高等流体力学高等流体力学6 Navier-Stokes方程的解2021/6/71 6 Navier-Stokes方程的解方程的解 由于Navier-Stokes方程含有非线性项，而数学上至今尚未找到求解非线性偏微分方程的普遍方法，所以Navier-Stokes方程无一般的精确解法但是，对一些物理现象简单的流体流动问题，能够获得Navier-Stokes方程的精确解 2021/6/72 6 Navier-Stokes方程的解方程的解 非线性是求解Navier-Stokes方程的主要困难所在，据此，可以将求Navier-Stokes方程精确解的问题分成两大类：2021/6/73 6 Navier-Stokes方程的解方程的解 ①根据流动问题的性质，可以使Navier-Stokes方程中的非非线线性性项项全全部部消消失失，控制流体流动的Navier-Stokes方程变变成成线线性性方方程程，于是便可以求出这一线性方程的精确解，这类问题通常是不可压缩流体流动，其流线形状(对于定常流动,是流体质点的迹线形状)事先易于假定；2021/6/74 6 Navier-Stokes方程的解方程的解 ②根据流动问题的性质，虽然保留有非线性项，但它的形式简单，Navier-Stokes方程成成为为简简单单的的非非线线性性偏偏微微分分方方程程，从而求得其精确解。
(例如：通过坐标的相似变换方法，将简单的非线性偏微分方程化为常微分方程，然后求得其精确解) 2021/6/75 6 Navier-Stokes方程的解方程的解 自1887年Navier-Stokes方程发表后，人们在很长一段时间中一直探索着Navier-Stokes方程的精确解然而，从20世纪50年代起，人们就不怎么热心于寻找Navier-Stokes方程的精确解了 主要原因有三个： 2021/6/76 6 Navier-Stokes方程的解方程的解 ①Navier-Stokes方程存在固有的非线性问题，使得数学求解十分困难； ②自1904年Prandtl提出边界层理论以后，许多粘性流体流动问题可以采用近似理论(例如边界层理论)来解决； ③随着大型电子计算机的出现和不断升级，使得Navier-Stokes方程的数值求解成为可能 2021/6/77 6 Navier-Stokes方程的解方程的解 讨论Navier-Stokes方程的精确求解，目的有： ①能使学习者对流体力学发展历程中的若干典型解法有所了解，以利于开阔解决流动问题的思路； ②能使学习者对一些粘性流体流动问题及其基本特性有所了解，或许有助于求解较为复杂的流动问题； ③有时可以用这些精确解来检验某种近似解法的准确性与适用性。
2021/6/78 6 Navier-Stokes方程的解方程的解 Navier-Stokes方程的精确解仅限于层流问题，湍流问题不可能有精确解 2021/6/79 6.1 平行流动平行流动 （一）、定常流动（一）、定常流动1、平行直线流动n两平行平板间流动（1）Couette流动，运动平板通过粘性拖曳（2）Poiseuille流动，压力梯度推动n充分发展的管道流动（1）圆管（Hagen-Poiseuille流）（2）椭圆管、矩形管、同心环空、偏心环空2、平行圆周流动两同轴旋转圆柱体间流动（二）、非定常流动（两平行平板间，平行直线流动）（二）、非定常流动（两平行平板间，平行直线流动）1、底部平板突然起动——突然起动平板STOKES第一问题2、底部平板简谐振动——振动平板STOKES第二问题2021/6/710 6.1 平行流动平行流动 不可压缩流体的平行流动是最简单的一类流动，它只有一个不为零的速度分量，所有流体质点都沿同一个方向运动在直角坐标系中，如果把流体运动方向取作x轴，那么，由连续性方程得即：运动速度u与坐标轴x无关， 2021/6/711 6.1 平行流动平行流动 为方便起见，忽略质量力，X＝Y＝Z＝0，将此代入N-S方程的y、z方向项： 得到 2021/6/712 6.1 平行流动平行流动 可见，压强与坐标轴y、z无关，只是坐标轴x的函数 将上述式子代入N-S方程的x方向项，得 这就是不可压缩流体平行流动的线形二阶偏微分方程。
2021/6/713 6.1.1 Couette(库埃特库埃特)剪切流剪切流 设有两无限大平行放置的平板，两板相距h下板固定，上板以向右的速度U作匀速直线运动，如下图所示取x轴与下板重合，y轴垂直于板面，z轴则垂直于纸面向外oUzxyhμ2021/6/714 6.1.1 Couette (库埃特库埃特)剪切流剪切流 按不可压缩流体的定常平行流动考虑因为平板无限宽，所以流体流动速度在z方向上的变化率为零，即 ， ，N-S方程的x方向项简化为 相应的边界条件为 y＝0，u＝0 y＝h，u＝U2021/6/715 6.1.1 Couette (库埃特库埃特)剪切流剪切流 方程的左侧项是坐标x的函数，而右侧项是坐标y的函数，则 只与y有关，与x无关同时满足这两方面要求，方程成立的条件就是 积分，得 有常数压强只能是x的函数,则 只与x有关,与y无关2021/6/716 6.1.1 Couette (库埃特库埃特)剪切流剪切流 由边界条件y＝0，u＝0，得C2＝0 y＝h，u＝U，得因此 无量纲速度式中： 无量纲压力梯度2021/6/717 6.1.1 Couette (库埃特库埃特)剪切流剪切流 流体通过某断面的单宽流量为 由此可以看出，上述流速分布由dp/dx＝0时的流速分布及U＝0, dp/dx≠0时的流速分布叠加而成。
下图给出了不同压强梯度(图中用不同的B表示)下的流速分布 2021/6/718 6.1.1 Couette (库埃特库埃特)剪切流剪切流 -0.200.20.40.60.81.01.21.4-0.40.20.40.60.81.0B＝-3-2-10123u/Uy/hCouette剪切流的速度分布 2021/6/719 6.1.1 Couette (库埃特库埃特)剪切流剪切流 ①当B＝0时， ，纯剪切流，为零压强梯度下的平行平板Couette剪切流，流速呈线性分布； ②当B>0时, ,流动称为顺压强梯度流动，压强沿流动方向逐渐降低，顺压梯度流动u>0 ， ， ； ③当B<0时, ,流动称为逆压强梯度流动，逆压强梯度流动有可能出现回流， ， ； 2021/6/720 ，流速曲线，，，在y=0处与y轴相切，为不产生回流时的极限压力梯度值，，下壁面附近流速为负，产生回流，上壁面对流体拖曳作用不足以克服逆压梯度对流动的影响④⑤⑥2021/6/721 6.1.1 Couette (库埃特库埃特)剪切流剪切流 ⑦当B=-3即时，Q＝0，逆压梯度对流动的回流作用与上板拖动形成的流量相平衡。
2021/6/722 6.1.2 Poiseuille(泊肃叶泊肃叶)流动流动 Poiseuille流动是指顺压梯度推动槽内、管内的不可压缩粘性流体流动 (1) 不可压缩粘性流体通过槽内的定常流动不可压缩粘性流体通过槽内的定常流动 xy2b u (y) u max oPoiseuille流动流动2021/6/723 6.1.2 Poiseuille流动流动 (1) 不可压缩粘性流体通过槽内的定常流动不可压缩粘性流体通过槽内的定常流动 上图为不可压缩粘性流体通过二维槽内的定常流动，z方向为无穷长流动的基本方程为相应的边界条件为 y＝b，u＝0 y＝-b，u＝0积分，得 2021/6/724 6.1.2 Poiseuille流动流动 (1) 不可压缩粘性流体通过槽内的定常流动不可压缩粘性流体通过槽内的定常流动 由边界条件y＝b，u＝0，得 y＝-b，u＝0，得解得 C1＝0；因此 2021/6/725 6.1.2 Poiseuille流动流动 (1) 不可压缩粘性流体通过槽内的定常流动不可压缩粘性流体通过槽内的定常流动 流速分布为抛物线型。
最大流速出现在两板中心处(y＝0) 单位宽度槽内流量为 断面平均流速为 2021/6/726 6.1.2 Poiseuille流动流动 (2) 充分发展的圆管层流流动充分发展的圆管层流流动 管道内部流动是N-S方程精确解中最具实际意义的流动之一由于粘性流体在管道入口的一段距离内存在着边界层发展的过程，流速在剖面上的分布是沿程变化的，下面只研究入口段以后充分发展了的管内层流流动 充分发展的圆管充分发展的圆管层流流动层流流动u (r) xrr0 o2021/6/727 6.1.2 Poiseuille流动流动 (2) 充分发展的圆管层流流动充分发展的圆管层流流动 采用圆柱坐标系(r,θ,x)，ur＝0，uθ＝0，只有x方向的流速ux＝u(r)不为零 由连续性方程 可得 2021/6/728 (2) 充分发展的圆管层流流动充分发展的圆管层流流动 2021/6/729 6.1.2 Poiseuille流动流动 (2) 充分发展的圆管层流流动充分发展的圆管层流流动 流动的N-S方程可写为 由上述可知，压强p只与x坐标有关而与(r, θ)坐标无关， p＝p(x)2021/6/730 6.1.2 Poiseuille流动流动 (2) 充分发展的圆管层流流动充分发展的圆管层流流动 这样便得 等式左侧项是坐标x的函数，而右侧项是坐标r的函数，由此可见dp/dx只能是一常数只能是一常数。
2021/6/731 6.1.2 Poiseuille流动流动 (2) 充分发展的圆管层流流动充分发展的圆管层流流动 积分，得 在圆管轴心处(r＝0)，由于du/dr≠，所以r·du/dr＝0，从而C1＝0再积分，得 利用边界条件：r＝r0，u＝0，得 2021/6/732 6.1.2 Poiseuille流动流动 (2) 充分发展的圆管层流流动充分发展的圆管层流流动 流速分布公式为 最大流速出现在管路中心处(r＝0) 管内流量为 2021/6/733 6.1.2 Poiseuille流动流动 (2) 充分发展的圆管层流流动充分发展的圆管层流流动 断面平均流速为 这就是不可压缩粘性流体圆管内充分发展层流的N-S方程精确解它只适用于圆管层流，即Re＝Vd/ν < 2000 2021/6/734 6.1.2 Poiseuille流动流动 (2) 充分发展的圆管层流流动充分发展的圆管层流流动 考虑水平放置的等径直圆管，Bernoulli方程可表示成沿程水头损失为而 2021/6/735 6.1.2 Poiseuille流动流动 (2) 充分发展的圆管层流流动充分发展的圆管层流流动 因此 或 其中： 2021/6/736 同轴旋转圆柱体间流动同轴旋转圆柱体间流动则连续性方程运动方程2021/6/737 对z取微分，考虑到 ，则有 ，圆周运动是平面平行运动， 对θ取微分，考虑到 ，则有 ， 与r无关故运动方程变为边界条件2021/6/738 运动方程n左端是r的函数n右端与r无关因此两端应等于同一常数两端应等于同一常数C(恒成立需满足的条件)积分2021/6/739 再积分由于则，，θ变化时，压力为多值函数，因此，运动方程变为：2021/6/740 根据边界条件确定积分常数2021/6/741 粘性流体层流运动近似解粘性流体层流运动近似解一、小雷诺数流动条件下的近似解一、小雷诺数流动条件下的近似解Re<<1，低雷诺数流动，缓慢流动n略去惯性项，保留粘性项，Stokes流（绕球流），Lamb流（绕柱流）n部分略去惯性项，保留粘性项，Oseen流，绕球流，n略去惯性项，部分略去粘性项，轴承润滑2021/6/742 时成立， 时，是NS方程的很好近似1、给出方程边界条件，求边值问题2、建立Stokes方程（线性）基本解，叠加，解决流动问题2021/6/743 二、大雷诺数流动条件下的近似解二、大雷诺数流动条件下的近似解Re>>1n外部，无粘流（理想流动）n内部，边界层流动2021/6/744 边界层厚度δ固体壁面向流域内移动一个δ后理想流体的流量、动量、能量速度边界层速度边界层2021/6/745 能量边界层能量边界层动量边界层动量边界层2021/6/746 6.2 运动平板引起的流动运动平板引起的流动 6.2.1 突然加速平板引起的流动 设有一无界(无限长、无限宽)平板，其上部的无限空间充满静止的不可压缩粘性流体，初始时刻(t＝0)平板与流体都处于静止状态。
某瞬时平板由静止突然加速，在自身平面内以速度U0作等速运动，并带动平板上部的流体运动 此流动问题由斯托克斯(Stokes)于1851年提出并给出解答，所以称为斯托克斯第一问题 2021/6/747 6.2.1 突然加速平板引起的流动突然加速平板引起的流动 在平板起动的瞬时，只有粘附在平板上的流体质点获得速度U0而与平板一起运动，流场其余部分仍处于静止状态随着时间的增加，平板上方的流体被逐层牵连而产生平行于无限大平板的运动xoyU0突然加速平板突然加速平板引起的流动引起的流动xoyU0t1t2t3t4t1< t2< t3< t4平板附近的流动平板附近的流动2021/6/748 6.2.1 突然加速平板引起的流动突然加速平板引起的流动 突然加速平板引起的流动可以看成平面二维流动：uz＝0，/z＝0；和平行流动：uy＝uz＝0 由平行流动的连续性方程，得 所以 ux＝u(y，t) 由于平板为无限大，在x方向为无限长，因此可以认为流动参数沿x方向不变，即/x＝0 2021/6/749 6.2.1 突然加速平板引起的流动突然加速平板引起的流动 对于压强p，有 而利用y方向的N-S方程，有 由此可知，在整个流动区域，压强p处处相等，为一常数。
p＝p＝Const. 2021/6/750 6.2.1 突然加速平板引起的流动突然加速平板引起的流动 x方向的N-S方程可表示为 这就是突然加速平板引起的非定常流动基本方程，N-S方程中的非线性项全部消失，控制流体流动的方程变成线性方程 该方程的定解条件为 初始条件：t＝0，u＝0 ( y≧0) 边界条件：y＝0，u＝U0 ( t >0) y，u＝0 ( t >0) 2021/6/751 6.2.1 突然加速平板引起的流动突然加速平板引起的流动 上述方程与有两个自变量(y，t)的经典热传导方程形式相同，数学上有不少方法可以用来求解这类方程，现采用相似变换法进行求解 引入无量纲自变量(相似变量)和无量纲速度 由此可得 2021/6/752 6.2.1 突然加速平板引起的流动突然加速平板引起的流动 x方向的N-S方程变为 或者 这样，偏微分方程变成了常微分方程。
上述方程的边界条件：＝0，f()＝1； ，f()＝0 2021/6/753 6.2.1 突然加速平板引起的流动突然加速平板引起的流动 积分上述常微分方程 再进行定积分 利用边界条件：＝0，f()＝1；，f()＝0，得2021/6/754 6.2.1 突然加速平板引起的流动突然加速平板引起的流动 因此得到无量纲速度函数 或者 上述式子中的积分之比称为误差函数(error function)，用erf()表示 2021/6/755 6.2.1 突然加速平板引起的流动突然加速平板引起的流动 由于存在如下极限 所以 流速分布可表示成1-erf()称为补偿误差函数，用erfc()表示 2021/6/756 6.2.1 突然加速平板引起的流动突然加速平板引起的流动 下图为无量纲速度分布曲线左图为u/U0随变化的一条曲线；右图绘出了u/U0随y变化的关系曲线，其在各个时刻的速度分布曲线不一样，是一簇曲线由此可见，通过相似变量把一簇曲线变成了一条曲线。
2021/6/757 6.2.1 突然加速平板引起的流动突然加速平板引起的流动 突然加速平板引起流动的无量纲速度分布突然加速平板引起流动的无量纲速度分布u/U000.20.40.60.81.00.40.81.21.62.02.42.83.23.64.0 t = 11/21/41/8yu/U000.20.40.60.81.00.20.40.60.81.01.21.41.61.82.02021/6/758 6.2.1 突然加速平板引起的流动突然加速平板引起的流动 分析右图可知，在距平板一定距离的某固定点上，流体速度是随时间增加而增加的，当时间t时，流体才和平板有相同的速度U0；在某固定时刻，流速是随距平板距离y呈误差函数规律而衰减的，在距板面无穷远处(y)流速降为零 从左图中可以看出，愈大，u/U0愈小，当＝2时，u/U0≈0，即u≈02021/6/759 6.2.1 突然加速平板引起的流动突然加速平板引起的流动 因此，可以认为粘性作用显著的区域仅限于板面附近，定量地认为，流体粘性作用仅局限在＝2的边界线以内，由此可得粘性影响的边界层厚度y 粘性影响的边界层厚度与运动粘性系数和时间之和的平方根成正比。
这一结果也表明，离开平板以外的地方，流体几乎不动了 2021/6/760 6.2.1 突然加速平板引起的流动突然加速平板引起的流动 平板璧面上的切应力 由于 2021/6/761 6.2.1 突然加速平板引起的流动突然加速平板引起的流动 平板面上的局部摩擦阻力系数(当地阻力系数)Cf为 若令 则有 由此可见，阻力系数Cf与雷诺数Re的平方根成反比 2021/6/762 6.2.2 周期性振动平板引起的流动周期性振动平板引起的流动 设有一无限平板在自身所在的平面内作简谐振动，通过粘性而带动周围原来处于静止的流体形成的流动，也称为斯托克斯第二问题振动平板引起的流动xoyU0 cosωt2021/6/763 6.2.2 周期性振动平板引起的流动周期性振动平板引起的流动 如上图所示，x轴位于平板上，y轴与平板壁面垂直振动平板引起的流动同样可以看成平面二维流动：uz＝0，/z＝0；和平行流动：uy＝uz＝0流体运动速度u(y，t)同样符合线性化的N-S方程相应的边界条件为：u(0，t)＝U0 cosωt (平板璧面上) u(∞，t)＝0 (无穷远处) 2021/6/764 6.2.2 周期性振动平板引起的流动周期性振动平板引起的流动 根据边界条件的形式，可以采用分离变量方法求解上述热传导方程，获得的速度分布为 式中： 为简谐振动的波数2021/6/765 6.2.2 周期性振动平板引起的流动周期性振动平板引起的流动 ①① 流体速度按指数衰减的简谐振动规律随时间t和坐标y而变化； ②② 流场的振动频率等于平板的振动频率ω； ③③ 振幅为U0exp(-ky)，且随y值的增加按指数规律衰减，在平板处(y＝0)，振幅为最大； ④④ 在与平板相距y处的流体层，其简谐振动相对于平板振动的相位滞后为ky； ⑤⑤ 振动的波长为 (即两速度相位相同的流体层间距，波长也称粘性波的穿透深度)。
2021/6/766 6.2.2 周期性振动平板引起的流动周期性振动平板引起的流动 tuU0oy＝0y＝y1ky1U0 exp(-ky1)速度分布随时间速度分布随时间t的变化规律的变化规律2021/6/767 6.2.2 周期性振动平板引起的流动周期性振动平板引起的流动 yuoU0u(t1)u(t2)U0 exp(ky)速度分布随坐标y的变化规律2021/6/768 6.2.2 周期性振动平板引起的流动周期性振动平板引起的流动 知道了流速分布，便可求得平板的壁面切应力 2021/6/769 部分资料从网络收集整理而来，供大家参考，感谢您的关注！ 。