专题03 等式与不等式的性质 【考纲要求】1、会用不等式表示不等关系；掌握等式性质和不等式性质.2、会利用不等式性质比较大小【思维导图】【考点总结】【考点总结】一、等式的基本性质性质1 如果a＝b，那么b＝a；性质2 如果a＝b，b＝c，那么a＝c；性质3 如果a＝b，那么a±c＝b±c；性质4 如果a＝b，那么ac＝bc；性质5 如果a＝b，c≠0，那么＝.二、不等式的概念我们用数学符号“≠”、“＞”、“＜”、“≥”、“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系．含有这些不等号的式子叫做不等式．三、比较两个实数a、b大小的依据文字语言符号表示如果a＞b，那么a－b是正数；如果a＜b，那么a－b是负数；如果a＝b，那么a－b等于0，反之亦然 a>b⇔a－b>0ab⇔bb，b>c⇒a>c；(3)可加性：a>b⇒a＋c>b＋c.推论(同向可加性)：⇒a＋c>b＋d；(4)可乘性：⇒ac>bc；⇒acbd；(5)正数乘方性：a>b>0⇒an>bn(n∈N*，n≥1)；(6)正数开方性：a>b>0⇒>(n∈N*，n≥2)．[化解疑难]1．在应用不等式时，一定要搞清它们成立的前提条件．不可强化或弱化成立的条件．2．要注意“箭头”是单向的还是双向的，也就是说每条性质是否具有可逆性．【题型汇编】题型一：利用不等式的性质比较数（式）大小题型二：作差法比较数（式）大小题型三：利用不等式的性质证明不等式【题型讲解】题型一：利用不等式的性质比较数（式）大小一、单选题1．（2022·浙江·三模）已知，且，则（ ）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】由得，结合即可求解.【详解】由题意知：，又，则，显然异号，又，所以.故选：B.2．（2022·北京·北大附中三模）已知，下列不等式中正确的是（ ）A． B．C． D．【答案】C【解析】【分析】由，结合不等式的性质及基本不等式即可判断出结论.【详解】解：对于选项A，因为，而的正负不确定，故A错误；对于选项B，因为，所以，故B错误；对于选项C，依题意，所以，所以，故C正确；对于选项D，因为与正负不确定，故大小不确定，故D错误；故选：C.3．（2022·江西萍乡·三模（理））设，，，则（ ）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】令，，求导研究函数的单调性，从而得到，利用不等式的性质比较得出，从而求得答案.【详解】令，，，可以判断在上单调递增，，所以，，所以，又因为，，所以，即，所以，故选：D.4．（2022·北京·二模）“”是“”的（ ）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】首先根据不等式的性质，求解出，进而根据逻辑关系进行判断即可.【详解】对于等价为：或即：或解得：或，“”是“”的充分不必要条件.故选：A.5．（2022·江西鹰潭·二模（理））已知，且则下列不等式中恒成立的个数是（ ）① ② ③ ④A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】【分析】①，分析得到所以正确；②，构造函数举反例判断得解；③，构造函数利用函数单调性判断得解；④，转化为判断，再构造函数利用导数判断函数的单调性即得解.【详解】解：①，若，所以矛盾，所以所以正确；②，，设，所以当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，因为，所以不恒成立，如，所以该命题错误；③，，设在单调递增，因为，所以恒成立，所以该命题正确；④，，设，所以，所以函数在单调递增，在单调递减.取设，所以在单调递增，，，所以存在，此时，所以该命题错误.故选：B6．（2022·山东日照·二模）若a，b，c为实数，且，，则下列不等关系一定成立的是（ ）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】由不等式的基本性质和特值法即可求解.【详解】对于A选项，由不等式的基本性质知，不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号方向不变，则，A选项正确；对于B选项，由不等式的基本性质知，不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号方向改变，若，，则，B选项错误；对于C选项，由不等式的基本性质知，不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号方向不变，，，C选项错误；对于D选项，因为，，所以无法判断与大小，D选项错误.7．（2022·陕西渭南·二模（文））设x、y都是实数，则“且”是“且”的（ ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】由不等式性质及特殊值法判断条件间的推出关系，结合充分必要性的定义即可确定答案.【详解】由且，必有且，当且时，如不满足，故不一定有且.所以“且”是“且”的充分不必要条件.故选：A8．（2022·安徽黄山·二模（文））设实数、满足，则下列不等式一定成立的是（ ）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】对于A，B，C可以取特殊值验证，对于D，根据题意得，，利用基本不等式求解即可.【详解】对于A：当，时不成立，故A错误；对于B：当，，所以，，即，故C错误；对于C：当时不成立，故C错误；对于D：因为，所以，又，所以（等号成立的条件是），故D正确.故选：D.9．（2022·宁夏六盘山高级中学二模（文））设，若为函数的极小值点，则（ ）A． B．C． D．【答案】C【解析】【分析】先对函数求导，令，则或，然后分和结合的正负讨论判断函数的极值点即可【详解】由，得，令，则或，当，即时，若时，则在，上单调递增，在上单调递减，所以是函数的极大值点，不合题意，若时，则在，上单调递减，在上单调递增，所以是函数的极小值点，满足题意，此时由，，可得，当时，，若时，在，上单调递减，在上单调递增，所以是函数的极大值点，不合题意，若时，在，上单调递增，在上单调递减，所以是函数的极小值点，满足题意，此时由，得，综上，一定成立，所以C正确，ABD错误，故选：C10．（2022·江西·二模（文））已知正实数a，b满足，则下列结论不正确的是（ ）A．有最大值B．的最小值是9C．若，则D．的最大值为0【答案】D【解析】【分析】利用基本不等式，以及对数的运算，不等式的性质，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.【详解】对：，∴，当且仅当时，等号成立，故A正确；对：，当且仅当，即时，等号成立，故B正确；对：，∴，∴，故C正确；对：由可知，故，当且仅当时，等号成立，故D错误.故选：.二、多选题1．（2022·全国·模拟预测）已知，则下列不等关系中正确的是（ ）A． B． C． D．【答案】CD【解析】【分析】根据不等式的性质，特值法以及基本不等式即可判断各关系式的真假．【详解】对A，由，得，当，时，A错误；对B，当，时，B错误；对C，由，得，根据基本不等式知，C正确：对D，由，得，所以，因为，所以D正确．故选：CD．2．（2022·辽宁·二模）己知非零实数a，b满足，则下列不等关系一定成立的是（ ）A． B．C． D．【答案】ABC【解析】【分析】利用不等式的性质及特殊值法判断即可．【详解】解：对于非零实数，满足，则，即，故A一定成立；因为，故B一定成立；又，即，所以，故C一定成立；对于D：令，，满足，此时，故D不一定成立．故选：ABC3．（2022·重庆·二模）已知，则（ ）A． B． C． D．【答案】BCD【解析】【分析】根据指数式与对数式的互化，再利用对数的运算性质及对数大小的比较及不等式的性质即可求解.【详解】对于A，，故A不正确；对于B，，，，故B正确；对于C，，故C 正确；对于D，由B知，，故D正确；故选：BCD.题型二：作差法比较数（式）大小一、单选题1．（2022·全国·模拟预测（理））已知，则下列结论正确的是（ ）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】根据不等式的性质，结合指数函数、对数函数的单调性、作差法比较大小等知识，逐一分析各个选项，即可得答案.【详解】因为，所以，对于A：，，所以，故A错误；对于B：，所以在上为增函数，又，所以，故B错误；对于C：，因为，，所以，所以，故C错误；对于D：，因为，，所以，即，故D正确.故选：D2．（2022·重庆·二模）若非零实数a，b满足，则下列不等式一定成立的是（ ）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】根据不等式的基本性质、基本不等式的条件和对数的运算，逐项判定，即可求解.【详解】对于A中，由，因为，可得，当不确定，所以A错误；对于B中，只有当不相等时，才有成立，所以B错误；对于C中，例如，此时满足，但，所以C错误；对于D中，由不等式的基本性质，当时，可得成立，所以D正确.故选：D.3．（2022·江西上饶·二模（理））设，其中e是自然对数的底数，则（ ）注：A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】构造函数，则，利用导数研究函数的单调性可得；根据作差法和对数的运算性质可得，构造新函数，利用导数研究函数的性质可得，进而，即可得出结果.【详解】令，则，令，则在单调递减，所以，∵；，∴，令，则，∴在单调递增，∴，∴；综上，.故选：C4．（2022·安徽黄山·二模（文））设实数、满足，则下列不等式一定成立的是（ ）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】对于A，B，C可以取特殊值验证，对于D，根据题意得，，利用基本不等式求解即可.【详解】对于A：当，时不成立，故A错误；对于B：当，，所以，，即，故C错误；对于C：当时不成立，故C错误；对于D：因为，所以，又，所以（等号成立的条件是），故D正确.故选：D.5．（2022·广东广州·一模）若正实数a，b满足，且，则下列不等式一定成立的是（ ）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】根据函数单调性及得到或，分别讨论两种情况下四个选项是否正确，A选项可以用对数函数单调性得到，B选项可以用作差法，C选项用作差法及指数函数单调性进行求解，D选。
