二次函数I.定义与定义表达式一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：y=ax^2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下,IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大.）则称y为x的二次函数二次函数表达式的右边通常为二次三项式II.二次函数的三种表达式一般式：y=ax^2;+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）顶点式：y=a(x-h)^2;+k [抛物线的顶点P（h，k）]交点式：y=a(x-x1)(x-x2) [仅限于与x轴有交点A（x1，0）和 B（x2，0）的抛物线]注：在3种形式的互相转化中，有如下关系:h=-b/2a k=(4ac-b^2;)/4a x1,x2=(-b±√b^2;-4ac)/2aIII.二次函数的图像在平面直角坐标系中作出二次函数y=x²的图像，可以看出，二次函数的图像是一条抛物线IV.抛物线的性质1.抛物线是轴对称图形对称轴为直线x = -b/2a对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）2.抛物线有一个顶点P，坐标为P [ -b/2a ，(4ac-b^2;)/4a ]。
当-b/2a=0时，P在y轴上；当Δ= b^2-4ac=0时，P在x轴上3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口a|越大，则抛物线的开口越小4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右5.常数项c决定抛物线与y轴交点抛物线与y轴交于（0，c）6.抛物线与x轴交点个数Δ= b^2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点Δ= b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点Δ= b^2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点V.二次函数与一元二次方程特别地，二次函数（以下称函数）y=ax^2;+bx+c，当y=0时，二次函数为关于x的授课：XXX一元二次方程（以下称方程），即ax^2;+bx+c=0此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根函数与x轴交点的横坐标即为方程的根画抛物线y＝ax2时，应先列表，再描点，最后连线列表选取自变量x值时常以0为中心，选取便于计算、描点的整数值，描点连线时一定要用光滑曲线连接，并注意变化趋势二次函数解析式的几种形式(1)一般式：y＝ax2+bx+c (a,b,c为常数，a≠0).(2)顶点式：y＝a(x-h)2+k(a,h,k为常数，a≠0).(3)两根式：y＝a(x-x1)(x-x2)，其中x1,x2是抛物线与x轴的交点的横坐标，即一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根，a≠0.说明：(1)任何一个二次函数通过配方都可以化为顶点式y＝a(x-h)2+k，抛物线的顶点坐标是(h,k)，h＝0时，抛物线y＝ax2+k的顶点在y轴上；当k＝0时，抛物线a(x-h)2的顶点在x轴上；当h＝0且k＝0时，抛物线y＝ax2的顶点在原点如果图像经过原点，并且对称轴是y轴，则设y=ax^2；如果对称轴是y轴，但不过原点，则设y=ax^2+k定义与定义表达式一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：y=ax^2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下。
还可以决定开口大小,越大开口就越小,越小开口就越大则称y为x的二次函数二次函数表达式的右边通常为二次三项式x是自变量，y是x的函数二次函数的三种表达式①一般式：y=ax^2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)②顶点式[抛物线的顶点 P(h，k) ]：y=a(x-h)^2+k③交点式[仅限于与x轴有交点 A(x1,0) 和 B(x2,0) 的抛物线]：y=a(x-x1)(x-x2)以上3种形式可进行如下转化：授课：XXX①一般式和顶点式的关系对于二次函数y=ax^2+bx+c，其顶点坐标为(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)，即h=-b/2a=(x1+x2)/2k=(4ac-b^2)/4a②一般式和交点式的关系x1,x2=[-b±√(b^2-4ac)]/2a(即一元二次方程求根公式)函数性质： 1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k.K为常数. 即：y=kx+b（k，b为常数，k≠0）， ∵当x增加m，k（x+m)+b=y+km,km/m=k 2.当x=0时，b为函数在y轴上的点,坐标为(0，b) 3当b=0时(即 y=kx)，一次函数图像变为正比例函数，正比例函数是特殊的一次函数。
4.在两个一次函数表达式中： 当两一次函数表达式中的k相同，b也相同时，两一次函数图像重合； 当两一次函数表达式中的k相同，b不相同时，两一次函数图像平行； 当两一次函数表达式中的k不相同，b不相同时，两一次函数图像相交； 当两一次函数表达式中的k不相同，b相同时，两一次函数图像交于y轴上的同一点（0，b） 若两个变量x,y间的关系式可以表示成y=kx+b(k,b为常数，k不等于0）则称y是x的一次函数y=kx+b时： 当 k>0,b>0, 这时此函数的图象经过第一、二、三象限； 当 k>0,b<0, 这时此函数的图象经过第一、三、四象限； 当 k<0,b>0, 这时此函数的图象经过第一、二、四象限； 当 k<0,b<0, 这时此函数的图象经过第二、三、四象限； 当b>0时，直线必通过第一、二象限； 当b<0时，直线必通过第三、四象限1、正比例函数 一般地，形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数.2、正比例函数图象和性质 一般地，正比例函数y=kx（k为常数，k≠0）的图象是一条经过原点和（1,k）的一条直线，我们称它为直线y=kx.当k>0时，直线y=kx经过第一、三象限，从左向右上升，即随着x的增大，y也增大；当k<0时，直线y=kx经过第二、四象限，从左向右下降，即随着x的增大y反而减小.3、正比例函数解析式的确定 确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式y=kx(k授课：XXX≠0)中的常数k，其基本步骤是： （1）设出含有待定系数的函数解析式y=kx(k≠0)； （2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式，得到关于系数k的一元一次方程； （3）解方程，求出待定系数k； （4）将求得的待定系数的值代回解析式.4、一次函数 一般地，形如y=kx＋b(k,b是常数，k≠0)，那么y叫做x的一次函数.当b=0时，y=kx＋b即y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.5、一次函数的图象 （1）一次函数y=kx＋b(k≠0)的图象是经过（0，b）和 两点的一条直线，因此一次函数y=kx＋b的图象也称为直线y=kx＋b. （2）一次函数y=kx＋b的图象的画法. 根据几何知识：经过两点能画出一条直线，并且只能画出一条直线，即两点确定一条直线，所以画一次函数的图象时，只要先描出两点，再连成直线即可.一般情况下：是先选取它与两坐标轴的交点：（0，b）， .即横坐标或纵坐标为0的点.6、正比例函数与一次函数图象之间的关系 一次函数y=kx＋b的图象是一条直线，它可以看作是由直线y=kx平移|b|个单位长度而得到（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）.7、直线y=kx＋b的图象和性质与k、b的关系如下表所示： k>0,b>0经过第一、二、三象限k>0,b<0经过第一、三、四象限k>0,b=0经过第一、三象限k>0时，图象从左到右上升，y随x的增大而增大k<0b>0经过第一、二、四象限k<0,b<0经过第二、三、四象限K,0,b=0经过第二、四象限 k<0图象从左到右下降，y随x的增大而减小8、直线y1=kx＋b与y2=kx图象的位置关系： (1)当b>0时，将y2=kx图象向x轴上方平移b个单位，就得到y1=kx＋b的图象． (2)当b<0时，将y2=kx图象向x轴下方平移－b个单位，就得到了y1=kx＋b的图象．9、直线l1：y1=k1x＋b1与l2：y2=k2x＋b2的位置关系可由其解析式中的比例系数和常数来确定： 当k1≠k2时，l1与l2相交，交点是(0，b)． 10、直线y=kx＋b(k授课：XXX≠0)与坐标轴的交点． (1)直线y=kx与x轴、y轴的交点都是(0，0)； (2)直线y=kx＋b与x轴交点坐标为( ，0)与 y轴交点坐标为(0，b)．一、选择题1、如图4，直线l1和l2的交点坐标为（ ）A.(4,-2) B. (2,-4) C. (-4,2) D. (3,-1)2、一次函数 的图象大致是（ ）3、一次函数 的图象不经过（ ） A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限4、一次函数 不经过的象限是（ ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限5、如果点M在直线 上，则M点的坐标可以是（ ） A．（－1，0） B．（0，1） C．（1，0） D．（1，－1）6、如图，直线 对应的函数表达式是（ ）A． B． C． D．8、已知反比例函数 = ( ≠0)的图象，在每一象限内， 的值随 值的增大而减少，则一次函数 =- + 的图象不经过（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限9、一次函数 的图象如图所示，当 时， 的取值范围是（ ）A． B． C． D．11、一次函数 （ 是常数， ）的图象如图2所示，则不等式 的解集是（ ）A． B． C． D．12、在平面直角坐标系中，直线 经过（ ）A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限13、一次函数y=kx+b中，k<0,b>0.那么它的图像不经过A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限15、已知：一次函数 的图象如图1所示，那么，a的取值范围是 A. B. C. D. 16、如图，直线y1= 与y2=-x+3相交于点A，若y12 B.x<2 C.x>1 D.x<11、正比例函数 一般地，形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数.2、正比例函数图象和性质 一般地，正比例函数y=kx（k为常数，k≠0）的图象是一条经过原点和（1,k）的。