第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布•二维随机变量二维随机变量联合分布和边缘分布函数联合分布和边缘分布函数•二维离散型随机变量联合分布律和边缘分布律二维离散型随机变量联合分布律和边缘分布律•相互独立的随机变量相互独立的随机变量•二维连续型随机变量联合概率密度和边缘概率密度二维连续型随机变量联合概率密度和边缘概率密度 •二维随机变量二维随机变量的概念的概念•二维随机变量的联合分布函数及其性质二维随机变量的联合分布函数及其性质•二维随机变量的边缘分布函数二维随机变量的边缘分布函数第一节第一节 二维随机变量的分布函数二维随机变量的分布函数 定义定义1 1：：设随机试验设随机试验的的样本空间是样本空间是设设和和是是定义在定义在上的上的随机变量，则它们构成的一随机变量，则它们构成的一个个向量向量称为称为二维随机变量二维随机变量或或二维随机向量二维随机向量一、二维随机变量的概念一、二维随机变量的概念 例：例： 抛掷硬币抛掷硬币3次，记次，记 X 为正面出现的次数，为正面出现的次数，Y为正面与为正面与反面出现的次数之差的绝对值，反面出现的次数之差的绝对值，可能取值对可能取值对于是二维随机变量于是二维随机变量 定义定义2:2:设设是是二维随机变量，对于任意实数二维随机变量，对于任意实数二元函数二元函数称为二维随机变量称为二维随机变量的的分布函数分布函数，或，或联合分布函数联合分布函数。
二、联合分布函数二、联合分布函数二维分布函数的几何意义二维分布函数的几何意义处的函数值处的函数值: :在在随机点随机点落在以落在以为顶点的左下方为顶点的左下方矩形开域上的概率矩形开域上的概率 所以所以 性质：性质：①① 是是变量变量 和和的的不减函数，即不减函数，即对任意固定的对任意固定的 ，当，当时，时，对任意固定的对任意固定的 ，当，当时，时，②② ③③ 关于关于右连续，即右连续，即 三、边缘分布函数三、边缘分布函数 的分布函数为的分布函数为分别分别设设的的边缘分布函数边缘分布函数 则则的分布函数为的分布函数为记记和和，称为关于，称为关于和和同理可得同理可得注：注：已知联合分布，可以求解已知联合分布，可以求解 X , Y 的边缘分布的边缘分布 例例1. 设设的的分布函数为分布函数为求常数求常数的值及的值及概率概率【【解解】】 由分布函数的性质由分布函数的性质得得典型例题分析典型例题分析1.已知联合分布函数，求解未知参数和区域概率已知联合分布函数，求解未知参数和区域概率 【【解解】】的边缘分布函数为的边缘分布函数为关于关于例例2:2:已知已知的的分布函数为分布函数为的边缘分布函数的边缘分布函数和和求求关于关于问问各各服从什么分布服从什么分布？？同理，同理，2.已知联合分布函数，求解边缘分布函数已知联合分布函数，求解边缘分布函数 •二维离散型随机变量二维离散型随机变量的概念的概念•二维离散型随机变量的联合分布律及其性质二维离散型随机变量的联合分布律及其性质•二维离散型随机变量的边缘分布律二维离散型随机变量的边缘分布律第二节第二节 二维离散型随机变量的概率分布二维离散型随机变量的概率分布•二维离散型随机变量的独立性二维离散型随机变量的独立性 定义定义: :若二维随机变量若二维随机变量的的所有可能取值所有可能取值是是有限对或可列无限多对时，则称有限对或可列无限多对时，则称为离散型随机变量为离散型随机变量。
一、二维离散型随机变量一、二维离散型随机变量的联合的联合分布律则称则称(1)(1)式为二式为二维维随机变量随机变量满足：满足： 二、二、 离散型随机变量的边缘分布律离散型随机变量的边缘分布律 设设的联合分布律为的联合分布律为则则关于关于的边缘分布律为的边缘分布律为记做记做记做记做同理同理 通常用以下表格表示通常用以下表格表示的的分布律和边缘分布律分布律和边缘分布律 典型例题分析典型例题分析1.1.求古典概型中二维随机变量的分布律求古典概型中二维随机变量的分布律例例1:1:箱内有箱内有6 6个球个球, ,其中红、白、黑球分别为其中红、白、黑球分别为1,2,31,2,3个，现个，现从箱中随机的取出从箱中随机的取出2 2球，记球，记 X 为取出的红球的个数，为取出的红球的个数，Y为为取出的白球的个数，取出的白球的个数，求（求（X,Y）的联合分布的联合分布解解】】 随机变量随机变量可能取值为可能取值为0,10,1；； 可能取值为可能取值为0,1,20,1,2；； 所以随机变量（所以随机变量（X ,Y）的联合分布律为）的联合分布律为随机变量随机变量X ,Y 的边缘分布律为的边缘分布律为 例例2.2.一袋中有四个球一袋中有四个球, ,上面分别标有数字上面分别标有数字1,2,2,3.1,2,2,3.从从袋中任取一球后不放回袋中任取一球后不放回, ,再从袋中任取一个球再从袋中任取一个球, ,以以分别表示第一、二次取得的球上标有的数字，求分别表示第一、二次取得的球上标有的数字，求的分布律。
的分布律解解】】可能取值均为可能取值均为1,2,3.1,2,3. 同理可得同理可得所以所以的的分布律为分布律为 0 1/6 1/12 1/6 1/6 1/6 1/12 1/6 0 1 2 3 1 2 3 2.2.已知边缘分布律，求解联合分布律已知边缘分布律，求解联合分布律【【解解】】 由题意可知由题意可知即即例例3:3:设随机变量设随机变量且且，则，则于是可得于是可得 下面将填写分布律表格下面将填写分布律表格所以所以 作业作业（（1 1））( (X, ,Y) )的联合分布律；的联合分布律；设随机变量设随机变量且且，求，求（（2 2）） 3.3.已知随机变量的概率分布，求函数的联合分布律已知随机变量的概率分布，求函数的联合分布律【【解解】】 由题意可知由题意可知的可能取值对为的可能取值对为于是于是例例4:4:设随机变量设随机变量求求的联合分布律和边缘分布律。
的联合分布律和边缘分布律记，记 于是联合分布律和边缘分布律为于是联合分布律和边缘分布律为事实上，边缘分布率还可以直接求解事实上，边缘分布率还可以直接求解同理可得同理可得 三、两个随机变量的独立性三、两个随机变量的独立性定义定义：若二维随机变量：若二维随机变量的分布律满足的分布律满足（（1 1）联合分布律为边缘分布律的乘积，即）联合分布律为边缘分布律的乘积，即或（或（2 2）） 记联合分布矩阵记联合分布矩阵若矩阵两行或两列对应成若矩阵两行或两列对应成比例，即比例，即则随机变量则随机变量 X 与与 Y 相互独立相互独立. . 例例5:5:设随机变量设随机变量相互独立，试确定相互独立，试确定其余其余值？值？【【解解】】因为因为相互独立，相互独立，则两行或两列对应成例，即则两行或两列对应成例，即首先，首先，解得解得解得解得又由归一性可得又由归一性可得，同时满足，同时满足解得解得 •二维连续型随机变量二维连续型随机变量的概念的概念•二维连续型随机变量的联合概率密度及其性质二维连续型随机变量的联合概率密度及其性质•二维连续型随机变量的边缘概率密度二维连续型随机变量的边缘概率密度第三节第三节 二维连续型随机变量的概率分布二维连续型随机变量的概率分布•二维连续型随机变量的独立性二维连续型随机变量的独立性 定义定义: :设二维随机变量设二维随机变量的的分布函数为分布函数为若存在若存在使得对任意实数使得对任意实数总有总有则称则称为为二维连续型随机变量二维连续型随机变量, ,称为称为的的概率密度概率密度, ,或称为随机变量或称为随机变量和和的的联合概率密度联合概率密度。
一、二维连续型随机变量一、二维连续型随机变量 ③③若若在点在点连续，则有连续，则有④④, ,即连续型随机变量在某点的即连续型随机变量在某点的概率为概率为0G 表示表示xOy平面上的区域平面上的区域, ,落在此区域上的概率相当于以落在此区域上的概率相当于以G为底为底, ,以曲面以曲面为为顶的曲顶柱体体积顶的曲顶柱体体积注：注：①①②②f (x , y) 的性质的性质: : 于是于是设设 为有效函数，为有效函数，为有效区域为有效区域1））X 型区域表示型区域表示Y 型区域表示型区域表示（归一性）（归一性）（（2 2））同时注意有效区域的表示同时注意有效区域的表示注：注：称称 二、连续型随机变量的边缘概率密度二、连续型随机变量的边缘概率密度若若是二维是二维连续型随机变量连续型随机变量, ,其概率密度为其概率密度为则则: :同理同理（关于（关于Y 的边缘概率密度的边缘概率密度））事实上，事实上，（关于（关于X 的边缘概率密度）的边缘概率密度） 已知联合概率密度求解边缘概率密度的难点为：已知联合概率密度求解边缘概率密度的难点为：若若的联合概率密度的有效区域的联合概率密度的有效区域 D 可以表示为可以表示为（（2 2））•自变量的有效区间自变量的有效区间•积分表达式上下限积分表达式上下限（（1 1）） 三、常见连续型分布三、常见连续型分布1.1.均匀分布均匀分布 2.二元正态分布二元正态分布 例例1:1:设二维随机变量设二维随机变量的的概率密度概率密度试求：试求：⑴⑴常数常数的的值；值；(2) (2) 概率概率【【解解】】 ⑴ ⑴ 由概率密度的性质由概率密度的性质得得, ,从而得从而得典型例题分析典型例题分析1.1.已知概率密度求解未知参数，或区域概率。
已知概率密度求解未知参数，或区域概率 （（2 2）将）将看作平面上随机点的坐标，有看作平面上随机点的坐标，有 作业作业: :设二维随机变量设二维随机变量的的概率密度为概率密度为则则 ( (X , Y) )服从的概率密度为服从的概率密度为例例2:2:设二维随机变量设二维随机变量为区域为区域 D 上的均匀分布，上的均匀分布，, ,则则其中其中【【解解】】则则 【【解解】】例例3.3.上上服从均匀分布服从均匀分布, ,密度密度的概率密度为的概率密度为x xy y0 01 12.2.已知联合概率密度，求解边缘概率密度函数已知联合概率密度，求解边缘概率密度函数 xy0 01 1y=x区域区域 G 用用 Y 型区域表示为型区域表示为于是于是 Y 的边缘概率密度函数为的边缘概率密度函数为 【【解解】】例例4 4: :已知已知, 求边缘求边缘概率密度函数概率密度函数. .区域区域 D 用用 X 型区域表示为型区域表示为于是于是 X 的边缘概率密度函数为的边缘概率密度函数为 区域区域 D 用用 Y 型区域表示为型区域表示为于是于是 Y 的边缘概率密度函数为的边缘概率密度函数为 作业作业: :已知已知 四、独立性四、独立性定理：若二维连续型随机变量（定理：若二维连续型随机变量（X , Y）的联合概率密度）的联合概率密度若二维连续型随机变量若二维连续型随机变量满足满足则随机变量则随机变量 X 与与 Y 相互独立相互独立. .其中其中 D 为矩形区域或是矩形开域，则为矩形区域或是矩形开域，则 X 与与Y 相互独立相互独立.注：这是判定独立性的依据。
注：这是判定独立性的依据 例例5 5 设随机变量设随机变量的概率密度为的概率密度为试问试问与与是否相互独立是否相互独立? ?解解 因为因为关于关于的边缘概率密度的边缘概率密度故故与与是相互独立的是相互独立的 第三章结束第三章结束请注意复习！请注意复习！ 。