专题24.9弧 弦 圆心角（巩固篇）（专项练习）一、单选题类型一、圆心角概念1.已知下列命题：长度相等的两条弧所对的圆心角相等.直径是圆的最长的弦，也是圆的对称轴.平分弦的直径垂直于这条弦.在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等.其中错误命题的个数为（）A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个2.已知A/B C 内接于O O,若乙43=120则NC的度数是（）A.60 B.120C.60或 120D.30或 1503.如图，N 2为O的直径，弦 CDL42于点E,连接NC,OC,O D,若乙4=20则乙C O D的度数为（）A.40 B.60C.80D.100类型二、圆心角与它所对弧的度数4.如图，已知 NBC是圆的内接二角形，A B=A C,乙4c5=65点 C 是弧8的中D.205.如图，扇形/O 2 中，4 405=90半径Q4=6,C 是 油 的 中 点，C D H O A,交AB于点D,则CD的 长 为（）A.2V 2-2 B.V2 C.2 D.67 2-66.如图，已知e O 的半径为5,弦AB,CD所对的圆心角分别是N A O B ,ZCOD,若Z AOB与/COD互补，弦4B=8,则弦C D 的 长 为（）A.6 B.8 C.572 D.5类型三 用弧、弦、圆心角关系求解7.如图，在 以 为 直 径 的 O O 中，点 C 为圆上的一点，2C=2%C，弦于点、E,弦 A F 交 C E 于点H,交 于 点 G,若点”是 NG的中点，则/C A F 的度数为（）A.18 B.21 C.22.5 D.308.如图，在O。
中，是 的 直 径，/8=1 0,%C=&=F g，点 E 是点关于N 8 的对称点，M 是 上 的 一 动 点，下列结论：4BOE=3Q；乙DOB=2乙 C E D；DMLCE；c m z w 的最小值是1 0,上述结论中正确的个数是（）A.I B.2 C.3 D.49.如图，O的半径为9cm,4 8 是弦，0 C 1/5 于点C,将 劣 弧 沿 弦 4 5 折叠交于0 c 的中点则 的 长 为（）类型四 用弧 弦、圆心角关系证明10.有一直径为2 2 的圆，且圆上有C、D、E、尸四点，其位置如图所示.若AC=6,AD=8,AE-5,AF=9,AB=10,则下列弧长关系何者正确？()A.1乳=，8，就+1/=岫B.1和=知，岫+即 8c.1C+】Z）H，B，E+1F=，BD.+1E+%F1 1.在锐角V 4 8 c中,ZACB=60,aIC、ZABC的角平分线NBE交于点、M,则下列结论中错误的是（）A.ZAMB=120B.ME=MDC.AE+BD=ABD.点关于/C 的对称点一定在V4BC的外接圆上12.如图，AB、CD分别是的直径，连接BC、B D,如果弦DE/3,且NCD=6 2 ,则下列结论错误的是（)A.CBLBD B.Z_CR4=31C.RC=E D.BD=DE二、填空题类型一、圆心角概念13.在O O 中，A 5 是直径，AB=2,C 是 23 上一点，D、E 分别是为C、的中点,M 是 弦 的 中 点，则 C M 的取值范围是.14.把一个圆分成4 个扇形，它们分别占整个圆的10%,20%,30%,4 0%,那么这四个 扇 形 的 圆 心 角 分 别 是.15.已知点A、B、C、。
在圆上，且尸OE_LCD于点,对于下列说法：圆上瓢8 是优弧；圆上抽是优弧；线段N C 是弦；NC/和N4O尸都是圆周角；/C Q 4 是圆心角，其 中 正 确 的 说 法 是.b类型二 圆心角与它所对弧的度数16.如图，在以A B 为直径的半圆中，夕即，CD1AB,EF1AB,CD=CF=1,则以A C 和 B C 的长为两根的一元二次方程是17.已知半径为2 的0 中，弦 A C=2,弦 A D=2 0,则NAOD=,zCO D=18.如图，4 3 是e O 的直径，弦连接C O 并延长交e O 于点,连接2交CE于点F,若N D B E=3 2 ,则 N相的度数是.类型三 用弧、弦、圆心角关系求解1 9.如图，点4 B、C、均在e O上，若/A O/D C,则乙8的度数为2 0 .如图，点/、B、C、D、E都是圆上的点，4 c =2E，乙 8=1 1 6则乙D的度数为2 1 .如图，的直径4 8过 功 的 中 点 4,若N C=3 0A B、C D 交于点E,连接Z C、BD,类型四、用弧、弦、圆心角关系证明2 2.如图，AB、CE是圆的直径，且/8=4,弧弧弧/(7,点/是 上一动点，下列结论：正确的数是(写出所有正确结论的序号)乙C E D=g乙BOD；DMLCE；CM+DM的最小值为4；设 O河 为 x,则23.在同一个圆中，当圆心角不超过180。
时，圆心角越大，所 对 的 弧;所 对 的 弦,所对弦的弦心距.24.如图，4 8 是的直径，CO是弦，若乙42c=63的度数是25.如图是半径为2 的圆，(1)在其中画两个不重叠的扇形AOB和扇形B O C,使扇形AOB的圆心角为120度,扇形BOC的圆心角为90度，(2)求第三个扇形AOC的面积.26.如图，AB是0 的一条弦，O D 1A B,垂足为C,交O O 于点D,点 E 在0上.(1)若NAOD=52求NDEB 的度数；(2)若 AB=24,C D=8,求 的 半 径 长.27.阅读与应用请阅读下列材料，完成相应的任务:托勒密是 地心说”的集大成者，著名的天文学家、地理学家、占星学家和光学家.后人从托勒密的书中发现一个命题：圆内接四边形对边乘积的和等于对角线的乘积.下面是对这个命题的证明过程.如 图 1,四边形N5CD内接于e图1求证：AB-D C +A D -B C =A C -B D .证明：如图2,作 NBAE=N C A D 交 B D 于点、E.DA图2.:况D=D，./4BE=ZA C D.（依据）AB BEA B E sC D .一=.AB DC=AC BE.AC CD /ABC S/4ED .AC BC=.AD BC=AC ED.AD EDAB DC=AC BE,AB DC+AD,BC=AC BE+AC,ED=AC（BE+ED）=AC BD.AB DC+AD BC=AC BD.任务:(1)证明过程中的“依据”是 一(2)补全证明过程;如图3,e O 的 内 接 五 边 形 的 边 长 都 为 2,求对角线5。
的长.A2 8.如图，在中，弦45,CZ)互相垂直，垂 足 为 尸 是 2上的一点，且BF=B e，/尸分别与a,8相交于点E,N,连接ED,MN.(1)求证：DE=DF；(2)若O的半径为8,乙BAF=22.5,求线段A W的长.参考答案1.D【分析】根据圆心角定理、直径的性质、垂径定理、圆周角定理逐个判断即可.解：等弧所对的圆心角相等，但长度相等的两条弧不一定是等弧，则命题错误直径是圆的最长的弦，但不是圆的对称轴，圆的对称轴是直径所在直线，则命题错误平 分 弦（非直径）的直径垂直于这条弦，则命题错误在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等或互补，则命题错误综上，错误命题的个数为4 个故选：D.【点拨】本题考查了圆心角定理、直径的性质、垂径定理、圆周角定理，熟记各定理是解题关键.2.C【分析】根据圆周角定理可以得出同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，此时分两种情况进一步分析讨论即可.解：当 点 C 与线段AB位于圆心的两侧时，ZC=1 ZAOB=60；当 点 C 与线段A B位于同侧时，与上一种情况所得的度数互补；即此时的NC=120故选：C.【点拨】本题主要考查了圆周角定理的应用，熟练掌握相关概念是解题关键.3.C【分析】利用圆周角与圆心角的关系得出NCOB=40。
再根据垂径定理进一步可得出ZDOB=ZCOB,最后即可得出答案.解：.4=20,.ZCOB=2ZA=40,CD1AB,OC=OD,.-.ZDOB=ZCOB=40,.ZCOD=ZDOB+ZCOB=80.故选：C.【点拨】本题主要考查了圆周角、圆心角与垂径定理的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.4.B【分析】如图，连接AO,BO,CO,D O,由等腰三角形的性质可求ZABC=NACB=65ZBAC=50由圆周角定理可求NAOC=2NABC=130NBOC=2NBAC=100可求NAOD=3 0 ,即可求解.解：如图，连接AO,BO,CO,DO,；AB=AC,ZACB=65,.ZABC=NACB=65,.ZBAC=5O,ZAOC=2ZABC=130,zBOC=2zBAC=100,点C 是弧B D 的中点，,2C=红），.ZBOC=NCOD=100,.ZAOD=30,ZAOD=2ZACD,.ZACD=15,故选：B.【点拨】本题主要考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角、圆心角、弧的关系是解题的关键.5.D【分析】连接O C,延长CD 交 OB于点E,如图，易得ziAOB、COE、ZkBDE都是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质求出C E与 D E的长，从而可得答案.解：连接O C,延长CD交 O B于点E,如图，NAOB=90。
是 4 5 的中点，.-.ZCOE=45,-C D/O A,ZAOB=90,.-.CE1OB,.-.ZOCE=ZCOE=45,B F)：,CE=OE=OC=x 6=3后，2 2 *BE=OB-OE=6 3A/2，vOA=OB,ZAOB=90 f.-.ZABO=45,/.ZBDE=ZABO=45,EB=ED=6-35/2 f .CD=CE-DE=3/2-(6-3A/2)=672-6.故选：D.【点拨】本题考查了圆心角和弧的关系、等腰直角三角形的判定和性质等知识，属于常考题型，熟练掌握等腰直角三角形的判定和性质是解此题的关键.6.A【分析】延长 AO 交0 于点 E,连接 B E,由4AOB+4BOE=4AOB+4cOD 知4BOE=NCOD,据此可得BE=CD,在 RtAABE中利用勾股定理求解可得.解：如图，延长A 0 交于点E,连接BE,则 NAOB+NBOE=180又NAOB+NCOD=180,zBOE=zCOD,.-.BE=CD,A E为O O 的直径，则 AE=10,.ZABE=90,-C=y/AE2-A B2=V102-82=6；故选择：A.【点拨】本题主要考查圆心角定理，解题的关键是掌握圆心角定理和圆周角定理.7.D【分析】由圆周角定理可求4 1CB=9O。
由弧的关系得出角的关系，进而可求 8C=30乙CAB=60,由 直 角 三 角 形 的 性 质 可 求 乙 4CE=30即可求解.解：/8是直径，.zJC5=90,.ABC+ACAB=90,BC=，；/CAB=2UBC,.48C=30,ZC45=6O,CDLAB,“EC=90AACE=30,点是4 G 的中点，乙4cB=90AH=CH=HG,；/CAH=UCE=3Q,:4 CAF=4CBF,.8 8=3 0故选：D.【点拨】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，直角三角形的性质，求出乙CAB的度数是本题的关键.8.B【分析】根据=班=加 和 点 E 是点D 关于A B 的对称点，求出)08=4求出N C E D,即可判断；根据圆周角定理求出当M 和/重合时5=60即可判断;求出M 点的位置，根据圆周角定理得出此时尸是直径，即可求出尸长，即可判断.解：,为？=5刃B，点 E 是点关 于 的 对 称 点，D=E，：./-DOB=/-BOE=LCOD=I x 180=60,错误；/.CED=/.COD=X6 0=3 0=|Z D O B,即N O 3=2NC Z)；.,正确；西 的度数是60,.，E 的度数是120,只有当“和力重合时，zA=60。
CED=3Q,二只有和/重合时，DH1CE,.错误；作 C。