7.3.3 余弦函数的性质与图像学问点一 余弦函数的性质与图像余弦函数： y = cos x1〕定义域： x Î R2〕值域： y Î[-1,1]3〕图像：4〕周期： T = 2p5〕偶函数6〕单调增区间： [2kp -p,2 kp ](k ÎZ )7〕单调减区间： [2kp,2 kp +p]8〕对称轴： x = kp (k ÎZ )9〕对称中心： æ kp + p ,0 ö(k Î Z)2ç ÷è ø10〕最值：当 x = 2kp (k ÎZ )时， y = 1当 x = 2kp+p (k ÎZ)时， yminmax= -1学问点二 余弦型函数的性质与图像y = A cos(wx +j)( A > 0,w > 0)1〕 定义域： x Î R2〕值域： y Î[- A, A]2pT =3） 周期： w4） 奇偶性：j = kp 偶函数j = p2+ kp 奇函数j =其他 非奇非偶5〕单调增区间： -p + 2kp £ wx +j £ 2kp6〕单调减区间： 2kp £ wx +j £ p + 2kp7〕对称轴： wx +j = kp8〕 对称中心： wx +j = p2+ kp9〕最值：当wx +j = 2kp (k ÎZ )时， y= A ；max当10〕平移wx +j = p + kp时， y= - Amina：先伸缩，后平移。
1j向左/右 个单位cos x ¾横¾坐¾标w¾倍®coswx ¾¾¾w¾¾¾® cos(wx +j) ¾横¾不¾变® A cos(wx +j)纵不变 纵不变 纵A倍b.先平移，后伸缩1cos x ¾向¾左¾/右j¾个单¾位¾® cos(x +j) ¾横¾坐¾标w¾倍®cos(wx+j) ¾横¾不¾变® Acos(wx +j)纵不变 纵不变 纵A倍典型题一 余弦型函数的性质1. 设k Î z ，则三角函数 y = cos 2x 的定义域是〔 〕A. 2kp £ x £ 2kp + p B. - p4+ kp £ x £ p4+ kp C. 2kp £ x £ 2kp + p2D. kp £ x £ kp + p2. 在[-p,p ] 上是增函数，又是奇函数的是〔 〕A. y = sin xB. y = 1 C. y = -sin xD. y = sin 2xcos x2 2 43. 函数 y=-cosx(x>0)的图像中与y 轴最近的最高点的坐标为〔 〕A. (p 2,1) B. (p ,1) C. (0,1) D. (2p ,1)p4. 用“五点法”作函数 y = cos(4 x -) 在一个周期内的图像时,第四个关键点的坐标是〔 〕6A. (5p ,0) B. (- 5p ,1) C. (5p ,1) D. (- 5p,0)12 12 12 12典型题二 利用图像确定函数解析式5. 假设函数 f (x) = 2cos( wx +j)(w > 0,0 < j < p ) 的局部图像如下图,则〔 〕2A. w =1 ,j = pB. w =1 ,j = pC. w = 17 ,j = pD. w = 17 ,j = p2 6 2 3 10 6 10 36.函数 f (x) = A cos(wx + j)( A > 0,w > 0) 的图像如下图, f (p ) = - 2 ，则 f(0)=〔 〕A. - 2B. 22 3C. - 1D. 13 3 2 2, )7.函数 y = ln cos x(- p p2 2的大致图像是〔 〕8.[广西南宁三中 2019 高一月考]在同一平面直角坐标系中,画出三个函数 f (x) = 2 sin(2 x + p )4 ，pg(x) = sin(2 x + )3h(x) = cos(x -p，6) 的局部图像如下图,则〔 〕A.a 为 f(x),b 为 g(x),c 为 h(x)B.a 为 h(x) ,b 为 f(x), c 为 g(x)C.a 为 g(x),b 为 f(x),c 为 h(x)D.a 为 h(x),b 为 g(x),c 为 f(x)典型题三 函数图像变换9. 为了得到函数 y = cos 1 x 的图像,只需把 y = cos x 的图像上的全部点〔 〕4A. 横坐标伸长到原来的 4 倍,纵坐标不变B. 横坐标缩短到原来的 1 ，纵坐标不变4C. 纵坐标伸长到原来的 4 倍,横坐标不变D. 纵坐标缩短到原来的 1 ,横坐标不变410. 把函数y=cos2x+1 的图像上全部点的横坐标伸长原来的 2 倍(纵坐标不变),然后向左平移 1 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度,得到的图像是〔 〕11.[山东烟台 2019 期中]将函数 f(x)=cos2x 的图像向右平移 1 个周期得到 g(x)的图像,则以下4结论为函数 g(x)的性质的是〔 〕A.最大值为 1,图像关于直线 x= p 对称2, )B.在(- p p4 4C 在(- 3p p 上,函数 g(x)单调递增且为奇函数上,函数 g(x)单调递增且为偶函数, )8 8D 周期为π,图像关于点(3p ,0) 对称。
812. [云南玉溪一中 2019 高一期末]将函数 f (x) = cos(x - p3)(x Î R) 的图像上每个点的横坐标缩短为原来的 12(纵坐标不变),再将所得图像向左平移j(j > 0) 个单位长度,所得图像关于y 轴对称,则j 的一个值是〔 〕A. 5pB. pC. 5pD. 2p6 3 12 3典型题四 余弦型函数性质13.[湖南岳阳 218 高一期来]以下函数中,周期为p 的是〔 〕2A． y = cos 4 | x | B. y = - sin 2x C. y = cos xD. y = sin(x - p )4 214. 函数 y =| sin x | + cos x 的最小正周期为( )A. p B. p C. 2p D. 4p215. 假设函数 y=(x)同时满足以下三共性质:①最小正周期为p ;②图像关于直线 x= p 对称;③在区3, ]间[- p p6 3上是增函数,则 y=(x)的解析式可以是〔 〕A． y = sin(2 x - p) B. y = sin( x + pp p) C. y = cos(2 x - ) D. y = cos(2 x + )6 2 6 6 316. 函数 y = cos(2 x + p4) 的一个对称中心是( )A. (p ,0) B. (p ,0) C. (- p ,0) D. (3p,0)8 4 3 817.[山东师大附中 2019 高一期中]设a = cos p41p, b = sin7p, c = cos, 则〔 〕12 6 4A. a>c>b B.c>b>a C.c>a>b D.b>c>a典型题五 给角求值域18. 函数 f (x) = a cos x + b 的最大 值为 1, 最小值为 3, 则函数 g (x) = b sin x + a 的最大值为 .19. [陕西渭南蒲城 2019 高一期中]函数 f (x) = 3sin(wx +a),(w > 0, a < p ) 的局部图像如下图,2则w, a 的值是〔 〕A. w = 2,a = pB. w = 2,a = pC. w =1 ,a = pD. w =1 ,a = p2 6 2 3 2 620. 设关于 x 的函数 f (x) = 2cos 2 x - 2a cos x - (2a +1) 的最小值为 f(a),试确定满足 f (a) =的值,并对此时的 a 值求 f(x)的最大值.1 的 a2典型题六 余弦函数图像的应用21. 函数 y = cos x + cos x ,x∈[0,2π]的大致图像为〔 〕22. 函数 y= xcos x 的局部图像是〔 〕23. 方程cos x = x 在(一∞,+∞)内( )A. 没有根 B.有且仅有一个根C.有且仅有两个根 D.有无穷多个根24.在(0,2π)内使sin x >| cos x | 的 x 的取值范围是( )A. (p , 3p ) B.p p 5p 3p ( , ) È( , )4 4 4 2 4 2C. (pp 5p 7pD., ) ( , )4 2 4 425.函数 y=cosx+4,x∈[0,2π]的图像与直线 y=4 的交点坐标为 。
习 题 狂 练1.[上海宝山区 2019 高一期末]“a=2π”是“函数 y=cosx 的图像关于直线 x=a 对称”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件2. 函数 y=cos(sinx)的最小正周期是〔 〕A. p B. p C. 2p D. 4p23. 对于余弦函数 y=cosx 的图像,有以下描述：①将[0,2π]内的图像向左、向右无限延展;②与 y=sinx 图像外形完全一样,只是位置不同；③与 x 轴有很多个交点；④关于 y 轴对称其中描述正确的有A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.44.[山东临沂一中 2019 高一检测]设函数 f (x) = cos(x + p3) ),则以下结论错误的选项是〔 〕A.f(x)的一个周期为-2πB.y=f(x)的图像关于直线 x = 8p 对称3C.f(x)在(p ,p) 2上单调递减D. f(x+π)的一个零点为 x = p65.方程 x2-cosx=0 的实数解的个数为 .6.[江苏泰州中学 2019 高二期中]函数 f (x) = cos(。