§20.2 矩形的判定 矩形的判定方法矩形的判定方法(1)(1)根据定义根据定义: :有一个角是有一个角是__________的的__________四边形是矩形四边形是矩形. .(2)(2)根据对角线根据对角线: :对角线对角线__________的的__________四边形是矩形四边形是矩形. .直角直角平行平行相等相等平行平行 【【点拨点拨】】因为对角线互相平分的四边形是平行四边形因为对角线互相平分的四边形是平行四边形, ,所以对角所以对角线相等且互相平分的四边形是矩形线相等且互相平分的四边形是矩形. . (3)(3)根据角根据角: :有有______个是个是__________的四边形是矩形的四边形是矩形. .【【归纳归纳】】证明矩形一般先证明是平行四边形证明矩形一般先证明是平行四边形, ,然后再证明是矩形然后再证明是矩形. .三三直角直角 【【预习思考预习思考】】 □□ABCDABCD添加什么条件后，可以变为矩形添加什么条件后，可以变为矩形ABCDABCD？？提示：提示：加一个角是直角或对角线相等加一个角是直角或对角线相等. . 矩形的判定矩形的判定【【例例1 1】】(2011·(2011·青岛中考青岛中考) )已知已知: :□□ABCDABCD中中,E,F,E,F分别是分别是AB,CDAB,CD的中的中点点, ,连结连结AF,CE.AF,CE.(1)(1)求证求证:△BEC≌△DFA:△BEC≌△DFA；；(2)(2)连结连结AC,AC,若若CA=CB,CA=CB,判断四边形判断四边形AECFAECF是什么特殊四边形是什么特殊四边形? ?并证明并证明你的结论你的结论. . 【【解题探究解题探究】】(1)①(1)①一般三角形全等有几种判定方法一般三角形全等有几种判定方法? ?答答: :一般三角形全等的判定有一般三角形全等的判定有““S.A.S.S.A.S.””, ,““A.S.A.A.S.A.””, ,““A.A.S.A.A.S.””, ,““S.S.S.S.S.S.””四种方法四种方法. .②②根据平行四边形的性质根据平行四边形的性质, ,结合三角形全等的判定方法结合三角形全等的判定方法, ,应用哪应用哪个判定定理证明个判定定理证明△△BEC≌△DFA?BEC≌△DFA?答答: :根据平行四边形的性质根据平行四边形的性质, ,可以应用可以应用““S.A.S.S.A.S.””证明证明△△BEC≌△DFA.BEC≌△DFA. ③③若证若证△△BEC≌△DFABEC≌△DFA，，根据根据□□ABCDABCD的条件可知的条件可知BC=BC=DADA,∠B=,∠B=∠D∠D故只需再证故只需再证BEBE= =DFDF. .∵E,F∵E,F分别为分别为ABAB和和CDCD的中点的中点, ,故只需证故只需证ABAB= =CDCD. .而根据四边形而根据四边形ABCDABCD是平行四边形，便可得出是平行四边形，便可得出ABAB= =CDCD，问题得证，问题得证. . (2)①(2)①根据已知条件根据已知条件, ,初步得出四边形初步得出四边形AECFAECF是什么特殊四边形是什么特殊四边形? ?说明理由说明理由. .答答: :四边形四边形AECFAECF是是平行四边形平行四边形. .理由理由: :∵∵四边形四边形ABCDABCD是平行四边形是平行四边形, ,∴AB∥CD,∴AB∥CD,且且AB=CD.AB=CD.∵E,F∵E,F分别是分别是AB,CDAB,CD的中点的中点, ,∴∴AEAE= =CFCF. .又又AE∥CF,AE∥CF,∴∴四边形四边形AECFAECF是平行四边形是平行四边形. . ②②连结连结AC,AC,若若CA=CB,CA=CB,则则△△BCABCA有什么特点有什么特点?CE?CE和和ABAB有什么位置关系有什么位置关系? ?答答:△BCA:△BCA是是等腰三角形等腰三角形. .根据等腰三角形的性质根据等腰三角形的性质, , CE⊥ABCE⊥AB. .③③综上所述综上所述, ,四边形四边形AECFAECF是什么特殊四边形是什么特殊四边形? ?答答:∵:∵□□AECFAECF有一个角是有一个角是直角直角, ,∴∴四边形四边形AECFAECF是是矩形矩形. . 【【规律总结规律总结】】矩形的判定口诀矩形的判定口诀任意一个四边形任意一个四边形, ,三个直角成矩形；三个直角成矩形； 对角线等互平分对角线等互平分, ,四边形它四边形它是矩形是矩形. . 已知平行四边形已知平行四边形, ,一个直角叫矩形；两对角线若相等一个直角叫矩形；两对角线若相等, ,理所当然为矩形理所当然为矩形. . 【【跟踪训练跟踪训练】】1.1.平行四边形平行四边形ABCDABCD中中,AC,BD,AC,BD是两条对角线是两条对角线, ,如果添加一个条件如果添加一个条件, ,即可推出平行四边形即可推出平行四边形ABCDABCD是矩形是矩形, ,那么这个条件是那么这个条件是( )( )(A)AB=BC (B)AC=BD(A)AB=BC (B)AC=BD(C)AC⊥BD (D)AB⊥BD(C)AC⊥BD (D)AB⊥BD【【解析解析】】选选B.B.对角线相等的平行四边形是矩形对角线相等的平行四边形是矩形. . 2.2.如图如图,EB=EC,EA=ED,AD=BC,∠AEB=∠DEC.,EB=EC,EA=ED,AD=BC,∠AEB=∠DEC.证明证明: :四边形四边形ABCDABCD是矩形是矩形. . 【【证明证明】】∵EB=EC,∠AEB=∠DEC,EA=ED,∵EB=EC,∠AEB=∠DEC,EA=ED,∴△ABE≌△DCE,∴△ABE≌△DCE,∴AB=DC.∴AB=DC.又又∵∵AD=BC,AD=BC,∴∴四边形四边形ABCDABCD为平行四边形为平行四边形. .∵△ABE≌△DCE,∴∠ABE=∠DCE.∵△ABE≌△DCE,∴∠ABE=∠DCE.∵EB=EC,∴∠EBC=∠ECB,∵EB=EC,∴∠EBC=∠ECB,∴∠ABC=∠DCB.∴∠ABC=∠DCB.∵∠ABC+∠DCB=180∵∠ABC+∠DCB=180°°, ,∴∠ABC=∠DCB=90∴∠ABC=∠DCB=90°°, ,∴∴四边形四边形ABCDABCD是矩形是矩形. . 3.M3.M为平行四边形为平行四边形ABCDABCD的边的边ABAB的中点的中点, ,且且MD=MC,MD=MC,你能说明平行四你能说明平行四边形边形ABCDABCD一定为矩形吗一定为矩形吗? ?说明你的理由说明你的理由. . 【【解析解析】】平行四边形平行四边形ABCDABCD一定为矩形一定为矩形. .∵AM=BM,BC=AD,MD=MC,∵AM=BM,BC=AD,MD=MC,∴△MBC≌△MAD,∴△MBC≌△MAD,∴∠A=∠B.∴∠A=∠B.又又∵∵ABCDABCD为平行四边形为平行四边形,AD∥BC,,AD∥BC,∴∠A=∠B=90∴∠A=∠B=90°°, ,∴∴平行四边形平行四边形ABCDABCD为矩形为矩形. . 矩形的判定的应用矩形的判定的应用 【【例例2 2】】(10(10分分) )如图如图, ,在在△△ABCABC中中, ,点点O O是是ACAC边上边上( (端点除外端点除外) )的一个的一个动点动点, ,过点过点O O作直线作直线MN∥BC.MN∥BC.设设MNMN交交∠∠BCABCA的平分线于点的平分线于点E,E,交交∠∠BCABCA的外角平分线于点的外角平分线于点F,F,连接连接AE,AF.AE,AF.那么当点那么当点O O运动到何处时运动到何处时, ,四边四边形形AECFAECF是矩形是矩形? ?并证明你的结论并证明你的结论. . 【【规范解答规范解答】】当点当点O O运动到运动到ACAC的中点的中点( (或或OA=OC)OA=OC)时时, ,四边形四边形AECFAECF是矩形是矩形. .……………………………………………………………………………………2 2分分 证明证明:∵CE:∵CE平分平分∠∠BCA,BCA,∴∠1=∠∴∠1=∠2 2. .………………………………3 3分分又又∵∵MN∥BC,MN∥BC,∴∠1=∠∴∠1=∠3 3. .∴∠∴∠3 3=∠=∠2 2, ,∴EO=∴EO=COCO. .………………………………………………………………………………………………………………5 5分分同理同理,FO=,FO=COCO. .……………………………………………………………………………………………………6 6分分∴∴EO=EO=FOFO. .易错提醒易错提醒: :正确应正确应用角平分线和平行用角平分线和平行线得到等腰三角形线得到等腰三角形是解题关键是解题关键. . 又又OA=OC,OA=OC,∴∴四边形四边形AECFAECF是是平行四边形平行四边形. .………………………………………………………………7 7分分又又∵∠∵∠1=∠2,∠4=∠5,1=∠2,∠4=∠5,∴∠1+∠5=∴∠1+∠5=∠2+∠4∠2+∠4. .……………………………………………………………………………………8 8分分又又∵∠∵∠1+∠5+∠2+∠4=1+∠5+∠2+∠4=180180°°, ,∴∠2+∠4=∴∠2+∠4=9090°°. . …………………………………………………………………………………………9 9分分∴∴四边形四边形AECFAECF是矩形是矩形. .………………………………………………………………………………1010分分 【【规律总结规律总结】】矩形判定的两种思路矩形判定的两种思路(1)(1)依据条件依据条件, ,先证平行四边形先证平行四边形, ,再证有一个角是直角或对角线相再证有一个角是直角或对角线相等得矩形；等得矩形；(2)(2)依据条件依据条件, ,证三个角为直角得矩形证三个角为直角得矩形. . 【【跟踪训练跟踪训练】】4.4.在数学活动课上在数学活动课上, ,老师和同学们判断一个四边形门框是否为老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形矩形, ,下面是某合作学习小组的下面是某合作学习小组的4 4位同学拟定的方案位同学拟定的方案, ,其中正确其中正确的是的是( )( )(A)(A)测量对角线是否相互平分测量对角线是否相互平分(B)(B)测量两组对边是否分别相等测量两组对边是否分别相等(C)(C)测量一组对角是否都为直角测量一组对角是否都为直角(D)(D)测量其中三角是否都为直角测量其中三角是否都为直角 【【解析解析】】选选D.D.因为有三个角是直角的四边形是矩形因为有三个角是直角的四边形是矩形. .其余条件判其余条件判定矩形不充分定矩形不充分. . 5.5.如图如图, ,过平行四边形纸片的一个顶点作它的一条垂线段过平行四边形纸片的一个顶点作它的一条垂线段h,h,沿这沿这条垂线段剪下三角形纸片条垂线段剪下三角形纸片, ,将它平移到右边将它平移到右边, ,平移距离等于平行平移距离等于平行四边形的底边长四边形的底边长a.a.平移后的图形是矩形吗平移后的图形是矩形吗? ?为什么为什么? ?【【解析解析】】是矩形是矩形. .因为平移后的图形首先是个平行四边形因为平移后的图形首先是个平行四边形, ,又因又因为这个平行四边形的相邻的两边都垂直为这个平行四边形的相邻的两边都垂直, ,因此是个矩形因此是个矩形. . 1.1.已知已知□□ABCDABCD的对角线交于点的对角线交于点O,O,分别添加下列条件分别添加下列条件①∠①∠ABC=90°ABC=90°；；②②AC=BDAC=BD；；③③AB=BCAB=BC；；④④ACAC平分平分∠∠BAD.BAD.能判定能判定□□ABCDABCD为矩形的条件的序号是为矩形的条件的序号是( )( )(A)①② (B)②③④ (C)③④ (D)②③(A)①② (B)②③④ (C)③④ (D)②③【【解析解析】】选选A.A.有一个角为直角的平行四边形是矩形；对角线相有一个角为直角的平行四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形等的平行四边形是矩形, ,故选故选①②①②. . 2.2.甲、乙、丙、丁四位同学到木工厂参观时甲、乙、丙、丁四位同学到木工厂参观时, ,一木工师傅要他们一木工师傅要他们拿尺子帮助检测一个窗框是否是矩形拿尺子帮助检测一个窗框是否是矩形, ,他们各自做了如下检测他们各自做了如下检测. .检测后检测后, ,他们都说窗框是矩形他们都说窗框是矩形, ,你认为最有说服力的是你认为最有说服力的是( )( )(A)(A)甲量得窗框两组对边分别相等甲量得窗框两组对边分别相等(B)(B)乙量得窗框的对角线相等乙量得窗框的对角线相等(C)(C)丙量得窗框的一组邻边相等丙量得窗框的一组邻边相等(D)(D)丁量得窗框的两组对边分别相等且两条对角线相等丁量得窗框的两组对边分别相等且两条对角线相等 【【解析解析】】选选D.D.根据矩形的判定定理得根据矩形的判定定理得, ,选项选项A A、、B B、、C C都不能说明都不能说明窗框是矩形；由窗框是矩形；由““两组对边分别相等两组对边分别相等””得平行四边形得平行四边形, ,再由再由““两两条对角线相等条对角线相等””得平行四边形是矩形得平行四边形是矩形, ,所以选项所以选项D D正确正确, ,即丁测量即丁测量的对的对. . 3.3.延长等腰延长等腰△△ABCABC的腰的腰BABA到到D,CAD,CA到到E,E,分别使分别使AD=AB,AE=AC,AD=AB,AE=AC,则四边则四边形形BCDEBCDE是是______________，其判别根据是，其判别根据是________.________.【【解析解析】】由由AD=AB,AE=ACAD=AB,AE=AC且且AB=AC,AB=AC,得四边形得四边形BCDEBCDE是矩形，其依据是矩形，其依据是对角线互相平分且相等的四边形是矩形是对角线互相平分且相等的四边形是矩形. .答案：答案：矩形矩形 对角线互相平分且相等的四边形是矩形对角线互相平分且相等的四边形是矩形 4.(2012·4.(2012·毕节中考毕节中考) )我们把顺次连接四边形四条边的中点所得我们把顺次连接四边形四条边的中点所得的四边形叫中点四边形的四边形叫中点四边形, ,现有一个对角线分别为现有一个对角线分别为6 6和和8 8的菱形的菱形, ,它它的中点四边形的对角线长是的中点四边形的对角线长是_______._______. 【【解析解析】】如图如图, ,不妨令不妨令BD=6,AC=8,∵E,F,G,BD=6,AC=8,∵E,F,G,H H分别为各边的中点分别为各边的中点,∴EF∥GH∥AC,,∴EF∥GH∥AC,∵DB⊥AC,∴EF⊥EH,∴∵DB⊥AC,∴EF⊥EH,∴四边形四边形EFGHEFGH是矩形是矩形, ,答案：答案：5 5 5.(2012·5.(2012·枣庄中考枣庄中考) )已知已知: :如图如图, ,在四边形在四边形ABCDABCD中中,∠ABC=90°,CD⊥AD,AD,∠ABC=90°,CD⊥AD,AD2 2+CD+CD2 2=2AB=2AB2 2. .(1)(1)求证求证:AB=BC:AB=BC；；(2)(2)当当BE⊥ADBE⊥AD于于E E时时, ,试证明试证明:BE=AE+CD.:BE=AE+CD. 【【证明证明】】(1)(1)连结连结AC.AC.∵∠ABC=90∵∠ABC=90°°,∴AB,∴AB2 2+BC+BC2 2=AC=AC2 2. .∵CD⊥AD,∴AD∵CD⊥AD,∴AD2 2+CD+CD2 2=AC=AC2 2. .又又∵∵ADAD2 2+CD+CD2 2=2AB=2AB2 2，，∴∴ABAB2 2+BC+BC2 2=2AB=2AB2 2，，∴∴AB=BC.AB=BC. (2)(2)过过C C点作点作CF⊥BECF⊥BE于于F.F.∵BE⊥AD,∴∵BE⊥AD,∴四边形四边形CDEFCDEF是矩形是矩形. .∴CD=EF.∴CD=EF.∵∠ABE+∠BAE=90∵∠ABE+∠BAE=90°°,∠ABE+∠CBF=90,∠ABE+∠CBF=90°°, ,∴∠BAE=∠CBF,∴△BAE≌△CBF,∴∠BAE=∠CBF,∴△BAE≌△CBF,∴AE=BF,∴BE=BF+EF=AE+CD.∴AE=BF,∴BE=BF+EF=AE+CD. 。