2025年专升本数理统计专项训练考试时间：______分钟 总分：______分 姓名：______一、 选择题：本大题共5小题，每小题3分，共15分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 设事件A与B互斥，P(A)>0, P(B)>0，则下列结论正确的是（ ） （A） A与B独立 （B） A与B互为对立事件 （C） A与B不可能独立 （D） P(AB)=P(A)P(B)2. 设随机变量X的密度函数为 f(x) = { c/x^2, x>1; 0, 其他 }，则常数c等于（ ） （A） 1 （B） 1/2 （C） 1/3 （D） 1/43. 设随机变量X~N(μ, σ²)，Y=aX+b，则Y服从的分布为（ ） （A） N(μ, σ²) （B） N(aμ+b, a²σ²) （C） N(μ+a, σ²/b) （D） N(aμ+b, σ²/b)4. 设X₁, X₂, ..., Xn是来自总体X的简单随机样本，X~N(μ, σ²)，则统计量 ∑(i=1 to n)(Xᵢ - X̄)²/n 服从的分布是（ ）。
其中 X̄ 为样本均值） （A） N(0, 1) （B） t(n-1) （C） χ²(n-1) （D） χ²(n)5. 在假设检验 H₀: μ=μ₀ vs H₁: μ≠μ₀ 中，若选用的检验统计量服从t分布，则样本来自的总体应该满足的条件是（ ） （A） 总体服从正态分布，且方差已知 （B） 总体服从正态分布，且方差未知 （C） 总体服从二项分布，且n较大 （D） 总体服从泊松分布二、 填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分6. 设事件A, B, C相互独立，且 P(A)=0.5, P(B)=0.6, P(C)=0.7，则 P(A∪B∪C) = _______ 7. 设随机变量X的分布律为：P(X=k) = (k+1)/15, k=1, 2, 3，则 E(X) = _______ 8. 设随机变量X~B(n, p)，且 E(X)=6, Var(X)=4，则 np = _______ ，1-p = _______ 9. 设X~N(0, 1)，Y=X²，则 Y 的密度函数 f(y) = _______ ，(y≥0)10. 从总体X中抽取容量为n的样本，若用样本方差 S² 估计总体方差 σ²，则 S² 是 σ²的 _______ 估计量。
填“无偏”、“有偏”）三、 计算题：本大题共4小题，共50分11. （本题10分）设随机变量X的概率密度函数为 f(x) = { kx, 0
取显著性水平 α=0.05，完成检验过程（需计算检验统计量的值并给出结论） （2） 若要求检验的犯第二类错误的概率β不大于0.1，当真实发病率 p=0.06 时，样本量n是否足够？（提示：可从不满足n足够大的条件角度考虑）---试卷答案一、 选择题1. C2. C3. B4. D5. B二、 填空题6. 0.9327. 5/3 或 1.66678. 6, 2/39. 2/(πy^(1/2)), y>010. 无偏三、 计算题11.（1） 解：由 f(x) 的非负性和归一性，∫[0,2] kx dx = 1 计算积分：k * [x²/2] from 0 to 2 = k * (4/2 - 0) = 2k = 1 解得 k = 1/22） 解：P(1
2） 解：因为总体方差σ²已知，所以用Z检验 置信水平为95%，查Z分布表得临界值 Z_(α/2) = Z_0.025 = 1.96 置信区间公式：(X̄ - Z_(α/2) * σ/√n, X̄ + Z_(α/2) * σ/√n) 代入数据：(7 - 1.96 * 4/√9, 7 + 1.96 * 4/√9) = (7 - 1.96 * 4/3, 7 + 1.96 * 4/3) = (7 - 2.544, 7 + 2.544) = (4.456, 9.544)13.（1） 解：因为总体方差σ²未知，所以用t检验 样本量 n=16，自由度 df=n-1=15 置信水平为90%，查t分布表得临界值 t_(α/2) = t_0.05 = 1.753 样本标准差 S = 300，样本均值 X̄ = 2000 置信区间公式：(X̄ - t_(α/2) * S/√n, X̄ + t_(α/2) * S/√n) 代入数据：(2000 - 1.753 * 300/√16, 2000 + 1.753 * 300/√16) = (2000 - 1.753 * 300/4, 2000 + 1.753 * 300/4) = (2000 - 1.753 * 75, 2000 + 1.753 * 75) = (2000 - 131.475, 2000 + 131.475) = (1868.525, 2131.475)。
2） 解：因为总体方差σ²已知，所以用Z检验 置信水平为90%，查Z分布表得临界值 Z_(α/2) = Z_0.05 = 1.645 总体方差σ²=900000，σ=√900000=300√10 样本均值 X̄ = 2000 置信区间公式：(X̄ - Z_(α/2) * σ/√n, X̄ + Z_(α/2) * σ/√n) 代入数据：(2000 - 1.645 * 300√10/√16, 2000 + 1.645 * 300√10/√16) = (2000 - 1.645 * 300√10/4, 2000 + 1.645 * 300√10/4) = (2000 - 1.645 * 75√10, 2000 + 1.645 * 75√10) = (2000 - 123.375√10, 2000 + 123.375√10)14.（1） 解：检验假设 H₀: p=0.05 vs H₁: p≠0.05 检验统计量：Z = (p̂ - p₀) / √(p₀(1-p₀)/n) 其中，样本量 n=100，样本中患病人数 x=5，样本频率 p̂ = x/n = 5/100 = 0.05。
参数 p₀ = 0.05，n = 100 代入计算检验统计量： Z = (0.05 - 0.05) / √(0.05 * (1 - 0.05) / 100) = 0 / √(0.05 * 0.95 / 100) = 0 / √(0.0475 / 100) = 0 / √0.000475 = 0 / 0.0218 = 0 显著性水平 α=0.05，对于双侧检验，临界值 Z_(α/2) = Z_0.025 = 1.96 因为 |Z| = 0 < 1.96，所以不拒绝原假设 H₀ 结论：在显著性水平0.05下，没有充分证据表明该疾病的发病率与0.05有显著差异2） 解：当真实发病率 p=0.06 时，犯第二类错误的概率 β=P(不拒绝 H₀ | H₁ 为真) 需要检验的假设为 H₀: p=0.05 vs H₁: p=0.06 当 H₁ 为真（p=0.06）时，检验统计量 Z 的分布为 N(0, 1) 不拒绝 H₀ 意味着 Z 的值落在接受域内，即 |Z| < 1.96 因此，β = P(-1.96 < Z < 1.96 | p=0.06)。
在 p=0.06 时，Z 的密度函数为 f(z) = (1/√(2π)) * exp(-z²/2) β = ∫[-1.96, 1.96] (1/√(2π)) * exp(-(z - (0.06*sqrt(0.05*0.95)/sqrt(100)))²/2) dz 由于真实的p=0.06与原假设p=0.05相差不大，且样本量n=100相对较小，计算表明此积分值β会比较大 通常，要求 β ≤ 0.1，意味着需要更大的样本量n才能满足这个要求对于 p=0.06 的情况，n=100可能不足以使 β ≤ 0.1 因此，当真实发病率 p=0.06 时，样本量n=100不满足要求，即n不够大。