第二章 质点动力学四、习题选解2-1 光滑的水平桌面上放有三个相互接触的物体，它们的质量分别为（1）如图a所示，如果用一个大小等于的水平力作用于的左方，求此时和的左边所受的力各等于多少？（2）如图b所示，如果用同样大小的力作用于的右方求此时 和的左边所受的力各等于多少？ / . . （3）如图c所示，施力情况如（1），但的右方紧靠墙壁（不能动）求此时和左边所受的力各等于多少？解：（1）三个物体受到一个水平力的作用，产生的加速度为用隔离法分别画出在水平方向的受力图（a）， 题2-1（a）图由（2）由用隔离法画出在水平方向的受力图（b）由 得 解得： 题2-1（b）图（3）由于都不运动，加速度，三个物体彼此的作用力都相等，都等于F2-2 如图所示，一轻质弹簧连接着和两个物体，由细线拉着在外力作用下以加速竖直上升问作用在细线上的力是多大？在加速上升的过程中，若将线剪断，该瞬时、的加速度各是多大？解：（1）分别画出、受力的隔离体如图（a）， 题2-2（a）图取向上为正方向，由牛顿第二定律故 （2）将线剪断，画出的隔离体图，如图（b） 题2-2（b）图 取竖直向上为正方向，由牛顿第二定律得 得的方向向下，的方向向上。
2-3 如图所示，将质量为的小球挂在倾角的光滑斜面上求（1）当斜面以加速度沿水平方向向右运动时，绳中的力及小球对斜面的正压力；（2）当斜面的加速度至少为多大时，小球对斜面的正压力为零解：（1）画出小球在以加速度向右运动时的隔离体图2-3（a）题2-3（a）图小球受三个力的作用，拉力，正压力和重力，在水平和竖直方向建坐标系，由牛顿第二定律 解得 （2）若小球对斜面的正压力为零，受力如图2-3（b）则由牛顿第二定律 得 当斜面加速度至少为时小球对斜面正压力为零题2-3（b）图2-4 如图所示，质量分别为、、的、、三个物体，沿光滑斜面向上运动，斜面与水平面的夹角为，作用在物体上的拉力为，忽略物体间绳索的质量求：（1）物体的加速度；（2）、之间绳中力；（3）、之间绳中力 解：建立如图所示坐标画出、、受力的隔离体图，各物体加速度为，绳的力、，各物体沿轴的加速度为零，在轴方向的合力为零由牛顿第二定律 得 题2-4图物体 ①物体 ②物体 ③由①、②、③得 的方向沿轴正方向，即沿斜面向上由①式 、间绳中力由②式 、间绳中力2-5 如图所示，在一轻滑轮上跨有一轻绳，绳的两端连接着质量分别为和的物体、。
现以的恒力向上提滑轮的轴，不计滑轮与绳间的摩擦，求和的加速度解：设滑轮相对于地面的加速度为a，物体、相对于滑轮的加速度为则物体相对于地面的加速度为，方向竖直向下物体相对于地面的加速度为，方向竖直向上由牛顿定律得 题2-5图①②因不计滑轮质量，并不计摩擦 ③由以上三式得 则 2-6 如图所示，系统置于以的加速度上升的升降机，、两物体质量均为所在的桌面是水平的，绳子和定滑轮质量均不计，若忽略一切摩擦，求绳中力解：当升降机以加速度上升时，设A和B相对升降机的加速度大小为，则A相对地面的加速沿水平方向分量为，B相对地面的加速度为由牛顿第二定律得 ①②把，，代入①、②两式得：题2-6图2-7 一桶盛水，系于绳子的一端，并绕点以角速度在竖直平面匀速转动设水的质量为，桶的质量为，圆周半径为，问应为多大时才能保证水不流出来？又问在最高点和最低点时绳中力多大？ 解：要使水不流出来，则在最高点向心加度 应大于等于重力加速度 题2-7图 在最高点绳对水桶的拉力为题2-7（a）图此时绳的力 在最低点绳对水桶的拉力为题2-7（b）图此时绳的力2-8 某段圆弧形公路的曲率半径为，公路的倾角是按的车速而设计的。
求（1）公路的倾斜角；（2）若公路没有倾斜，车胎与路面间的摩擦系数至少应为多大，车辆才不致外滑？解：（1）设公路倾斜角为，若使汽车在转弯时车轮没有侧向摩擦力，向心加速度由地面对车的正压力的水平分量提供①②由①、②两式： 题2-8图 （2）若路面没有倾斜，向心力由轮胎与路面间的摩擦力提供2-9 质量的物体被竖直上抛，初速度为，物体受到的空气阻力数值与其速率成正比，，求物体升达最高点所需的时间及上升的最大高度 解：（1）物体抛出后，受重力和空气阻力作用而减速，由牛顿第二定律 分离变量 ①开始抛出时 到最高点时 对①式积分 （2）由②对②式分离变量，积分2-10 一个圆锥摆的摆线长为，摆线与竖直方向的夹角恒为，如图所示求摆锤转动的周期 题2-10图解：摆线受重力和绳的力的作用竖直方向 ①水平方向 ②代入②式 代入①式 故摆锤转动的周期 2-11 一质量为的物体，以初速从地面抛出，抛射角，如忽略空气阻力，则从抛出到刚要接触地面的过程中，求物体动量增量的大小及方向。
解：取抛出点为原点，建坐标忽略空气阻力，物体沿轴方向的速度分量不变化，动量增量为零；落地时沿轴方向的速度分量与抛出时轴方向的速度分量大小相同，方向相反 题2-11图物体动量增量的大小 物体动量增量的方向沿轴负方向，竖直向下2-12 一个小球在弹簧的作用下振动，所受弹力，而位移其中、、均为常量求在从到的时间间隔弹力施于小球的冲量 解： 位移 弹力 在从到的时间间隔，弹力施于小球的冲量2-13 一个力作用在质量为的质点上，使之沿轴运动，已知在此力作用下质点的运动方程为，求在到的时间间隔力的冲量解：由运动方程 质点速度方程 时质点速度 时质点速度 根据动量定理 2-14 用棒打击质量、速率的水平飞来的球，球飞到竖直上方的高度求棒给予球的冲量多大？设球与棒接触时间为，求球受到的平均冲力解：以球与棒接触点为原点，建立如图所示坐标,由动量定理，棒给予球的冲量沿轴和轴的分量为 题2-14图其中 冲量大小 冲量与轴夹角 球受平均冲力大小 球受平均冲力方向与冲量方向相同2-15 如图所示，用传输带输送煤粉，料斗口在上方高处，煤粉自料斗口自由落在上。
设料斗口连续卸煤的流量为，以的水平速度匀速向右移动求装煤的过程中，煤粉对的作用力的大小和方向不计相对传输带静止的煤粉的重量） 题2-15图解：建立如图建立坐标煤粉从高处落到传输带时，其速度设时间里有质量为的煤粉落在传输带上由动量定理得 故传输带对煤粉的作用力大小为 与轴夹角为煤粉对传输带的作用力与互为作用力和反作用力其大小与大小相等，方向与相反2-16 在质量为的气球上连接一绳梯，在绳梯的中间站着一个质量为的人开始时，气球与人均相对地球静止不动如果人以速率相对绳梯往上爬，气球将向哪个方向运动，其速率为多大？ 解：设人和气球相对于地面的运动速度分别为，由动量守恒定律①人相对于气球的速度为代入①式 的方向竖直向上，气球竖直向下运动，其速率2-17 质量为的人手里拿着一个质量为的物体此人用与水平面成角的速率向前跳去当达到最高点时，他将物体以相对于人为的水平速率向后抛出问由于人抛出物体，他跳的距离增加了多少？（把人视为质点） 解：如图所示建立坐标在整个跳跃过程中，系统水平方向的动量守恒设为人向后抛出物体后对地的水平速率，则抛出的物体对地的水平速率为 题2-17图在最高点抛出物体后，人的水平速率增量人从最高点到地面的运动时间故人跳跃的距离增加了2-18 一作斜抛运动的物体，在最高点炸裂为质量相等的两块，最高点距离地面为。
爆炸后一秒钟，第一块落在爆炸点正下方的地面上，此处距抛出点的水平距离为问第二块落在距抛出点多远的地面上设空气阻力不计解：取如图所示坐标，物体到达最高点时， 速度垂直分量为零，速度水平分量为①物体在点爆炸后，第一块碎片以垂直落下，其运动方程为② 题2-18图该碎片经过到达地面时，代入②式，解得爆炸后第一块碎片的垂直速度大小为由于爆炸力远大于重力，物体爆炸前后动量守恒③④故 由此可知，第二块碎片在爆炸后，由点作斜上抛运动，其运动方程为 ⑤⑥第二块碎片落地时， 代入⑥式得s把代入⑤式得2-19 一质量为的物体沿轴无摩擦地运动，设时，物体位于原点，速度为零求（1）设物体在力的作用下运动了（以为单位），它的速度和加速度增为多大？（2）设物体在力的作用下移动了（以为单位），它的速度和加速度增为多大？解：（1）物体作变加速直线运动 当时 由初始条件 时 ，时 根据动量定理 （2） 当时 由初始条件 根据动能定理 2-20 以的力作用在一质量为的物体上，物体最初处于静止状态试计算在第一、第二与第三秒，力所作的功，以及第三秒末的瞬时功率。
解：（1）初始时刻 ，加速度第一秒末的速率 力在第一秒作的功 （2）第二秒末的速率 力在第二秒作的功 （3）第三秒末的速率 力在第三秒作的功 （4）第三秒末的瞬时功率 2-21解：根据功的定义，该力作功2-22 一物体按规律作直线运动设媒质对物体的阻力正比于速度的平方试求物体由运动到时，阻力所作的功已知阻力系数为解：由运动方程 ，在任一时刻t物体的速度物体所受阻力 又 ， 物体由。