福建师范大学21秋《近世代数》平时作业一参考答案1. 一厂商经营两个工厂，生产同一种产品在同一市场销售，两个工厂的成本函数分别为 C1＝3Q12＋2Q1＋6，一厂商经营两个工厂，生产同一种产品在同一市场销售，两个工厂的成本函数分别为 C1＝3Q12＋2Q1＋6， C2＝2Q22＋2Q2＋4 而价格函数为 P＝74－6Q，Q＝Q1＋Q2 厂商追求最大利润．试确定每个工厂的产出．正确答案：厂商的收益函数为 R＝PQ＝74Q－6Q2＝74(Q1＋Q2)－6(Q1＋Q2)2\r\n 利润函数为 L＝R－C1－C2＝72Q1＋72Q2－9Q12－8Q22－12Q1Q2－10\r\n 由极值存在的必要条件和充分条件可求得每个工厂的产出分别为Q1＝2Q2＝3时厂商的利润最大．厂商的收益函数为R＝PQ＝74Q－6Q2＝74(Q1＋Q2)－6(Q1＋Q2)2利润函数为L＝R－C1－C2＝72Q1＋72Q2－9Q12－8Q22－12Q1Q2－10由极值存在的必要条件和充分条件可求得,每个工厂的产出分别为Q1＝2,Q2＝3时,厂商的利润最大．2. 列出多重集S={2·a，1·b，3·c}的所有3-组合和4-组合。
列出多重集S={2·a，1·b，3·c}的所有3-组合和4-组合3-组合包括：{2·a，1·b}，{2·a，1·c}，{1·a，1·b，1·c}，{1·a，2·c}，{1·b，2·c}，{3·c} 4-组合包括：{2·a，1·b，1·c}，{2·a，2·c}，{1·b，3·c}，{1·a，1·b，2·c}，{1·a，3·c} 3. 如果一个n(n＞1)阶行列式中元素均为+1或-1，则行列式的值是否一定为偶数?如果一个n(n＞1)阶行列式中元素均为+1或-1，则行列式的值是否一定为偶数?正确答案：一定根据行列式的性质若将该行列式的任意一行加到另外一行对应元素上去得到的行列式中一定有一行元素全为偶数(零也是偶数)则该行元素可提出公因子2剩下的行列式元素都是整数其值也是整数乘以2后必定是偶数故行列式的值一定为偶数根据行列式的性质,若将该行列式的任意一行加到另外一行对应元素上去,得到的行列式中一定有一行元素全为偶数(零也是偶数),则该行元素可提出公因子2,剩下的行列式元素都是整数,其值也是整数,乘以2后必定是偶数,故行列式的值一定为偶数4. 某林区现有木材10万米3，如果在每一瞬时木材的变化率与当时的木材数成正比，假设10年内该林区有木某林区现有木材10万米3，如果在每一瞬时木材的变化率与当时的木材数成正比，假设10年内该林区有木材20万米3，试确定木材数P与时间t的关系．正确答案：5. 已知连续型随机变量X的概率密度为 则概率P{-1＜X＜1)=______．已知连续型随机变量X的概率密度为 则概率P{-1＜X＜1)=______．1-e-1≈0.6321根据计算概率公式，因此概率 P{-1＜X＜1} =1-e-1≈0.6321 于是应将“1-e-1≈0.6321”直接填在空内． 6. 曲线y=x2与x=y2所围图形绕x轴旋转所得的旋转体的体积为______。
曲线y=x2与x=y2所围图形绕x轴旋转所得的旋转体的体积为______7. 在一批灯泡中作寿命试验，其结果如下表： 寿命(t) [0，100] [100，200] [200，300] [300，+∞]在一批灯泡中作寿命试验，其结果如下表：寿命(t)[0，100][100，200][200，300][300，+∞]个数121734358 在α=0.05下，检验假设H0:灯泡寿命服从指数分布待检假设H0：X～f(x)，当H0为真时，可算得 查表得 由n=300，p1=0.394，p2=0.239，p3=0.145，p4=0.222，列χ2检验计算表如下表所示： 区间 fi pi npi fi-npi frac{(f_{i}-np_{i})^2}{np_{i}} [0，100) 121 0.394 118.2 2.8 0.0663 [100，200) 78 0.239 71.7 6.3 0.553 [200，300) 43 0.145 43.5 -0.5 0.006 [300，+∞) 58 0.222 66.6 -8.6 1.111 算得 经比较知χ2=1.736＜，故接受H0，认为灯泡寿命服从指数分布． 8. 设f(x)的导数在x=a处连续，且，则______． (A)x=a是f(x)的极小值点 (B)x=a是f(x)的极大值点 (C)(a，f(a))是设f(x)的导数在x=a处连续，且，则______． (A)x=a是f(x)的极小值点 (B)x=a是f(x)的极大值点 (C)(a，f(a))是曲线y=f(x)的拐点 (D)x=a不是f(x)的极值点，(a，f(a))也不是曲线y=f(x)的拐点B由知， 又因为f'(x)在x=a处连续，则有 f'(a)=f'(x)=0，x=a为驻点． 又 由极值的第二充分条件知，f(x)在x=a处取得极大值． 故应选(B)． 9. 两个不共心的射影对应的线束，对应直线的交点全体是__________。
两个不共心的射影对应的线束，对应直线的交点全体是__________参考答案：一条二次曲线10. 试对《九章算术》思想方法的一个特点"算法化的内容"加以说明试对《九章算术》思想方法的一个特点"算法化的内容"加以说明参考答案《九章算术》在每一章内都先列举若干实际问题，并对每个问题给出答案，然后再给出\"术\"，作为一类问题的共同解法;以后遇到同类问题，只要按\"术\"给出的程序去做就一定能求出问题的答案;书中的\"术\"其实就是算法11. 设矩阵Am×n经初等行变换变成了矩阵Bm×n，证明：A的由第j1，j2，…，jr列组成的向量组与.B的由第j1，j2，…，jr列组成设矩阵Am×n经初等行变换变成了矩阵Bm×n，证明：A的由第j1，j2，…，jr列组成的向量组与.B的由第j1，j2，…，jr列组成的向量组有相同的线性相关性.证 由A与B行等价知存在可逆方阵P，使得PA=B.设A，B按列分块分别为 A=[α1 α2…αn]，B=[β1 β2…βn] 则PA=B可写成 [Pα1 Pα2…Pαn]=[β1 β2…βn] 即Pαj=βj (j=1，2，…，n) (3-37) 设有一组数x1，x2，…，xr，使得 (3-38) 用矩阵P左乘上式两端，并利用(3-37)式，得 (3-39) 反过来，若有x1，x2，…，xr使(3-39)式成立，用P-1左乘(3-39)式两端，并利用P-1βj=αj，便得(3-38)式成立.故关于x1，x2，…，xr的两个齐次线性方程组(3-38)与(3-39)是同解的，当它们只有零解时，向量组和向量组都线性无关；当它们存在非零解时，向量组和向量组都线性相关，且如果有常数k1，…，ki-1，ki+1，…，kr，使，则对应地有.所以向量组与向量组有相同的线性相关性.本题证明了：矩阵的初等行变换不改变矩阵列向量之间的线性相关性.由此可知，若A与B行等价，则为B的列向量组的极大无关组为A的列向量组的极大无关组. 12. 设函数，若f(x)在(-∞，+∞)内连续，求a、b的值．设函数，若f(x)在(-∞，+∞)内连续，求a、b的值．a=1，b=213. 设z=f(x，y)在点(0，0)处连续，且，试讨论f(x，y)在(0，0)点的极值。
设z=f(x，y)在点(0，0)处连续，且，试讨论f(x，y)在(0，0)点的极值由知，其中 则 f(x，y) =xy+(x2+y2)2+α(x，y)(x2+y2)2， 在f(x，y)=xy+(x2+y2)2+α(x，y)(x2+y2)2中令y=x得f(x，x)=x2+4x4+4x4α(x，y)=x2+o(x2)， 令y=-x得f(x，-x)=-x2+4x4+4x4α(x，-x)=-x2+o(x2) 由以上两式可知f(x，y)在(0，0)点的任何去心邻域内始终可正可负，而f(0，0)=0，由极值的定义知(0，0)点不是f(x，y)的极值点 14. 试证明： 设{fk(x)}是E上非负可积函数列，且fk(x)在E上几乎处处收敛于f(x)≡0．若有 (k=1,2,…), 则．试证明： 设{fk(x)}是E上非负可积函数列，且fk(x)在E上几乎处处收敛于f(x)≡0．若有 (k=1,2,…), 则．[证明] 令Fk(x)=max{f1(x)，f2(x)，…，fk(x)}，我们有0≤F(x)≤Fk+1(x)(k∈N)．若记Fk(x)→F(x)(k→∞)，则 ，F∈L(E). 从而得 . 15. 设有向图D=(V，E)，V={1，2，3，4}，E={(1，2)，(1，4)，(4，3)，(2，4)，(3，4)}，问D是什么样的连通图?设有向图D=(V，E)，V={1，2，3，4}，E={(1，2)，(1，4)，(4，3)，(2，4)，(3，4)}，问D是什么样的连通图?是单向连通图．16. 集合A={1，2，3，4}，下列*运算，哪些代数系统(A，*)是群?集合A={1，2，3，4}，下列*运算，哪些代数系统(A，*)是群?不是群。
因为普通加法对于A是不封闭的因为A=N5-{0}，5是素数所以(A，)是群因为*不是封闭运算，也不是可结合运算17. 求∫x2e1-2x3dx求∫x2e1-2x3dx 18. 求微分方程满足初始条件y|x=1=0的特解求微分方程满足初始条件y|x=1=0的特解原方程是关于函数y=y(x)的一阶线性非齐次方程，其中，，由一阶线性非齐次方程的通解公式 及 ， 得原方程的通解为 y=e-lnx(C+lnx)，即 将条件y|x=1=0代入通解，得C=0，故所求的特解为 19. 一汽车保险公司分析一组(250人)签约的客户中的赔付情况．据历史数据分析，在未来的一周中一组客户中至少提出一汽车保险公司分析一组(250人)签约的客户中的赔付情况．据历史数据分析，在未来的一周中一组客户中至少提出一项索赔的客户数X占10%．写出X的分布，并求X＞250×0.12(即X＞30)的概率．设各客户是否提出索赔相互独立．按题意知X～b(250，0.10)．现在需要求 即需求 由拉普拉斯定理得 20. 设函数f(x)可导，且f&39;(3)=2，求设函数f(x)可导，且f'(3)=2，求 21. 设f(x)在[0，1]上连续，取正值且。