VIII:气体动力学第八讲,线化方法：纪念钱学森先生九十寿辰 2001年11月19日 星期二 上午9：50中午12：15 明理楼422,钱学森简况,1911年12月11日出生于上海，3岁到北京 1929年中学毕业，考入上海交大机械工程系，1930年因病休学一年 1934年上海交大机械系铁道工程专业毕业 19341935考取清华大学留美资格(飞机设计)并在杭州飞机厂实习，1935年到MIT. 1936年转学加州理工学院航空系（从师于Von Karman） 1939年获得航空、数学博士学位(高速气动力学问题)，在加州理工学院任助理教授，出师第1篇论文为薄壳体稳定性理论(1940年),钱学森简况续,1942年，参与美国机密工作(火箭技术等) 1946年，其导师von Karman与加州理工学院出现关系问题辞职钱学森也离开，到MIT任副教授(空气动力学). 1947年，钱学森36岁成为MIT正教授 1949年秋回加州理工学院任喷气推进技术正教授，同年接到召唤其回国的信件 1950年7月被取消参加机密研究的资格，准备回国时，被拘留保释后被监视5年之久(1955年6月表达需要祖国帮助愿望) 1954年在美国发表工程控制论专著,钱学森学术成就,应用力学：A空气动力学，B固体力学 喷气推进 工程控制论 物理力学 工程科学 其它(化学流体力学等),内容提要,基本原理 定常势流基本方程 速度图法 卡门钱学森方法 小扰动线化方法 线化方法的求解,,内容提要,VIII-1:基本原理,气体动力学基本方程为非线性方程，一般情况下无法求解。
特殊情况下存在特征线方法；某些情况下可以将方程线化，线化方程的求解有许多成熟的方法 方法一：速度图法将物理空间的方程用变换换成速度空间的方程，使方程变为线性的 方法二：小扰动线化方法由于物体几何形状比较薄平，物体的存在只给均匀来流一个小的扰动于是可以针对小扰动量将方程线化符号约定,空间： 或 速度： 或,VIII-2:定常势流基本方程,基本假设：理想气体、量热完全气体、均能、均熵、无旋 基本方程： 无旋假设 ：存在势函数,VIII-3:速度图法,考虑平面二维定常势流： 通过变换,将物理平面(x,y)上的非线性方程，转换为速度平面( )的线性方程，称为速度图法(Hodograph Method),VIII-3:速度图法,物理平面与速度平面,物理平面： 速度平面：,,,,,,,,VIII-3:速度图法,,,流线坐标系,流线坐标系 (s,n) 流线坐标系与物理坐标系的关系(旋转角度为 )：,,,,,,,,,,,VIII-3:速度图法,流线坐标系中的方程,方程转换,VIII-3:速度图法,思考题,考虑流线坐标系下的方程 假设流动为简单波流动，即 ，试证明,VIII-3:速度图法,坐标系方程,定义势函数 和流函数 由 得,VIII-3:速度图法,,,失端曲线变换,失端曲线变换，也称恰普雷津变换,VIII-3:速度图法,失端曲线变换续,由 得,,,,,VIII-3:速度图法,恰普雷津方程,将 代入 得恰普雷津方程,VIII-3:速度图法,恰普雷津方程其它形式,将 通过交叉求导并相减得,VIII-3:速度图法,恰普雷津方程的精简形式,定义 ： 则恰普雷津方程变为,VIII-3:速度图法,必做习题,讨论恰普雷津方程组 在什么情况下存在特征线。
在存在情况下，求出特征线和相容关系式讨论是否存在简单波VIII-3:速度图法,速度图法的求解思路,通过求解恰普雷津方程(存在若干特解)，得 从而得 由 得,VIII-3:速度图法,速度图法的求解思路续,由 消去 得,VIII-3:速度图法,速度图法的求解思路续,由 积分得,VIII-3:速度图法,极限线(limit line),速度图法有效的必要条件是变换有效，即变换雅可比矩阵的行列式满足 由 定义的曲线称为极限线VIII-3:速度图法,速度图法的困难与优点,在速度平面上，边界条件变为非线性的，所以速度图法极少能给出边值问题的解析解 对于简单波流动(P-M流动)，恰普雷津变换是退化的，即在速度平面上，简单波流动区域退化为一条线 复杂流动区域的部分区域可以用速度图法分析，有较多的研究结果 如果流场与无穷远流场差别不大，等熵线可以用其在无穷远状态的切线代替，此时可压缩流恰普雷津方程与不可压缩流的方程相似，从而可以利用不可压缩流的结论(卡门钱学森方法),VIII-3:速度图法,VIII-4:卡门钱学森法,发表于1939年的“Two-dimensional subsonic flow of compressible fluids”,J.Aeronaut. Sci., 6,399(1939), 是作者在冯卡门指导下完成的博士论文的一部分。
背景1：在高速流动范围设计机翼所遇到的翼面压力分布计算遇到困难(只有超音速范围可以用特征线理论，亚音速范围内机翼很薄或者速度极低时有小扰动线化理论和不可压缩流方法)1902年，俄国的恰普雷津(S.A. Chaplygin)在博士论文中对定常势流作变换，将自变量从物理平面 变换到速度平面 ，将方程变为线性方程，被称为速度图法VIII-4:卡门钱法,卡门钱学森法续,背景2：作为近似，恰普雷津建议将等熵关系式用它的切线代替后来有学者用驻点处的切线尽心近似计算，计算结果只对马赫数低于0.5的情况有效 背景3：冯卡门指导钱学森用来流处的切线进行近似，得到更好的结果这是因为，在流场大部分区域，流动参数更接近来流值，而不是驻点值 当等熵线可以用其在无穷远状态的切线代替时，可压缩流恰普雷津方程与不可压缩流的方程相似，从而可以利用不可压缩流的结论(卡门钱学森方法)获得可压缩流的解VIII-4:卡门钱法,等熵曲线的近似,,,,,,,,,VIII-4:卡门钱法,卡门钱学森近似,来流处等熵线的斜率为 卡门钱学森近似（切向气态律）,VIII-4:卡门钱法,卡门钱学森近似性质,对于切向气态律，有 证明：由 另外，由动量方程,,,VIII-4:卡门钱法,卡门钱学森近似性质续,由 得 由,VIII-4:卡门钱法,卡门钱学森近似性质总结,在卡门钱学森近似下，有,VIII-4:卡门钱法,是否,对于所考虑的(等熵、绝热)流动 取 得 与前面的性质一致，因此，有书把 作为卡门钱学森假设的出发点。
VIII-4:卡门钱法,恰普雷津方程,定义 于是恰普雷津方程为,VIII-4:卡门钱法,不可压缩流的恰普雷津方程,对于不可压缩流动， 因此恰普雷津方程简化为如下的柯西黎曼方程,VIII-4:卡门钱法,线性气态律的恰普雷津方程,对于可压缩流动和卡门钱学森近似，已经证明 因此方程简化为 与不可压缩流方程完全一致VIII-4:卡门钱法,可压不可压相似比拟,在卡门钱学森近似前提下，速度平面上的方程为 对于不可压流动(以下标I区别)，速度平面上的方程为 因此，在速度平面上，可压缩流与不可压缩流的解在对应自变量相等处完全相等，即,VIII-4:卡门钱法,对应点速度关系式,由 得,VIII-4:卡门钱法,密度与马赫数,由 和 得 由K=1得,VIII-4:卡门钱法,密度续,由 和 得,,,VIII-4:卡门钱法,对应点坐标,由 得,VIII-4:卡门钱法,压力系数,由 得 对于不可压缩流动,VIII-4:卡门钱法,压力系数关系式,由 得卡门钱学森公式（ ）,VIII-4:卡门钱法,结束语,计算可压缩流翼型表面压力时，需要知道对应点不可压缩流的压力(实验或解析)，且对应点关系。
当马赫数较小(M<0.8)并且翼型较薄时，对应点基本相等 ，即两个流场取相同的翼型 卡门钱学森公式中的线性气态率假设实际上属于一种小扰动假设(压力被低估)，另外两个流场取相同翼型也是一种近似(压力被高估)两种效应相抵，使得该公式直至高马赫数(M=0.7)仍然有效(p203)VIII-4:卡门钱法,VIII-5:小扰动线化方法,基本假设：来流 与 向一致(风轴)，在来流上叠加小扰动 小扰动满足方程,VIII-5:小扰动线化法,,,,,,,,,,,翼型定义,三个参数：弦长 ，弯度曲线 ，厚度曲线 上下表面分别用“+”和“-”表示,,,,,,,,,,,小扰动线化方程的推导,将 代入 得,VIII-5:小扰动线化法,亚、超流动小扰动线化方程,对于一般超音速流动和亚音速流动 因此在小扰动假设下， 从而 简化为如下的小扰动线化方程,VIII-5:小扰动线化法,跨、高超流动小扰动方程,对于跨音速流动或高超音速流动 因此即使在小扰动假设下， 从而需要保留 的某些高阶项，最后方程为非线性的(p154),VIII-5:小扰动线化法,小扰动线化方程的适应范围,流动范围：一般亚音速和一般超音速流动，即马赫数不太接近1，也不能太大 流动位置：离开驻点较远(因为在驻点处， )， 但如果驻点影响范围与整个流动区域相比很小，则处处按小扰动线化处理效果不错，所算得的升力系数和力矩系数令人满意 物面形状：在来流方向比较长，在某个(只此一个)垂直于来流的方向很薄。
VIII-5:小扰动线化法,无旋流线化方程,在无旋流假设下，存在势函数 ，满足 从而小扰动线化方程为,VIII-5:小扰动线化法,线化物面边界条件,物面方程： 物面法向： 物面无穿透条件： 零高度边界条件 ：,VIII-5:小扰动线化法,压力系数,压力系数定义 定常均能假设 等熵假设 因此,VIII-5:小扰动线化法,线化压力系数,将 代入 得,VIII-5:小扰动线化法,VIII-6:线化方程的求解,分离变量法与积分变换法 相似法则(利用不可压缩流结果) 特征线理论(略) 叠加法(线化流存在源、汇、偶极子) 其它方法：旋成体理论(p190),VIII-6:线化方程求解,分离变量与积分变换法,说明问题1：沿波形壁 的二维流动. 定解问题：,,,,,,,,,,方程类型,亚音速流动，令 ，方程可以写为 属于椭圆型方程，扰动传播有限 亚音速流动，令 ，方程可以写为 属于双曲型方程，扰动可以传播至,,,,,,,,,无穷远条件,亚音速流动， 超音速流动，,亚音速流,用分离变量法求得 从而按定义有,超音速流,用积分变换法(达朗伯解) 对于向右流动，按定义有,流线比较,流线方程： 亚音速： 超音速：,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,壁面压力系数比较,亚音速： 超音速：,,,,,,,,,说明问题2：超音速二维翼型线化解,假设：超音速流，二维薄翼，小攻角，于是只有小扰动波产生，没有P-M膨胀波或激波那样的非线性波(均为马赫波)。
这要求是薄翼、小攻角、尖前缘(当然也是尖后缘)、来流马赫数不高( ). 物理模型(p172-179),,,,,,,,,,,亚音速线化流相似法则,亚音速小扰动方程 通过简单仿射变换可以化成不可压缩流的拉普拉斯方程 由此可以建立可压缩流场和不可压缩流场之间的对应关系(相似关系)，利用(实验或解析容易获得的)不可压缩流场的解简单求出可压缩流场的解仿射变换基本原理,可压缩流场和不可压缩流场 之间，如果各变量(包括自变 量和因变量)之间存在比列关 系(不同参数比列系数可以不 一样)，使得控制方程和边界 条件都能在可压和不可压之间 互换，则各参数的比列对应 关系称为仿射变换方程相似法则,求比列系数k,a,b,c,如果关系式 使得 事实上由(1)代入(2)得 因此，对 和任何k，上式都退化为(3),物面相似法则,当 ，取何 使得物面边界条件 事实上，将 代入(1)得 由(3)知，如果 ，则(1)退化为(2).,总结,可压缩流场和不可压缩流场之间存在如下仿射关系。