第二章,收敛准则,第四节,极限存在准则,,单调有界原理,夹逼准则,二、致密性定理,一、 闭区间套定理,三、Cauchy收敛原理,四、实数系基本定理,定义：,若数列,满足,则称数列,为单调递减(增)数列定理：,单调有界数列必有极限证：,不妨设,单调递增且有界，,则,有上确界，,则对,使得,又数列单调增，,有,,,,,,即数列,收敛，,且有,例 设,证:,显然,证明下述数列有极限 .,即,单调增,,又,存在,“拆项相消” 法,,,大,,,大,,正,又,比较可知,根据准则 2 可知数列,有极限 .,又,记此极限为 e ,,即,e 为无理数 , 其值为,此极限重要，可用其求很多 类型极限例,求下列极限：,答案:,例 设,证明此数列收敛，,并求此数列极限解：,由已知可知,且当,时有,又,即当,时,具有相同符号，,从而数列单调有界则对等式,两边取极限并记,解得方程的根为,由,舍去负值可得,例,证明此数列收敛，,并求此数列极限解：,由数学归纳法可得对一切正整数n有,即数列单调减少有下界，故收敛设极限为a，对已知等式两边取极限得,解得a=0.,于是得到,关于数e的一些注记,注：,证明：,由Riemann的证明知：,数列,以3为上界。
又此数列严格单调增，,故此数列必有极限，记为s可知有：,再固定任意自然数m，令nm，有,令,可得：,再由m的任意性可知有,因此有s=e. 即,上式也称为e的无穷级数展开式注：,则有,证明：,则当,时分子分母都趋于0，,此时可利用,型Stolz定理有：,由此可知所求极限为1数e的引入和研究是一个重要范例，这说明通过极限,理论可以发现新的数不过由于这些数是通过极限,定义的，,因此研究起来并不容易例如：,虽然现在已经可以证明e和都是无理数，,但迄今为止还没有能证明e +是无理数通过极限定义的数还有Euler常数,Euler常数,证明数列,收敛，,其中,提示：,利用不等式,此不等式可由,取自然对数得到证明：,即数列单调减再由,不等式两边相加后有,即有,因此数列单调下降且有下界，,故必有极限此极限称为Euler常数，,记为,目前一个悬而未决的问题是Euler常数是否无理数？,也有人称Euler常数是“最大的谜”设一闭区间套列,满足,,则存在唯一实数,属于所有闭区间且,证:,由条件 (1) ,,单调增有上界，,单调减有下界，,故,都收敛设,则有,由于,是,的上确界，,的下确界，,故有,属于所有闭区间。
即,一、 闭区间套定理,属于所有闭区间，,则也有,由夹逼定理有,即闭区间内公共点是唯一的注：,将定理中闭区间改为开区间，定理不成立例如：,推论：,对闭区间套,内公共点,有：,若另有实数,定义：,设,是数列，,是正整数集的无限子集，,且,则数列,称为数列,的一个子列注意：,1.,的子列,的各项都选自,2. 子列中各项顺序与原数列中顺序一致定理： 数列收敛的充要条件是任一子数列收敛 .,证: 必要性： 设数列,是数列,的任一子数列 .,若,则,当,时, 有,现取正整数 K , 使,于是当,时, 有,从而有,由此证明,,,,,,*********************,,,充分性：,取数列自身为子列即可例 证明数列,发散证：,取偶数项构成子列,易知其极限为1取奇数项构成子列,易知其极限为1/3即该数列存在两个不收敛于同一极限的子列，,故该数列发散有界数列必有收敛子列证明：,设数列,有界，则,(1). 若数列中有无穷多个相等的项，,则由这些项,可构成一收敛的常数列2). 若数列中不含无穷多个相等的项，,由数列有界，,Bolzano-Weierstrass定理：,属于实数使得,如下构造闭区间套：,根据闭区间套定理，,存在实数,满足,现在,选取,某一项记为,再在,选取,某一项记为,依次进行下去得,的一个子列,满足,由,根据夹逼定理有：,即有界数列必有收敛子列。
推论：,若,是一个无界数列，,则存在子列,使得：,注：,Bolzano-Weierstrass定理也称致密性定理柯西收敛原理,数列,极限存在的充要条件是:,存在正整数 N ,,使当,时,,证: “必要性”.,设,则,时, 有,使当,因此,有,“充分性”.,先证,有界由题设，,令,则对一切n有,则由致密性定理，,在,中有收敛子列：,即,又,令k充分大满足,则此时有,即,极限存在注：一般将满足Cauchy收敛原理条件的数列称为,基本数列因此Cauchy收敛原理又可写成：,数列,收敛的充要条件是,是基本数列例,设数列,满足压缩性条件,则,收敛证：,由于对一切n，有,设mn，有,从而,是基本数列，,故数列收敛例,设,证明,收敛证：,由,,,故此数列亦为基,本数列，,因此数,列收敛例 设数列,证明此数列收敛证：,由数列,使得,所以对,即数列收敛,注：,由实数构成的收敛数列必有实数极限，,这一性质,称为实数的完备性实数系基本定理,确界存在定理,,单调有界数列收敛定理,,闭区间套引理,,致密性定理,,柯西收敛原理,,实数系的连续性,,实数系的完备性,,,？,定理：实数系的完备性等价于连续性证：,第一步:柯西收敛原理,,闭区间套定理,设,是一列闭区间且满足,(i),(ii),设mn,有,即数列,满足柯西收敛原理，,从而有,由此有,又由,单调增，,而,单调减，,可知,是属于所有闭,区间,的唯一实数。
即闭区间套定理成立第二步:闭区间套定理,,确界存在定理,设S是非空有上界数集，,T是S所有上界组成集合现证T含最小数，即S有上确界取,如下构造闭区间套：,这样得到一闭区间套,满足,由闭区间套定理知：,存在唯一实数,属于所有闭区间,且有,现证,就是S的上确界若,即,不是S的上界，,又由,有，,当n充分大时成立,这与,矛盾，,故,又若,则由,当n充分大时,又由,这与,矛盾，,注：,以上五个定理等价，即从任何一个可推出其他定理，,故五个定理中的每一个都可称为实数系基本定理内容小结,1. 极限存在准则II:,单调有界数列必有极限2. 一个重要极限：,1. 闭区间套定理2. 致密性定理(Bolzano-Weiestrass定理)3.Cauchy收敛原理4.实数系基本定理作业 P68 1(4)(5), 2(4), 4, 10, 13,例 设,证明数列,极限存在 .,证1: (Riemann)利用二项式公式 , 有,,,大,,,大,,正,又,比较可知,根据准则 2 可知数列,有极限 .,又,证2: 利用平均值不等式 , 有,即数列,单调增再利用平均值不等式，,即数列,单调减，,以每一个,为下界数列,以每一个,为上界。
根据准则 2 可知数列,有极限 .,引入新数列,证3: (利用Bernoulli不等式),注意到Bernoulli不等式,(x-1, n为正整数),有,继续变形得,由,利用Bernoulli不等式,即数列单调递增为证数列,上方有界，,与证2类似，引入新数列,同样可证新数列单调减即数列,单调减，,从而有对任意n,由此知数列,有极限证4：先证对,和正整数n有不等式：,事实上,此不等式又可变形为：,我们取,则恰好有,即数列单调递增再取,则有,即,由此知数列,有极限记此极限为 e ,,即,e 为无理数 , 其值为,注：对上注中,成立不等式,证明：,由,可知,又由,注： e是无理数(Euler),证明：,反证法设e是有理数，,则可写为,这里p,q是互质的自然数于是有,则,一定是,的整数倍但由上注知,这是不可能的，,故e是无理数。