新课标三维人教A版数学选修4-3 本讲知识归纳与达标验收

对应学生用书 P27考情分析从近两年的高考试题来看，不等式的证明主要考查比较法与综合法，而比较法多用作差比较，综合法主要涉及基本不等式与不等式的性质，题目难度不大，属中档题．在证明不等式时，要依据命题提供的信息选择合适的方法与技巧进行证明．如果已知条件与待证结论之间的联系不明显，可考虑用分析法；如果待证的命题以“至少” “至多”“恒成立”等方式给出，可考虑用反证法．在必要的情况下，可能还需要使用换元法、放缩法、构造法等技巧简化对问题的表述和证明．真题体验1．(福建高考)设不等式|2x－1|＜1 的解集为 M.①求集合 M；②若 a，b∈M，试比较 ab＋1 与 a＋b 的大小．解：①由|2x－1|＜1 得－1＜2x－1＜1，解得 0＜x＜1，所以 M＝{x|0＜x＜1}．②由①和 a，b∈M 可知 0＜a＜1,0＜b＜1.所以(ab＋1)－(a＋b)＝(a－1)(b－1)＞0，故 ab＋1＞a＋b.2．(辽宁高考)设 f(x)＝ln x＋－1，证明：x(1)当 x>1 时，f(x)1 时，g′(x)＝ ＋－ 1 时，21 时，f(x)b>0.求证：－b>0.上式显然成立，∴原不等式成立．即－90°，D 是 BC 的中点，求证：AD BC，因为 BD＝DC＝ BC，1212所以在△ABD 中，AD>BD，从而∠B>∠BAD.同理∠C>∠CAD.所以∠B＋∠C>∠BAD＋∠CAD.即∠B＋∠C>∠A.因为∠B＋∠C＝180°－∠A，所以 180°－∠A>∠A 即∠A＜90°，与已知矛盾，故 AD＞ BC 不成立．12由(1)(2)知 AD＜ BC 成立.12放缩法证明不等式放缩法是在顺推法逻辑推理过程中，有时利用不等式关系的传递性，作适当的放大或缩小，证明比原不等式更强的不等式来代替原不等式的一种证明方法．放缩法的实质是非等价转化，放缩没有一定的准则和程序，需按题意适当放缩，否则达不到目的．[例 5] 已知|x| ”时，假设的内容应是( )3a3bA.＝ B.，＝，的反设应为3a3b3a3b3a3b3a3b3a3b＝或Q B．P≥QC．P0.∴P>Q.a＋ba－b2ab答案：A8．已知 a，b 为非零实数，则使不等式： ＋ ≤－2 成立的一个充分而不必要条件是( )abbaA．ab＞0 B．ab＜0C．a＞0，b＜0 D．a＞0，b＞0解析：因为 与 同号，由 ＋ ≤－2，知 ＜0， ＜0，即 ab＜0，又若 ab＜0，则abbaabbaabba＜0， ＜0，abba所以 ＋abba＝－[(－ab)＋(－ba)]≤－2 ＝－2，(－ab)·(－ba)综上，ab＜0 是 ＋ ≤－2 成立的充要条件，abba所以 a＞0，b＜0 是 ＋ ≤－2 成立的一个充分而不必要条件．abba答案：C9．如果 loga3>logb3，且 a＋b＝1，那么( )A．00，b>0，又 a＋b＝1，故 alogb3⇒－>0⇒>0，1log3a1log3blog3b－log3alog3a·log3b由 00，∴log3b－log3a>0，log3b>log3a.故 b>a.答案：A10．若 a>b>0，下列各式中恒成立的是( )A.> B.>2a＋ba＋2babb2＋1a2＋1b2a2C．a＋ >b＋ D．aa>bb1a1b解析：利用不等式性质得，当 a>b>0 时， b 时，可知 aaa＋b，则实数 a，b 应该满足的条件是________．abba解析：由知 a≥0，知 b≥0，而 a＋b≠a＋b，知 b≠a.此时 a＋b－(aababbaab＋b)＝(－)2(＋)>0，不等式成立．baabab答案：a≥0，b≥0，a≠b13．记 A＝＋＋＋…＋，则 A 与 1 的大小关系为________．12101210＋11210＋21211－1解析：∵211－1＝210＋(210－1)，∴A 是 210项之和．∵A＝＋＋＋…＋＜＋＋…＋＝×210＝1.12101210＋11210＋21211－11210121012101210答案：A<114．已知 a＞1，alg b＝100，则 lg(ab)的最小值是________．解析：对 alg b＝100 两边取常用对数得 lg alg b＝2，∵lg alg b≤2＝2，(lg a＋lg b2)[lgab2]∴lg(ab)≥2.2当且仅当 lg a＝lg b＝时，等号成立．2答案：22三、解答题(本大题共 4 个小题，满分 50 分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分 12 分)设|a|＜1，|b|＜1，求证：|a＋b|＋|a－b|＜2.证明：当 a＋b 与 a－b 同号时，|a＋b|＋|a－b|＝|a＋b＋a－b|＝2|a|＜2；当 a＋b 与 a－b 异号时，|a＋b|＋|a－b|＝|a＋b－(a－b)|＝2|b|＜2.∴|a＋b|＋|a－b|＜2.16．(本小题满分 12 分)求证：≥3.2a2＋132＋1a2＋1证明：＝2＋2a2＋132＋1a2＋1a2＋11a2＋1＝＋＋≥3＝3.a2＋1a2＋11a2＋13a2＋12·1a2＋117．(本小题满分 12 分)已知 a2＋b2＋c2＝1，求证：－ ≤ab＋bc＋ca≤1.12证明：因为(a＋b＋c)2≥0，所以 a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥0.又因为 a2＋b2＋c2＝1，所以 ab＋bc＋ca≥－ .12因为 ab≤，bc≤，ac≤，a2＋b22b2＋c22a2＋c22所以 ab＋bc＋ca≤＋＋a2＋b22b2＋c22a2＋c22＝a2＋b2＋c2＝1.所以－ ≤ab＋bc＋ca≤1.1218．(本小题满分 14 分)设二次函数 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0) 中的 a，b，c 均为整数，且 f(0)，f(1)均为奇数．求证：方程 f(x)＝0 无整数根．证明：假设方程 f(x)＝0 有一个整数根 k，则 ak2＋bk＋c＝0.①∵f(0)＝c，f(1)＝a＋b＋c 均为奇数，则 a＋b 必为偶数．当 k 为偶数时，令 k＝2n(n∈Z)，则ak2＋bk＝4n2a＋2nb＝2n(2na＋b)必为偶数．ak2＋bk＋c 必为奇数，与①式矛盾；当 k 为奇数时，令 k＝2n＋1(n∈Z)，则 ak2＋bk＝(2n＋1)(2na＋a＋b)为一奇数与一偶数之积，必为偶数，也与①式相矛盾，所以假设不正确，即方程 f(x)＝0 无整数根．。