第四节 三维图形的矩阵变换,,,,,,三维图形齐次坐标,,对三维空间立体进行各种变换时，也要用齐次坐标，即用四个分量,,,,,表示空间点变换前的位置向量,表示变换后点的位置向量，,表示正常化后点的位置向量,则空间点的位置向量变换可用下式表示,,,,,三维图形变换矩阵,上式中4×4变换矩阵可写成,进一步可把T矩阵分成四个子矩阵,这四个子矩阵的作用是：,3×3矩阵使立体产生比例、反射、旋转和错切变换1×3矩阵使立体产生平移变换3×1矩阵使立体产生透视变换1×1矩阵使立体产生整体比例变换一、平移变换,,平移变换：使立体在空间平行移动一个位置，在平移过程中立体形状不发生改变平移变换矩阵就是在单位矩阵中加入平移参数：,,L ——X坐标的平移量； M ——Y坐标的平移量； N ——Z坐标的平移量空间点位置向量的平移变换,,,,,,,,三维图形平移变换实例,,将立体M沿X方向平移5，Y方向平移8，Z方向平移12，已知立体M的矩阵表示为,,,,,,,立体图形的平移变换,,,,,,,二、比例变换,把立体各点的坐标按某一比例放大或缩小的变换称为比例变换 在 的变换矩阵中，主对角线上的元素A、E、J分别起着X、Y、Z坐标的局部比例变换的作用，而元素S起整体比例变换的作用。
1.局部比例变换矩阵,,,,,局部比例变换矩阵为,如对空间点的位置向量进行局部比例变换，则,,,局部比例变换实例,对单位立方体M进行A=1，E=3，J=2的局部比例变换，已知立方体M矩阵表示式为,,,,,,,局部比例变换实例,则局部比例变换矩阵可写成,,,,,,2.整体比例变换矩阵,整体比例变换矩阵为,,,,当S1时，是缩小的整体比例变换 当S1时，是放大的整体比例变换整体比例变换实例,对单位立方体M进行整体比例变换，其比例元素S=1/2三、旋转变换,旋转变换是使立体绕某轴转过一个角度经过旋转变换后，立体只改变它的空间位置，而它的形状不起任何变化 可以选用坐标轴作为旋转轴，也可以选用空间任意倾斜直线作为旋转轴在此只讨论绕坐标轴旋转的情况 规定旋转方向采用右手定则，即大拇指指向为旋转轴的正向，其余四个手指表示旋转方向，旋转方向为正，反之为负1．绕X轴旋转,X分量不变,,,,,,,故旋转变换矩阵可写成,Y分量,Z分量,,立体绕X轴旋转实例,例 将图13-22的立体M绕X正向转90°角，已知立体M的矩阵表示式为,,,,,,立体绕X轴旋转实例,旋转变换矩阵,,,,,,,2．绕Y轴旋转,图中物体的坐标轴绕Y轴正向旋转 角时,,,,,,Y分量不变,,X分量,,Z分量,,故旋转矩阵可写成,,3．绕Z轴旋转,图中物体的坐标轴绕Z轴正向旋转角ψ时,,,,,Z分量不变,,X分量,,Y分量,,故旋转矩阵可写成,,四、正投影变换,矩阵,,,,,,中第一、二、三列元素分别主管X、Y、Z三坐标方向的变换，为了得到空间立体对投影面V(正面)、H(水平面)、W(侧面)的正投影，我们只要令矩阵这方面的那一列元素为零就可以了。
例如立体向V面进行投影，可令第二列元素为零，因为第二列元素主管Y坐标的变化变换后使立体各点的Y坐标都为零，从而实现了对V面的投影，即,V面投影的变换矩阵,立体向V面投影的变换矩阵，可使第二元素为零，即,,,,,,H面投影的变换矩阵,立体向H面投影的变换矩阵，可使第三元素为零，即,,,,,W面投影的变换矩阵,立体向W面投影的变换矩阵，可使第一列元素为零，即,,,,,,立体的正投影变换实例,例 将图13-25的立体M对V面进行正投影变换（即作物体M的正面投影）已知立体M的矩阵表示为,,,,,,,立体的正投影变换实例,,,,,,,第五节 三视图矩阵变换,根据国家标准规定，我国机械图样采用第一角画法，其坐标体系及三视图的配置如图,,,,,,,一、三视图的组合变换方法,三视图可以用两种方法得到： 1）一种是先用正投影矩阵将物体分别投影到三个投影面V、H 、W面上，然后再用旋转矩阵将H面投影和W面投影展平到V面上；,,,,,,三视图的组合变换方法,2）另一种方法是先将物体绕坐标轴（X或Z）旋转90°，然后向V面进行正投影同上面的步骤相反，但这两种方法最后的变换结果都是一样的 为了不使三个视图紧紧的挤在一起，按上述方法之一得到三视图以后，还应进行视图平移。
移动的方法是这样的：V面视图不动，将H面视图向下方移动一段距离，将W面视图向右方移动一段距离即可 下面我们按“先投影、再旋转”的方法来得到三视图的变换矩阵1.主视图变换矩阵,主视图是将立体直接向V面（XOZ面）进行正投影变换得到的，因此主视图既不用旋转也不需要平移其变换矩阵为：,,,,,,2．俯视图变换矩阵,将立体直接向H面进行正投影，再将所得到的H投影绕X轴反方向旋转90°，然后沿Z轴向下平移距离N，使V、H两投影保持N间距，因此俯视图变换矩阵为：,,(向H面投影) (绕X轴旋转-90°)(沿Z轴平移-N),,,,,3．左视图变换矩阵,将立体直接向W面投影，再将所得到的W投影绕Z轴正方向旋转90°，然后沿X轴向右（负方向）平移距离L，以使V、W两投影保持L间距，因此左视图变换矩阵为：,,(向W面投影) (绕Z轴旋转+90°)(沿X轴平移-L),,,,,二、应注意的问题,1．我们所得到的三视图是按第一角的空间三面投影体系得到的，所以立体的各顶点坐标(X，Y，Z)应按此坐标系给出 2．立体各顶点的三维坐标经过三视图矩阵变换后成为二维坐标，因为最后得到的三视图均在V面上，即XOZ面上，所以变换后平面图形（视图）的各顶点的二维坐标为X坐标和Z坐标，也就是说，经过视图变换所得到的三视图，实际上是一组在XOZ坐标系中的二维图形。
3．这一组二维图形所在的XOZ坐标系与屏幕坐标系刚好相反，如图13-27所示因此在画图时，应将变换后的图形各点的坐标转换为屏幕坐标视图变换,例如，立体上某一顶点P，视图变换后的二维坐标为 ，则其屏幕坐标应为,,,和 是空间三面投影体系的坐标原点在屏幕坐标系中的位置坐标其值决定了三个视图在屏幕中的位置，两值改变，则三个视图也随之一起改变（移动）第六节 轴测图矩阵变换,将空间物体在下图直角坐标系中，先逆时针绕Z轴旋转+θ角，再顺时针针绕X轴旋转-φ角，然后向V面（XOZ面）进行正投影，即可获得该物体具有立体感的一般正轴测投影正轴测图投影的变换矩阵,按上述顺序，正轴测图投影的变换矩阵为,,(绕Z轴转+θ) (绕X轴转－φ) (向V面投影),,,,,,正轴测图投影的变换,只要任意给出θ和φ角，代入上述变换矩阵中，再用空间立体的点集乘以这个变换矩阵，就可以方便地得到该物体的任意正轴测投影的点集。