全等三角形证明过程训练（习题）Ø 例题示范例 1：已知：如图，在正方形 ABCD 中，AB=CB，∠ABC=90°．E 为正方形内一点，ABE⊥BF，BE=BF，EF 交 BC 于点 G．求证：AE=CF．D【思路分析】 AD① 读题标注：EBG C1B 2EGC F② 梳理思路：F要证 AE=CF，可以把它们放在两个三角形中证全等．观察发现，放在△ ABE和△CBF 中进行证明．要证全等，需要三组条件，其中必须有一组边相等．由已知得，AB=CB；BE=BF；根据条件∠ABC=90°，BE⊥BF，推理可得∠1=∠2．因此由 SAS 可证两三角形全等．【过程书写】（在演草部分先进行规划，然后书写过程）证明：如图∵BE⊥BF∴∠EBF=90°∴∠2+∠EBC=90°∵∠ABC=90°∴∠1+∠EBC=90°∴∠1=∠2在△ABE 和△CBF 中过程规划：1．准备不能直接用的条件：∠1=∠22．证明△ABE≌△CBF3．根据全等性质得，AE=CFíÐ1 = Ð2ï BE = BFì AB = CBïî（已知）（已证）（已知）∴△ABE≌△CBF（SAS）∴AE=CF（全等三角形对应边相等）Ø 巩固练习1. 如图，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为点 D，E，且 PD=PE，将上述条件标注1在图中，易得___________≌___________，从而 AD=__________．DBA DAPEC BC第 1 题图第 2 题图2. 已知：如图，AB⊥BD 于点 B，CD⊥BD 于点 D，如果要使△ABD≌△CDB，那么还需要添加一组条件，这个条件可以是_______________，理由是_____________；这个条件也可以是_____________，理由是_____________；这个条件也可以是_____________，理由是_____________；这个条件还可以是_____________，理由是_____________．3. 已知：如图，C 为 BD 上一点，AC⊥CE，AC=CE，∠ABC=∠CDE=90°．若 AB=4，DE=2，则 BD 的长为______．AEBCD4. 已知：如图，点 A，E，F，B 在同一条直线上，CE⊥AB 于点 E，DF⊥AB 于点F，BC=AD，AE=BF．求证：△CEB≌△DFA．CDA E F B5. 如图，点 C，F 在 BE 上，∠1=∠2，BF=EC，∠A=∠D．求证：△ABC≌△DEF．2A D过程规划：2 1B FC EAE∥DF．求6. 已知：如图，点 A，B，C，D 在同一条直线上，且 AC=BD，BE∥CF， 过程规划：证：△ABE≌△DCF．FA BC DE7. 已知：如图，在△ABC 中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为点 D，E，AD 与CE 相交于点 H，AE=CE．求证：AH=CB．A过程规划：3EH思考小结1. 要证明边或者角相等，可以考虑边或者角所在的两个三角形 _______；要证明三角形全等，需要准备_____组条件，其中有一组必须是_______相等．2. 阅读材料我们是怎么做几何题的？例 1：已知：如图，AB=AD，AC=AE，∠BAE=∠DAC．求证：∠B=∠D． EB4C A第一步：读题标注，把题目信息转移到图形上 （请把条件标注在图上）第二步：分析特征走通思路① 要求∠B=∠D，考虑放在两个三角形里面证全等，把∠B 放在△ABC 中，把∠D 放在△ADE 中，只需要证明这两个三角形全等即可．② 要证明△ABC≌△ADE，需要找三组条件，由已知得 AB=AD，AC=AE，还差一组条件，根据∠BAE=∠DAC，同时加上公共角∠CAE，可得∠BAC=∠DAE，利用 SAS 可得两个三角形全等．第三步：规划过程过程分成三块：① 由∠BAE=∠DAC，可得∠BAC=∠DAE；② 由 SAS 得△ABC≌△ADE；③ 由全等得∠B=∠D．第四步：过程书写证明：如图∵∠BAE=∠DAC∴∠BAE+∠CAE =∠DAC+∠CAE全等准备条件íÐBAC = ÐDAE （已证） 全等模块ï AC = AE （已知）即∠BAC=∠DAE在△ABC 和△ADE 中ì AB = AD （已知）ï过程书写î∴△ABC≌△ADE（SAS）∴∠B=∠D（全等三角形对应角相等）【参考答案】巩固练习1. Rt△ADP，Rt△AEP，AE2. AD=CB，HLAB=CD，SAS∠A=∠C，AAS∠ADB=∠CBD，ASA3. 64. 证明：如图，由全等证明结论5îBE = AF （已证）í∠1 = ∠2 （已知）ï BC = EF （已证）í AB = DC （已证）ï∠A = ∠D （已证）∵CE⊥AB，DF⊥AB∴∠CEB=∠DFA=90°∵AE=BF∴AE+EF=BF+EF即 AF=BE在 Rt△CEB 和 Rt△DFA 中ìBC = AD （已知）í∴Rt△CEB≌Rt△DFA（HL）5. 证明：如图，∵BF=EC∴BF+FC=EC+FC即 BC=EF在△ABC 和△DEF 中ì∠A = ∠D （已知）ïî∴△ABC≌△DEF（AAS）6. 证明：如图，∵AC=BD∴AC-BC=BD-BC即 AB=DC∵BE∥CF∴∠1=∠2∵∠1+∠3=180°∠2+∠4=180°∴∠3=∠4∵AE∥DF∴∠A=∠D在△ABE 和△DCF 中ì∠3 = ∠4 （已证）ïî∴△ABE≌△DCF（ASA）7. 证明：如图，FA B 2 43 1 C DE第5题图6A3E4H∵AD⊥BC第6题图 Cí AE = CE （已知）ï∠3 = ∠1 （已证）21B D∴∠ADC=90°∴∠1+∠2=90°∵CE⊥AB∴∠AEH=∠CEB=90°∴∠3+∠4=90°∵∠2=∠4∴∠1=∠3在△AEH 和△CEB 中ì∠AEH = ∠CEB （已证）ïî∴△AEH≌△CEB（ASA）∴AH=CB（全等三角形对应边相等）思考小结1. 全等；3，边7。
