第四章 矩阵的分解 本章我们主要讨论矩阵的四种分解：矩阵的三角分解，QR分解，满秩分解，奇异值分解4.1 矩阵的三角分解 4.1.1 三角分解及其存在唯一性问题,定义 4.1 设 ，如果存在下三角矩阵 和上三角矩阵 使得A=LU，则称A可以作三角分解定理表明并不是每个可逆矩阵都可以作三角分解如 不能作三角分解定义4.2 将L是单位下三角矩阵的LU三角分解 称为矩阵的Doolittle分解将U是单位上三角 矩阵的LU三角分解称为矩阵的Crout分解若 A=LDR，其中L是单位下三角矩阵，D是对角 矩阵， U是单位上三角矩阵，则称为A的LDR 分解4.1.2 三角分解的紧凑计算格式,练习1：将 分解为 ，其中 为单位 下三角矩阵， 为上三角矩阵练习2：将 分解为 ，其中 为正线 下三角矩阵定义： 设 ，如果存在n阶酉矩阵Q 和n阶上三角矩阵R，使得 则称之为A的QR分解或酉-三角分解当 时，称为A的正交三角分解4.2 矩阵的QR分解,定理4.8 任意 都可以作QR分解。
定理4.9 设 ，则A可唯一分解为 其中Q是n阶酉矩阵， 是具有正对角元的上三角矩阵证明：先证明分解的存在性将矩阵 按列分块得到 由于 ，所以 是线性无关的利用Schmidt正交化与单位化方法，先得到一组正交向量组,再单位化，这样得到一组标准正交向量组,并且向量组之间有如下关系,其中 ，于是有,其中 ，,显然矩阵 是一个正线上三角矩阵 下面考虑分解的唯一性设有两种分解式,那么有 注意到 是酉矩阵，而 是一个对角线元素为正的上三角矩阵，可知 因此有,例1 ：求下列矩阵的正交三角分解,解：首先判断出 ，由定理可知必存在 ，及三阶正线上三角矩阵 使得 .,4.3. 矩阵的满秩分解 定理1：设 ，如果存在,使得 ，则称此为 的满秩分解 证明：假设矩阵 的前 个列向量是线性无关的，对矩阵 只实施初等行变换可以将其化成,即存在 使得 于是有 其中,如果 的前 列线性相关，那么只需对 作初等列变换使得前 个列是线性无关的。
然后重复上面的过程即可这样存在 且满足,,,从而,其中 例 分别求下面三个矩阵的满秩分解,,,解 （1）对此矩阵只实施初等行变换可以得到,由此可知 ，选取,（2）对此矩阵只实施初等行变换可以得到 即 选取,（3）对此矩阵只实施初等行变换可以得到,所以 ，选取,选取行最简形矩阵中1元所在的列所对应的 中列向量构成列满秩矩阵，选取行最简形矩阵中的所有非零行构成行满秩矩阵 注意：满秩分解不唯一，即有 但是不同的分解形式之间有如下联系： 定理：如果 均为矩阵 的满秩分解，那么 （1） 存在矩阵 满足,（2）,定义：设 ， 的特征值为 则称 为矩阵 的奇异值4.4 矩阵的奇异值分解,定义：设 ，若存在m阶酉矩阵 和n阶酉矩阵 ，使得 则称 与 酉等价例 求下列矩阵的奇异值,解 （1）由于 显然 的特征值为5，0，0，所以 的奇异值为 （2）由于,显然 的特征值为 2，4，所以 的奇异值为 。
定理 酉等价矩阵具有相同的奇异值 定理 设 ， 是 的 个非0奇异值，那么存在 阶酉矩阵 和 阶酉矩阵 使得,其中,将上式改写为 ，称之为 的奇异值分解因为 是一个Hermite阵，所以存在 阶酉矩阵 且满足 将酉矩阵 按列进行分块，记,证明： 由于 ，所以 的特征值为,其中 于是有 从而有,令 ，则有,选取 使得 是酉 矩阵，即有,即 的 个列是两两正交的单位向量另外，有,由上述式子可得,这里，要注意 如何求此分解表达式？,例 ：求下列矩阵的奇异值分解表达式,解 :（1）容易计算 的特征值为5，0，0，所以 的非零奇异值为 下面计算 的标准正交特征向量，解得分别与 5，0，0对应的三个标准正交特征向量,由这三个标准正交特征向量组成矩阵 ，所以有,令 ，其中,选取 ，使得 为酉矩阵。
于是可得奇异值分解式为,（2）,练习：求下面矩阵的奇异值分解式,使得 且这样的分解式是唯一的同时有 称分解式 为矩阵 的极分解表达式定理： 设 ，那么必存在酉矩阵 与正定的H-矩阵,4. 5 矩阵的极分解,与半正定H-矩阵 使得 且满足 证明：根据矩阵的奇异值分解定理可知， 存在酉矩阵 使得,定理：设 ，则存在,其中 ， 为 的 个奇异值于是有,如果令,从而有 其中 是半正定的H-矩阵， 是 酉矩阵 由上面的结论可以给出正规矩阵的另外一种刻划 定理：设 ，则 是正规矩阵的充分必要条件是,其中 是半正定的H-矩阵， 是酉矩阵，且 4.6 矩阵的谱分解 我们主要讨论两种矩阵的谱分解：正规矩阵与可对角化矩阵 设 为正规矩阵，那么存在 使得,其中 是矩阵 的特征值 所对应的单位特征向量我们称上式为正规矩阵 的谱分解表达式设正规矩阵 有 个互异的特征值 ，特征值 的代数重数为 ， 所对应的个两两正交的单位特征向量为 ，则 的谱分解表达式又可以写成 其中 ，并且显然有,有上面的谱分解表达式又可以给出正规矩阵的一种刻划。
定理： 设 为一个 阶矩阵，其有 个互异的特征值 ， 的代数重数为 ， 那么 为正规矩阵的充分必要条件是存在 个 阶矩阵 且满足,（6）满足上述性质(2),(3)的矩阵 是唯一的我们称 为正交投影矩阵 例 1 ： 求正规矩阵,的谱分解表达式 解：首先求出矩阵 的特征值与特征向量容易计算,从而 的特征值为 当 时，求得三个线性无关的特征向量为,当 时，求得一个线性无关的特征向量为 将 正交化与单位化可得,将 单位化可得： 于是有,这样可得其谱分解表达式为,例 2 ： 求正规矩阵 的谱分解表达式 解：首先求出矩阵 的特征值与特征向量容易计算,从而 的特征值为 可以求出分别属于这三个特征值的三个线性无关的特征向量,再将其单位化可得三个标准正交的特征向量 于是有,这样可得其谱分解表达式为,练习：求正规矩阵 的谱分解表达式 下面我们讨论可对角化矩阵的谱分解表达式设 是一个 阶可对角化的矩阵，特征值为 ，与其相应的特征向量分别为 ，如果记 那么,由于 ，所以有,又由于 ，从而,现在观察矩阵 与列向量 之间的关系：,这说明矩阵 的列向量是矩阵 的特征向量。
另外注意到 可对角化矩阵的谱分解步骤： （1）首先求出矩阵 的全部互异特征值 及每个特征值 所决定的线性无关特征向量 （2）写出 （3）令,（4）最后写出 例 ：已知矩阵,为一个可对角化矩阵，求其谱分解表达式 解: 首先求出矩阵 的特征值与特征向量容易计算 从而 的特征值为 可以求出分别属于这三个特征值的三个线性无关的特征向量,于是,取,那么其谱分解表达式为,（1） 取何值时， 可以对角化? （2）当 可对角化时，求可逆矩阵 使得 为对角矩阵 （3）当 可对角化时，求其谱分解表达式练习： 设矩阵,。