第二章 函数性质与基本初等函数 专题4 函数的对称性讲义[高考要求]1.能通过平移，分析得出一般的轴对称和中心对称公式和推论；2.会利用对称公式解决问题．[知识总结]1．奇函数、偶函数的对称性(1)奇函数关于原点对称，偶函数关于y轴对称．(2)若f(x＋a)是偶函数，则f(x)关于直线x＝a对称；若f(x＋a)是奇函数，则f(x)关于点(a，0)对称．2.轴对称(1)如果f(x＋a)＝f(b－x)⇔y＝f(x)关于直线x＝a+b2对称．(2)若y＝f(x)关于直线x＝a对称⇔f(a＋x)＝f(a－x)⇔f(2a－x)＝f(x)⇔(2a＋x)＝f(－x)3.函数的点对称(1)若y＝f(x)关于点(a，b)对称 ⇔ f(a＋x)＋f(a－x)＝2b ⇔ f(2a－x)+f(x)=2b ⇔ f(2a＋x)+f(－x)=2b推论：若y＝f(x)关于点(a，0)对称 ⇔ f(a＋x)＝－f(a－x) ⇔ f(2a－x)＝－f(x) ⇔ f(2a＋x)＝－f(－x)4．两个函数图象的对称(1)函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于y轴对称；(2)函数y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于x轴对称；(3)函数y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于原点对称．(4)若f(x)与g(x)关于直线x=a对称，则g(x)=f(2a−x)；(5)若f(x)与g(x)关于点P(a,b)对称，则g(x)=2b−f(2a−x)；[课前自测]1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)(1)若函数y＝f(x)是奇函数，则函数y＝f(x－1)的图象关于点(1,0)对称．( √ )(2)若函数y＝f(x＋1)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称．( √ )(3)函数y＝5x与y＝5－x的图象关于x轴对称．( × )(4)若函数f(x)满足f(2＋x)＝f(2－x)，则f(x)的图象关于直线x＝2对称．( √ )2．函数f(x)＝的图象的对称中心为( )A．(0,0) B．(0,1) C．(1,0) D．(1,1)答案 B解析 因为f(x)＝＝1＋，由y＝的图象向上平移一个单位长度得到y＝1＋的图象，又y＝的图象关于点(0,0)对称，所以f(x)＝1＋的图象关于点(0,1)对称．3．已知定义在R上的函数f(x)在(－∞，2)上单调递增，且f(x＋2)＝f(2－x)对任意x∈R恒成立，则( )A．f(－1)f(3) C．f(－1)＝f(3) D．f(0)＝f(3)答案 A解析 因为f(x＋2)＝f(2－x)，所以f(x)的图象关于直线x＝2对称，所以f(3)＝f(1)，由于f(x)在(－∞，2)上单调递增，所以f(－1)f(－1)的解集为________．答案 (－1,1)解析 ∵f(x＋2)是偶函数，∴f(x＋2)的图象关于直线x＝0对称，∴f(x)的图象关于直线x＝2对称，又f(x)在[2，＋∞)上单调递减，∴f(x)在(－∞，2]上单调递增．又－x2，－1∈(－∞，2]，f(－x2)>f(－1)，∴－x2>－1，即x2<1，∴－12－2x，即x2＋x－2>0，解得x<－2或x>1，所以x的取值范围为(－∞，－2)∪(1，＋∞)．(2)已知定义域为R的函数f(x)的图象关于点(1,0)对称，且当x≥1时，f(x)＝x2＋mx＋n，若f(－1)＝－7，则3m＋n等于( )A．7 B．2 C．－2 D．－答案 C解析 因为定义域为R的函数f(x)的图象关于点(1,0)对称，且当x≥1时，f(x)＝x2＋mx＋n，若f(－1)＝－7，则f(3)＝－f(－1)＝7；故f(3)＝32＋3m＋n＝7，即3m＋n＝－2.考点三 两个函数图象的对称例3 已知函数y＝f(x)是定义域为R的函数，则函数y＝f(x＋2)与y＝f(4－x)的图象( )A．关于直线x＝1对称 B．关于直线x＝3对称 C．关于直线y＝3对称 D．关于点(3,0)对称答案 A解析 设P(x0，y0)为y＝f(x＋2)图象上任意一点，则y0＝f(x0＋2)＝f(4－(2－x0))，所以点Q(2－x0，y0)在函数y＝f(4－x)的图象上，而点P(x0，y0)与点Q(2－x0，y0)关于直线x＝1对称，所以函数y＝f(x＋2)与y＝f(4－x)的图象关于直线x＝1对称．思维升华 函数y＝f(a＋x)的图象与函数y＝f(b－x)的图象关于直线x＝对称．对点训练3 下列函数与y＝ex的图象关于直线x＝1对称的是( )A．y＝ex－1 B．y＝e1－x C．y＝e2－x D．y＝ln x答案 C解析 与f(x)＝ex的图象关于直线x＝1对称的是f(2－x)＝e2－x，即y＝e2－x.第 4 页 共 4 页学科网（北京）股份有限公司。