工程力学电子教案 第三章 力矩与平面力偶系 力对物体作用时可以产生移动和转动两种外效应力的移动 效应取决于力的大小和方向，为了度量力的转动效应，需引 入力矩的概念 主要研究内容： （1）力矩的概念； （2）力偶与力偶矩； （3）平面力偶系的合成与平衡 1 §3-1 力矩的概念和计算 §3-2 力偶的概念 §3-3 平面力偶系的合成与平衡 第三章 力矩与平面力偶系 工程力学电子教案 第三章 力矩与平面力偶系 §3-1 力矩的概念和力矩的概念和计计计计算算 1. 平面问题中力对点之矩 图3-1 用扳手拧螺母 由上图知，力F 使物体绕O点转动的效应，不仅与力的大 小，而且与O点到力的作用线的垂直距离d有关，故用乘积 F·d 来度量力的转动效应 2 O F A l d α 工程力学电子教案 第三章 力矩与平面力偶系 该乘积根据转动效应的转向取适当的正负号称为力F对点O之 矩，简称力矩，以符号M O (F)表示 即 O点称为力矩的中心，简称矩心；O点到力F 作用线的垂直距 离d，称为力臂 力矩的正负号规定：力使物体绕逆时针方向转动为正，反之 为负 3 力对点之矩取决于力矩的大小及其旋转方向（力矩的正 负），因此它是一个代数量。
力矩的单位：国际制 N·m，kN·m ； 工程制 公斤力米（kgf·m） 工程力学电子教案 第三章 力矩与平面力偶系4 例例 题题 3 3- - 1 1 O F A l d α 在以上扳手拧螺母图示中， 如作用于扳手的力F=200N， l=0.40m，α=60o，试计算F对 O点之矩 Mo(F)=-Fd=-Fl sinα=-200N×0.40m×sin60o=-69.3Nm 工程力学电子教案 第三章 力矩与平面力偶系 （2）力的作用线如通过矩心，则力矩为零；反之，如果一 个力其大小不为零，而它对某点之矩为零，则此力的 作用线必通过该点； （3）互成平衡的二力对同一点之矩的代数和为零 O F1 F2 图 3-2 (c) F 图 3-2 (b) o 5 力矩的性质： （1）力对任一已知点之矩，不会因该力沿作用线移动而改变； O F d 图 3-2 （a) 工程力学电子教案 第三章 力矩与平面力偶系 2. 合力矩定理 平面汇交力系的合力对作用面内任一点的矩等于 力系中各分力对同一点之矩的代数和 6 工程力学电子教案 第三章 力矩与平面力偶系 证明：由图得 而 O x y d x y F Fx Fy Aa q a-q r 图 3-3 7 则 (a) 工程力学电子教案 第三章 力矩与平面力偶系 若作用在 A点上有多个力，是一个汇交力系（F1 、F2 、… Fn） 则可将每个力对O点之矩相加，有 (b) 该汇交力系的合力FR=∑F，它对矩心的矩 (c) 比较（b）、（c）两式有 8 工程力学电子教案 第三章 力矩与平面力偶系9 例例 题题 3 3- - 2 2 运用合力矩定理计算例3-1中F 对O点之矩。
已知，F=200N， l=0.40m，α=60o 解：将物体看成是受到Fx和Fy两个力的作用， O F l d α x y Fy Fx 根据合力矩定理，合力F对O点之矩等于分力Fx、Fy 对O点之矩的代数和 工程力学电子教案 第三章 力矩与平面力偶系 §3-2 力偶的概念力偶的概念 1. 力偶和力偶矩 (1) 力偶的概念 把大小相等、方向相反、作用线平行的两个力 叫做力偶并记作（F，F′）可用图3-5表示：作 用线之间的距离称为力偶臂，力偶所在的平面称为 力偶作用面 F F′ d 力偶臂 力偶作用面 图 3-5 F′ F1 F A B F1′ C D 图3-4 10 工程力学电子教案 第三章 力矩与平面力偶系 (2) 力偶的性质 (a) 力偶在任何坐标轴上的投影等于零； (b) 力偶不能合成为一力，或者说力偶没有合力，即它不 能与一个力等效，因而也不能被一个力平衡；力偶是 一种最简单的特殊力系 (c) 力偶对物体不产生移动效应，只产生转动效应，既它 可以也只能改变物体的转动状态 x 图3-6 F F′ d 力偶臂 力偶作用面 11 工程力学电子教案 第三章 力矩与平面力偶系 (3) 力偶矩 其转动效应——对点之矩，用力偶中的两个力对其作用面 内一点之矩的代数和来度量。
F F d 图3-7 O x 12 上式表明，力偶对作用面内任 一点的矩之大小恒等于力偶中 一力的大小和力偶臂的乘积， 而与矩心的位置无关 工程力学电子教案 第三章 力矩与平面力偶系 F F d 图3-7 O x 13 力偶对物体的转动效应可用力与力 偶臂的乘积Fd加上区分力偶在作用 面内的两种不同转向的正负号来度 量，这一物理量称为力偶矩，以 M(F,F’)或M表示 正负号规定：逆时针方向转动时，力偶矩取正号；顺时 针方向转动时，力偶矩取负号 工程力学电子教案 第三章 力矩与平面力偶系 (4) 力偶的三要素 （a）力偶矩的大小； （b）力偶的转向； （c）力偶作用面在空间的方位 14 工程力学电子教案 第三章 力矩与平面力偶系 2. 平面力偶等效定理 定理：在同一平面（或两平行平面）内的两个力偶，如它们 的力偶矩的大小相等，而且转向相同，则此两力偶等效 例如汽车司机转动方向盘，不论 将力偶(F,F’)加在A、B位置还是 同一力偶加在C、D位置，对方 向盘的转动效应不变；而且，如 果力的大小增加一倍，同时力偶 臂减小一半，对方向盘的转动效 应仍然不变 15 F′ F1 F A B F1′ C D 图3-5 工程力学电子教案 第三章 力矩与平面力偶系 证明：如图所示 。
运用加减平衡力系的公理并注意到： 图3-9 P P1 P1′ P′ F F′ Q′ Q A′ B′ A B b a C D 16 工程力学电子教案 第三章 力矩与平面力偶系 推论1 力偶可以在其作用面内任意移转而不改变它对物体 的转动效应 17 AB M (a) AB M C (b) 图3-10 工程力学电子教案 第三章 力矩与平面力偶系 AB d F 1 F1 (a) AB D F2 F2 (b) 推论2 在保持力偶矩的大小和转向不变的条件下，可以任意改 变力偶中力和力偶臂的大小而不改变力偶对物体的转动 效应，F1d=F2D其中 图3-11 18 工程力学电子教案 第三章 力矩与平面力偶系 §3-3 平面力偶系的合成与平衡平面力偶系的合成与平衡 平面力偶系：作用在物体上同一平面内的若干力偶的总称 1. 合成 (1) 两个力偶的情况 = F1′ F1 d1 d2 F2′ F2 F11′ F22′ F22 F11 d d FR′ FR = 19 这样得到新的力偶(FR , FR′) M=M1+M2=F11d - F22 d = (F11 - F22)d = FRd 工程力学电子教案 第三章 力矩与平面力偶系 (2) 任意个力偶的情况 M=M1 + M2 + … + Mn , 或 M=∑Mi M1 M2 Mn 图3-13 20 工程力学电子教案 第三章 力矩与平面力偶系 2. 平衡条件 平面力偶系平衡的必要和充分条件是：力偶系中各力偶矩 的代数和等于零，即 ∑Mi=0 利用这个平衡条件，可以求解一个未知量。
21 工程力学电子教案 第三章 力矩与平面力偶系 两力偶作用在板上，尺寸如图，已知 F1 = F2=1.5 kN , F3 =F4 = 1 kN, 求作用在板上的合力偶矩 180mm F 1 F 2 F3 F 4 80mm 解：由式 M = M1 + M2 则 M =-F1 · 0.18 –F3 · 0.08 = -350 N· m 负号表明转向为顺时针 图3-14 例例 题题 3 3- - 3 3 22 工程力学电子教案 第三章 力矩与平面力偶系 长为 4 m的简支梁的两端A、B 处作用有二个力偶，大小 各为M1 =16 N· m，M2 = 4 N· m，转向如图试求A、B支座 的约束力 解：作AB梁的受力图，如图（b）所示AB梁上作用 有二个力偶组成的平面力偶系，在A、B 处的约束力也必须 组成一个同平面的力偶（FA ，FB ）才能与之平衡 例例 题题 3 3- - 4 4 23 FA M1 M2 A B (b) d 60 4m AB M1 M2 (a) 图3-15 工程力学电子教案 第三章 力矩与平面力偶系 由平衡方程 ∑M =0 得-M1+ M2+FB l cos60º= 0 解得 故 FB=6 N FA、FB为正值，说明图中所示FA、FB的指向正确。
FA = FB = 6 N 24 FB FA M1 M2 A B (b) d 工程力学电子教案 第三章 力矩与平面力偶系 如图所示的铰接四连杆机构OABD，在杆OA和BD 上分别作用着矩为M1和M2的力偶，而使机构在图示位置处于 平衡已知OA=r，DB=2r，q =30°，不计各杆自重，试求M1 和M2间的关系 B O D q M1 M2 A 例例 题题 3 3- - 5 5 25 工程力学电子教案 第三章 力矩与平面力偶系 解：因为杆AB为二力杆，故其反 力FAB和FBA只能沿A，B的连线方向 分别取杆OA和DB为研究对象因 为力偶只能与力偶平衡，所以支座O和 D的约束力FO 和FD 只能分别平行于 FAB 和FBA ，且与其方向相反 B O D q M1 M2 A O M1 FO FAB A B D M2 FD FBA 26 工程力学电子教案 第三章 力矩与平面力偶系 因为 所以求得 写出杆OA和DB的平衡方程： ∑M = 0 O M1 FO FAB A B D M2 FD FBA 27 工程力学电子教案 第三章 力矩与平面力偶系 如图所示，在物体上作用有两力偶 和 其力 多边形封闭。
问该物体是否平衡？为什么？ 图3-17 F1 F2 F1′ F2′ F1 F2 F1′ F2′ 思考题 3-2 28 工程力学电子教案 第三章 力矩与平面力偶系 图3-18所示圆盘由O点处的轴承支持，在力偶M 和力F 的作 用下处于平衡能不能说力偶被力F 所平衡？为什么？ 力矩和力偶有什么联系？ 又有什么区别？ 思考题 思考题 F M O 图3-18 29 工程力学电子教案 第三章 力矩与平面力偶系 思考题 3-3 一力偶(F1,F1′)作用在Oxy平面内,另一力偶(F2 ，F2′)作用在Oyz 平面内,它们的力偶矩大小相等(如图)试问此两力偶是否等效 ，为什么？ x y z F2 F2′ F1 F1′ 图3-16 O 30 工程力学电子教案 第六章 内力与内力图 思考题：一传动轴的计算简图如图所示，作用于其上的外力 偶矩之大小分别是：MA=2 kN.m , MB=3.5kN.m , MC =1 kN.m , MD = 0.5 kN.m , 转向如图试问该传动轴是否平衡 a aa ABCD MAMBMCMD 31 工程力学电子教案 第三章 力矩与平面力偶系32 在平面问题中，力对点之 矩实际上指力使物体绕通 过矩心的某一轴的转动效 果的度量，该轴垂直于由 力的作用线和矩心所决定 的平面。
在空间问题中，力对轴之 矩的定义为：力F对z轴之 矩等于力F在与z轴垂直的 平面上的投影Fxy对z轴与 此平面的交点O之矩 z d Fxy F Fz O F d O 关于平面问题与空间问题 工程力学电子教案 第三章 力矩与平面力偶系 作业： 3-7；3-9 33 。