1 题老师可让学生口答，第 2 题教师可选几名学生板演，师生共同完成后，老师仍。