1 2007-2008 学年第二学期量子力学 （B）卷参考解答及评分标准一、简答题1. 写出三维无限深势阱其余区域,0,0,0,0),(czbyaxzyxV中粒子的能级和波函数解：能量本征值和本征波函数为222222222cnbnanmEzyxnnnzyx，,3,2, 1,00,0,0,sinsinsin8),(nczbyaxcznbynaxnabczyxzyxnnnzyx其余区域2. 电子自旋假设的两个要点解： （1）电子具有自旋角动量s ，它在空间任意方向的投影只有两个取值：2；（2）电子具有自旋磁矩M ，它的回转磁比值为轨道回转磁比值的2 倍，即自旋回转磁比值为单位取自旋内禀磁矩mcemcegs22，轨道回转磁比值12mcegl轨道角动量轨道磁矩3. 二粒子体系，仅限于角动量涉及的自由度，有哪两种表象？它们的力学量完全集分别是什么？在两种表象中，各力学量共同的本征态及对应的本征值又是什么？解：有耦合表象和非耦合表象两种耦合表象的力学量完全集是zJJJJ,22221，其共同的本征态是jmjj21，2 jm简记为，本征值分别由下式给出：) 1(,)1(,) 1(2121212212212222122212112121jmjjmjmjjJjmjjjjjmjjJjmjjjjjmjjJjmjjjjjmjjJz非耦合表象的力学量完全集是zzJJJJ222121,，其共同的本征态是2211mjmj，本征值分别是。
) 1(,) 1(2211222112221122222112222111221112211211221121mjmjmmjmjJmjmjJjmjmjJmjmjmmjmjJmjmjJjmjmjJzz4. 何谓光的吸收？何谓光的受激辐射？何谓光的自发辐射？解：在光的照射下， 原子可能吸收光而从低能级跃迁到较高能级的现象，称为光的吸收在光的照射下，原子可能吸收光而从较高能级跃迁到较低能级并放出光的现象，称为受激辐射如果原子本来处于激发能级， 即使没有外界光的照射， 也可能跃迁到某些较低能级并放出光来，这一现象称为自发辐射二、填充题5. 量子力学中，一个力学量Q守恒的条件有两个， 即0,0HQtQ6. 粒子在一维势阱)0()()(xxV中运动，波函数为)(x，则)(x的跃变条件为)0(2)0()0(2m7. 电子自旋zs的二本征值和对应的本征态分别为01)(,221zzss；10)(,221zzss8. 在z表象中的泡利矩阵为3 1001,00,0110zyxii9. 量子力学中，体系的任意态)(x可用一组力学量完全集的共同本征态)(xn展开：nnnxcx)()(， 展开式系数nc*( ),( )( )( )nnxxxx dx 。
三、证明题10. 设力学量 A不显含时间 t ，证明在束缚定态下，0tdAd证：设束缚定态为，即有EH，EH，tAHAitdAd,1因 A不显含时间 t，所以0tA，因而HAAHiHAitdAd1,1011AEAEiHAAHi11. 已知aaN为声子数算符，其归一化本征态为0!1nann，利用1nnnanaaaa，证明：1,11nnnannna证：110!110!10!111nnannanananannn4 0!10!11nanaaananannn，因为00a，所以中括号中第一项对后面运算的结果为0，因而10!110!111nnannnannann四、计算题12. 质量为m的粒子处于能量为 E 的本征态，波函数为2221)(xAxex， 问粒子在什么样的位势中运动？解： S.eq联系了 m、V、E 和)(x，知道了其中一部分，就可以求出其它部分本题中要求解位势从S.eq )()()()(22xExxVxm看，只要把题给的能量本征函数)(x代入运算，即可得解：)()(2)(2xxmExVxmE13. 一质量为m的粒子在一维势箱ax0中运动，其量子态为axaxax3sin23sin212)( 该量子态是否为能量算符H 的本征态？ 对该系统进行能量测量，其可能的结果及其所对应的概率为何？ 处于该量子态粒子能量的平均值为多少？解： 在此一维势箱中运动的粒子，其波函数和能量表达式为axxaxaxnan或,sin,3,2,1,22222nanEn对波函数的分析可知5 )(23)(21)(31xxx即粒子处在)(1x和)(3x的叠加态，该量子态不是能量算符H 的本征态。
由于)(x是能量本征态)(1x和)(3x的线性组合，而且是归一化的，因此能量测量的可能值为2223222129,2aEaE其出现的概率分别为4323,412122 能量测量的平均值为22222231272943414341aaEEE14. 粒子在一维势场axaxaxxxV0,2,0,)(（1）中运动，甚小，试求基态能量准确到2的修正值以及应满足的条件解：本题，一维无限深势阱，微扰取axH（2）xanaanEnnsin2,2)0(2222)0(3）求到二级，矩阵元一般形式lnadxaxlaxaxnalHnasinsinsinsin（4）基态， n一级修正aHE)(5）二级修正6 )(sin)()()()(lElaEElHElllllllll)()()(cosa）当l 为偶数时，l)(，这时)(E；b）当l 为奇数时，令,kkl上式给出kkkkkkE)()(（6）aaE（7）由)()()(EEE，可得a（8）。