第第1章章函数、极限、连续函数、极限、连续第第1节节 集合、映射与函数集合、映射与函数第第2节节 数列的极限数列的极限第第3节节 函数的极限函数的极限第第4节节 无穷小量及无穷大量无穷小量及无穷大量第第5节节 连续函数连续函数1 第第2节节数列的极限数列的极限n2.1 数列极限的概念数列极限的概念n2.2 2.2 收敛数列的性质收敛数列的性质n2.32.3数列收敛性的判别准则数列收敛性的判别准则2 (1) 唯一性唯一性(2) 有界性有界性(3) (3) 四则运算法则四则运算法则(4) 保号性保号性(5) 保不等式性保不等式性(6) 夹逼性夹逼性2.2 2.2 收敛数列的性质收敛数列的性质3 （（1）唯一性）唯一性证证: 用反证法用反证法.及及且且取取因因故存在故存在 N1 , 从而从而同理同理, 因因故存在故存在 N2 , 使当使当 n > N2 时时, 有有使当使当 n > N1 时时, 假设假设从而从而定理定理2.12.1 收敛数列的极限是唯一的收敛数列的极限是唯一的. .矛盾矛盾.因此收敛数列的极限必惟一因此收敛数列的极限必惟一.则当则当 n > N 时时, 故假设不真故假设不真 !满足的不等式满足的不等式4 （（2））有界性有界性即存在即存在定理定理 2.2 若数列若数列证证由定义由定义,推论推论 无界数列必定发散无界数列必定发散. .注意注意：数列的有界性是按照数集的有界性定义的（：数列的有界性是按照数集的有界性定义的（P28)5 数列有界是数列收敛的必要条件数列有界是数列收敛的必要条件. .有界数列未必收敛有界数列未必收敛, ,如如{(-1){(-1)n-1-1}.}.注意注意:例例1证证由定义由定义,6 （（3 3）有理运算法则）有理运算法则7 所以所以的任意性的任意性, 得到得到证明证明 (1)8 证明证明 (2)对于任意对于任意的任意性的任意性, 证得证得 于是于是9 11 EX2EX1 12 EX1 解解所以由极限四则所以由极限四则运算法则运算法则, 得得故得故得13 EX2解解先变形再求极限先变形再求极限.14 例例2 用四则运算法则计算用四则运算法则计算(1) 当当 m=k 时时, 有有分别得出分别得出:解解15 (2) 当当 m < k 时时, 有有所以所以16 o若若且且时时, 有有定理定理2.42.4（（4）保号性）保号性进一步进一步 若若则，则，(用反证法证明用反证法证明)17 （（5）保不等式性（保序性））保不等式性（保序性）推论推论2 2 设设且且19 （（6) 6) 夹逼性夹逼性本性质既给出了判别数列收敛的方法；又提本性质既给出了判别数列收敛的方法；又提供了一个计算数列极限的方法。
供了一个计算数列极限的方法20 上两式同时成立上两式同时成立,证证21 例例3 3解解由夹逼定理得由夹逼定理得22 例例4 求数列求数列的极限的极限.则由则由 夹逼性，求得夹逼性，求得又因又因解解有有24 EX325 EX3、、解解26 思考题思考题证明证明要使要使只要使只要使从而由从而由得得取取当当 时，必有时，必有 成立成立27 否否的叙述方法的叙述方法28 。