233 -第9章 格林函数法第9章 格林函数法§9.1 格林函数的概念本节讨论：①格林函数的定义，②格林函数与基本解的比较，③格林函数与基本解的关系⒈ 格林函数的概念 格林函数：称下述定解问题（B）的解为定解问题（A）的格林函数A）： （B）： (9.1.1)此处：算子对的阶导数，为边界算子，如第一、二、三类边界条件；式中在边界域内部，式中即其它同上述说明格林函数可细分为边值问题的格林函数、柯西问题的格林函数与混合问题的格林函数等例1 二维边值问题（边界为园）的格林函数为的解例2 常微分方程的格林函数为的解此时格林函数就是基本解例3 柯西问题的格林函数为的解例4 传导问题的格林函数为的解注：例1与例2中的问题与无关，可取；例2与例3中，可取为0⒉ 格林函数与基本解的比较 将不同定解问题的格林函数与基本解的定义共同列表如下：表9.1基本解与格林函数的相似性方程的类型基本解格林函数方程， 边值问题——初值问题混合问题注意：①边值问题没有基本解的提法一维问题可理解为初值问题，可以给出它的基本解而边值问题：无基本解 ②泛定方程的格林函数与基本解的提法一致本书称它为格林函数，不用基本解的提法。
即将泛定方程中带有－函数的解统称为格林函数，将初始条件中带有－函数的解统称为基本解 ③当变量无界时，此时没有边界条件（如柯西问题），一般取，即、；当变量有界时，一般取在区域的内部，如边值问题、混合问题；④当问题与无关时，没有初始条件（如边值问题），一般可取，即；当问题与变量相关时，一般取，如柯西问题、混合问题；⑤当问题化为泛定方程时，有即；或即此时认为变量与为无界变量⑥为便于区别，格林函数使用表示，基本解使用表示☆（格林函数与基本解的物理意义是不同的，基本解中激发函数仅在初始时刻发生，而格林函数中的激发函数在“体”内未来某时刻发生） 格林函数与基本解的关系（选读） 基本解仅适应于发展问题，而发展问题的格林函数可具体写为 或改写为 (9.1.2)由齐次化原理，若为的解，则 (9.1.3)因发展方程的基本解的满足 (9.1.4)图9.1 基本解与格林函数关系图通过比较得；代入格林函数与的关系式中得 (9.1.5)若且为基本解，格林函数可表示为 (9.1.6)上式表明：基本解可由格林函数经冲量原理得到。
⒊ 格林公式 为了得到以格林函数表示的泊松方程解的积分表示式，需要用到格林公式，为此，我们首先介绍高等数学中的格林公式设和在区域及其边界上具有连续一阶导数，而在中具有连续二阶导数，由高等数学中的的高斯定理可得 (9.1.7)该式称作第一格林公式同理，又有 (9.1.8)两式相减，得 (9.1.9)或写为 (9.1.10)这里为边界的外法向求导数该式称作第二格林公式§9.2 柯西问题的格林函数法本节讨论：①传导型柯西问题的格林函数法，②波动型柯西问题的格林函数法 ⒈ 传导型柯西问题的格林函数方法传导型柯西问题的格式函数 传导方程的柯西问题与格林函数分别满足， (9.2.1)格林函数的求解 可选用以下两种方法中的一种进行①积分变换法 直接对关于格林函数的定解问题进行富里叶变换而求得解②基本解方法 若且为基本解，格林函数可表示为 (9.2.2)或写为 (9.2.3)例如，一维传导方程柯西问题 (9.2.4)求得基本解： (9.2.5)那么它的格林函数可写为 (9.2.6)传导型柯西问题的格林函数方法 对定解问题分三种情况加以讨论。
若与分别是传导型柯西问题的基本解与格林函数结论一：定解问题有解验证：当时，此时，故；当时，式中顾及了当时，即解满足方程同理可得到：结论二：定解问题有解定理4：定解问题有解 (9.2.7)例3 用格林函数方法求解：，其中为常数解：由于一维传导方程的柯西问题的基本解，故定解问题的解为⒉ 波动方程柯西问题的格林函数方法 定义 波动型（）柯西问题与相应的格林函数问题可写为： (9.2.8)称为波动型柯西问题的格林函数格林函数的求解 如同传导型柯西问题一样可以有如下结果①积分变换法求基本解 直接对关于格林函数的定解问题进行富里叶变换而求得解②基本解方法 若且为原问题的基本解，容易验证，格林函数为 (9.2.9)定解问题的求解 直接给出定解问题的解定理5 波动型柯西问题有解： (9.2.10)简证如下：事实上，①当时：由于及，而，故 (9.2.11)②由： (9.2.12)又当时：若有；若有；另外，故有 (9.2.13)③当时， ； (9.2.14)分别记为，顾及讨论如下： (9.2.15) (9.2.16) (9.2.17)由于积分，，而当时有。
故有: (9.2.18)不难发现，前三项就是，故有即它是定解问题的解例2 用格林函数方法求解一维波动方程的柯西问题：解：由于一维波动方程柯西问题的基本解，因此由及可求得相应的格林函数且代入波动型问题解中得§9.3 混合问题的格林函数法本节讨论：①传导型混合问题的格林函数，②波动型混合问题的格林函数⒈ 混合问题格林函数的概念传导问题的格林函数 称的解为的格林函数波动问题的格林函数 称的解为的格林函数⒉ 有界传导问题的格林函数方法格林函数的定义 一维传导方程有界问题和相应的格林函数可写为： (9.3.1)称为一维传导方程有界问题的格林函数格林函数的求解 可采用分离变量法或积分变换法进行由分离变量法可求得 (9.3.2)▲定解问题的求解 由乘后对从0到对从0到积分得： (9.3.3)右边第一个积分经分部积分得： ； (9.3.4)同理，第二个积分经分部积分得： (9.3.5)将两积分代入前式，整理得： (9.3.6)顾及到与一维传导方程有界问题共轭的格林函数为（传导方程不是共轭方程，即）： (9.3.7)则有： (9.3.8)例1 解定解问题：解 本题中非齐次项仅，由于 且 将已知条件代入得⒊ 有界波动问题的格林函数方法格林函数的定义 一维波动方程有界问题和相应的格林函数可写为： (9.3.9)称为一维波动方程有界问题的格林函数。
格林函数的求解 可采用分离变量法进行由第三章的方法可求得 (9.3.10)▲定解问题的求解 由乘后对从0到对从0到积分得： (9.3.11)右边第一个积分经分部积分得： (9.3.12)同理，第二个积分经分部积分得： (9.3.13)将两积分代入前式，整理得：(9.3.14)顾及到与一维波动方程为共轭方程，则有： (9.3.15)例2 解定解问题：解 本题中非齐次项仅，则 且 将已知条件代入得⒋ 混合问题的格林函数法的例题混合问题的格林函数的直接求解是困难的利用基本解与格林函数的关系求格林函数是值得推荐的方法例1 一维热传导方程半无界问题考虑以下齐次方程定解问题 该定解问题称为半无界问题, 这是一个混合问题，边界为半无界第一类边界条件 为求该问题的格林函数，以热方程的基本解为基础，使用对称法求出上述问题的格林函数，并利用所得到的格林函数给出该问题的解一维热传导方程的基本解为其中是问题在初始时刻，点处置放一单位点热源所产生的温度分布若将上面定解问题中的初始条件换为，只要利用平移变换易得初值问题的解为。
为求解上述“传导半无界问题”，先考虑激发函数，其中为轴正半轴上的任意一点此时，相当于在点处置放一单位点热源. 则此单位点热源在轴正半轴上产生的温度分布，如果满足边界条件它便是原问题的解，即为该问题的格林函数设想再在点（此点为关于坐标原点的对称点）处置放一单位负热源，这时在点处置放的单位点热源产生的温度分布和在处置放的单位负热源产生的温度分布在处相互抵消，从而在处的温度恒为零传导半无界问题的格林函数为利用叠加原理可得原问题的解为若将题中的边界条件换为或，如何求解相应的定解问题注1：本题是对变量x实行冲量原理等即有注2：求得了格林函数，则解为格林函数与非齐次项的“卷积”例2 一维波动方程半无界问题 考虑以下齐次方程定解问题一维波动方程的基本解，完全类似于上小节的分析，可得该问题的格林函数为其中. 因此，该定解问题的解便可表示为将上面两式代入到解中并整理可得若将题中的边界条件换为，如何求解相应的定解问题§9.4 边值问题的格林函数法本节讨论：①边值问题格林函数的性质，②格林函数与边值问题的解⒈ 边值问题格林函数概念的再讨论 称边值问题的解为边值问题的格林函数这里为区域的边界面）当时，称边值问题的解为边值问题的格林函数：当时，称边值问题的解为边值问题的格林函数：关于第二类边值问题格林函数的讨论由第二格林公式中取有： (9.4.1)它表明：上述关于函数的边值问题无解。
因此，定义第二边值问题的（广义）格林函数为下述边值问题的解：这里的为区域的体积说明：①也可定义第二边值问题的（广义）格林函数满足边值问题，这里为区域的面积②外部问题的格林函数为边值问题的解⒊ 边值问题格林函数与边值问题的解 在格林公式中取，将第三定解问题与相应的格林函数定义式代入第二格林公式得： (9.4.2)利用广义函数的性质，将上式写为 (9.4.3)上式也称为广义格林公式若已知边界上的观测值及，则求解定解问题的解的问题就变为求解格林函数的问题注：但在一个边界面上，要同时知道两个相互无关的函数，可能会出现适定性的问题第一边值问题： 第一边值问题和它的格林函数为 ， (9.4.4)边值问题的解为广义格林公式： 。