正态分布【学习目标】1. 了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义2. 了解正态曲线与正态分布的性质要点梳理】要点诠释：要点一、概率密度曲线与概率密度函数1 .概念：对于连续型随机变量 X ,位于x轴上方，X在在任一区间(a, b］内的概率等于它与 x轴、直线x a 与直线x b所围成的曲边梯形的面积(如图阴影部分) ，这条概率曲线叫做 X的概率密度曲线，以其作为图象的函数f (x)叫做X的概率密度函数2、性质：①概率密度函数所取的每个值均是非负的②夹于概率密度的曲线与 x轴之间的 平面图形”的面积为1③P(a X b)的值等于由直线 x a, x b与概率密度曲线、x轴所围成的 平面图形”的面积要点二、正态分布1.正态变量的概率密度函数一1 2 2正态变量的概率密度函数表达式为： (x) —— e (x R) ,( 0, )、2其中x是随机变量的取值；科为正态变量的期望； 是正态变量的标准差.2.正态分布(1)定义b如果对于任何实数 a,b(a b)随机变量X满足：P(a X b) (x)dx,a则称随机变量X服从正态分布记为 X: N( , 2)2)正态分布的期望与方差若X: N( , 2),则X的期望与方差分别为： EX , DX 2。
要点诠释：(1)正态分布由参数 和 确定参数 是均值，它是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可用样本的均值去估计 是标准差，它是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本的标准差去估计2)经验表明，一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布.在现实生活中，很多随机变量都服从或近似地服从正态分布.例如长度测量误差；某一地区同年龄人群的身高、体重、肺活量等；一定条件下生长的小麦的株高、穗长、单位面积产量等；正常 生产条件下各种产品的质量指标(如零件的尺寸、纤维的纤度、电容器的电容量、电子管的使用 寿命等)；某地每年七月份的平均气温、平均湿度、降雨量等；一般都服从正态分布.要点三、正态曲线及其性质：1.正态曲线1 (^)2如果随机变量X的概率密度函数为f(x) 一 e 2 (x R),其中实数 和 为参数2( 0, )，则称函数f(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线第#页 共10页2.正态曲线的性质：①曲线位于x轴上方，与x轴不相交；②曲线是单峰的，它关于直线 x 对称;③曲线在x时达到峰值④当x 时，曲线上升；当x 近线，向它无限靠近.⑤曲线与x轴之间的面积为1；⑥决定曲线的位置和对称性；当 一定时，曲线的对称轴位置由时，曲线下降.并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以 x轴为渐确定；如下图所示，曲线随着 的变化而沿x轴平移。
⑦确定曲线的形状；当 一定时，曲线的形状由确定 越小，曲线越 高瘦”，表示总体的分布越集中;越大，曲线越矮胖”，表示总体的分布越分散如下图所示要点诠释:性质①说明了函数具有值域（函数值为正）及函数的渐近线（ x轴）.性质②并且说明了函数具有对称性；性质③说明了函数在 x= 时取最值；性质⑦说明 越大，总体分布越分散， 越小，总体分布越集中.要点四、求正态分布在给定区间上的概率1.随机变量取值的概率与面积的关系2若随机变量E服从正态分布 N（,）,那么对于任意实数 a、b （avb）,当随机变量E在区间（a,b］上取值时，其取值的概率与正态曲线与直线 x=a, x=b以及x轴所围成的图形的面积相等.如图（ 1）中的阴影部分的面积就是随机变量孝在区间（ a, b］上取值的概率.一般地，当随机变量在区间（一 8,必上取值时，其取值的^^率是正态曲线在 x=a左侧以及x轴围成 图形的面积，如图（2）.随机变量在（a, +8）上取值的概率是正态曲线在 x=a右侧以及x轴围成图形的 面积，如图（3）.根据以上概率与面积的关系，在有关概率的计算中，可借助与面积的关系进行求解.2、正态分布在三个特殊区间的概率值：P( XP( 2 XP（ 3 X上述结果可用下图表示:)0.683;2 ) 0.954 ；3 ) 0.997。
要点诠释:若随机变量 X服从正态分布 N( , 2),则X落在( 3 , 3 )内的概率约为 0.997 ,落在( 3 , 3 )之外的概率约为 0.003 , 一般称后者为小概率事件， 并认为在一次试验中，小概率事件几乎不可能发生一般的，服从于正态分布 N( , 2)的随机变量X通常只取( 3 , 3 )之间的值，简称为3原则3、求正态分布在给定区间上的概率方法(1)数形结合，利用正态曲线的对称性及曲线与 x轴之间面积为1①正态曲线关于直线 x 对称，与x 对称的区间上的概率相等例如 P(X ) P(X )；② P(X a) 1 P(X a)；③若b,则 P(X b) LP(~~byXb)O(2)利用正态分布在三个特殊区间内取值的概率:① P( X ) 0.6826 ；② P( 2 X2 ) 0.9544 ；③ P( 3 X3 ) 0.9974典型例题】类型一、正态分布的概率密度函数例1.下列函数是正态密度函数的是( ).( 0)都是实数B. P(x)C.P(x)127re(x 1)24D. P(x)1 4 "re【思路点拨】本题可对照正态密度函数的标准形式判断.. (x )21 C 2【解析】 正态密度函数为： P(x) ' e 2 ,,2其中指数部分的 应与系数的分母处的 保持一致，系数为正数且指数为负数.选项A有两处错误，分别是 J2一 错为J2- ,指数错为正数.选项 C,从系数可得 =2 ,而从指数处可得 J2,显然不符.选项 D中指数为正，错误.所以正确答案为 B.1 ■(^2【总结升华】注意函数 P(x) -=一e 2 的形式特点是解题的关键.2举一反三：1 (x 10)2【变式1】设一正态总体，它的概率密度曲线是函数 f(x) ——e 8的图象,则这个正态总体的均2.2值与方差分别是( )A. 10 与 8 B. 10 与 4 C. 8 与 10 D. 2 与 10【答案】在该正态分布中， =10, =2,则E(X)=10 , D(X)= 2=4,故选Boo【变式2】.给出下列三个正态总体的函数表达式，请找出其均值科和标准差(T /(1)f(x)(2)f(x)12.2 e(x 1)28 .x(3 )f(x)2 2( x,2-e1)2,x1 (2) 1-10.5【变式3】正态总体为0,1概率密度函数f(x)是A.奇函数 B.偶函数C.非奇非偶函数 D.既是奇函数又是偶函数1【答案】B。
因为f (x) , ex2W所以选B变式4】一台机床生产一种尺寸为10 mm的零件，现在从中抽测 10个，它们的尺寸分别如下(单位:mm): 10.2 , 10.1 , 10, 9.8, 9.9求正态分布的概率密度函数式.10.3, 9,7, 10, 9.9, 10.1 .如果机床生产零件的尺寸 X服从正态分布,【答案】求正态分布的概率密度函数式，只要求出参数和 即可，而 即样本均值， 即样本标准差.依题意得10(10,2 10,1 10 9.8 9.910.3 9,7 10 9.9 10.1) 10,2 1 _ 2 2 2[(10.2 10) (10.1 10) (10 10)10(9.810)2(9.9 10)2(10.3 10)2 (9.7 10)2 (10 10)2 (9.910)2(10.110)2] 0.03.即 10, 2 0.03 .所以X的概率密度函数为(x)106 e50( x 10)23类型二、正态曲线例2.如图所示，是一个正态曲线，试根据该图像写出其正态分布的概率密度函数的解析式，求出总体 随机变量的期望和方差.【思路点拨】 由正态曲线的图像可知，该曲线的对称轴为x=20 ,最大值为1 -」,因此,2.科二20,由2"可求得的值.【解析】 从给出的正态曲线可知，该正态曲线关于直线大值是1 21‘所以科二20.由3=，解得x=20对称，最于是概率密度函数的解析式是P(x)x e(x 20)2(—8, +8).总体随机变量的期望是方差是2 (72)2 2.【总结升华】 利用图像求正态密度函数的解析式，应抓住图像的实质性两点：一是对称轴 x二巴一-一 1是最值 '.这两点确定以后，相应参数纵 、 便确定了，代入 P (x)中便可求出相应的解析式..2举一反三：【变式1】 关于正态密度曲线性质的叙述：①曲线关于直线x= 对称，整条曲线在 x轴上方；②曲线对应的正态总体概率密度函数是偶函数；③曲线在x= 时处于最高点，由这一点向左右两边延伸时，曲线逐渐降低；④曲线的对称位置由 确定，曲线的形状由 确定， 越大曲线越 矮胖”，反之，曲线越 高瘦”其中叙述正确的有( ).A.①②③ B.①③④ C.②③④ D.①②③④【答案】B根据曲线关于直线 x= 对称，只有当 =0时函数才是偶函数，故②错.利用排除法选 B.【变式2】如图，两个正态分布曲线图：1 为 （x） , 2 为 2 2 （X）, 1, 1则1 2, 1 2 （填大于，小于）【答案】V, ＞。
解析：由正态密度曲线图象的特征知的密度曲线，则三个随【变式 3】如图是三个正态分布 X〜N (0, 0.25), Y〜N (0, 1), Z〜N (0, 4)机变量X, Y, Z对应曲线分另是图中的 【答案】①②③变式4］已知正态总体落在区间0.2, 的概率是0.5,那么相应的正态曲线在时达到最高【答案】0.2由于正态曲线关于直线 x 对称，由题意知 0.2类型三、正态分布的计算例3 .已知随机变量 E服从正态分布 N（2 , o2）, P（口 4）= 0.84 ,则P（ 口 0）=（ ）A. 0.16 B. 0.32C. 0.68 D. 0.84【思路点拨】可画出正态曲线，利用正态曲线的对称性解决解析】-P（m4）= 0.84,尸2, ..P（口 0）=P（登4）= 1-0.84=0.16,故选 A.【总结升华】本题利用了正态密度曲线的性质求概率，其中应注意对称性的运用举一反三：【变式 1](1) X : N(0,1),和 的值各是多少？ （ 2） X: N（ 1,9）, 和 的值各是多少?【答案】(1)比照 X : N( , 2)(0), X : N(0,1)时， =0, =1。
2)比照 X : N( , 2)(2 一 …0), X : N( 1,9)时，=-1 9 ,所以【变式2】在某次测量中，测量结果服从正态分布N （1, 2）（0）,若在（0,1）内取值的概率为0.4,则在（0, 2）内。