[研究生入学考试题库]考研数学三分类模拟113一、填空题问题:1. 微分方程y'+ytanx=cosx的通解为______．答案:(x+C)cosx．问题:2. 微分方程ydx+(x2-4x)dy=0的通解为______．答案:(x-4)y4=Cx．问题:3. 微分方程y"+y=-2x的通解为______．答案:y=-2x+C1cosx+C2sinx．问题:4. 微分方程y"-2y'+2y=ex的通解为______．答案:y=ex(C1cosx+C2sinx+1)．问题:5. 已知曲线y=f(x)过点且其上任一点(x，y)处的切线斜率为xln(1+x2)，则f(x)=______．答案: 二、解答题问题:1. 已知y1=xex+e2x，y2=xex+e-x，y3=xex+e2x-e-x是某二阶线性非齐次常系数微分方程的三个解，求此微分方程及其通解．答案:[解] 由线性微分方程的解的结构定理可得 y1-y3=e-x，y1-y2=e2x-e-x，(y1-y3)+(y1-y2)=e2x 是该方程对应的齐次方程的解，由解e-x与e2x的形式，可得齐次方程的特征方程的特征根 为λ1=-1，λ2=2，则特征方程为λ2-λ-2=0，即齐次方程为y"-y'-2y=0． 设该方程为y"-y'-2y=f(x)，代入y1=xex+e2x，得f(x)=(1-2x)ex．所以该方程为 y"-y'-2y=(1-2x)ex． 其通解为 C1e-x+C2e2x+xex+e2x． 求解下列微分方程：2. f(xy)ydx+g(xy)xdy=0；答案:[解] 令u=xy，求微分得du=xdy+ydx，代入方程 3. xy'-y[ln(xy)-1]=0；答案:[解] 令u=xy，u'=y+xy'，代入原方程得 4. 答案:[解] 令 x2+y2=u，则2x+2yy'=u'， 求解下列微分方程：5. 答案:[解] 令y=ux，dy=udx+xdu，代入原方程，经整理，得 6. 答案:[解] 令y'=u+xu'，代入原方程，得 7. 答案:[解] 求解下列微分方程：8. 答案:[解] 解方程组 令X=x+2，Y=y+3代入原方程 变量还原，得 9. 答案:[解] 令y2=η，x2=ξ，则方程变为 解方程组 令X=ξ-2，Y=η-1， 代入①得 对③式两边积分 变量还原，得 x2+y2-3=C(x2-y2-1)5． 10. (x-2siny+3)dx-(2x-4siny-3)cosydy=0．答案:[解] 原方程(x-2siny+3)dx-(2x-4siny-3)d(siny)=0， 令siny=z，则方程 再令x-2z=u， 两边积分3u-u2=9x+C， 变量还原得 3(x-2siny)-(x-2siny)2=9x+C． 求解下列微分方程：11. 答案:[解] 令y=ux，y'=u+xu'， 将初始条件y(-1)=0代入上式，得C=0， 故方程的解为 12. (x2+2xy-y2)dx-(y2+2xy-x2)dy=0，y(1)=1；答案:[解] 13. 答案:[解] 求解下列微分方程：14. (x+1)y'-ny=(1+x)n+1exsinx；答案:[解] 化为标准方程 ②令y=C(x)(x+1)n为方程①的解，代入并整理得 ③原方程的通解 15. y'+siny+xcosy+x=0；答案:[解] ②设u=C(x)e-x为①的解，代入并整理，得 ③方程①的解 原方程的解 16. 答案:[解] 将x看作因变量，y看做自变量，则 ②令x=C(y)esiny为方程①的解，代入并整理，得 ③方程①也即原方程的通解为 设a，b为正整数，λ为非负数，微分方程17. 求该方程的通解．答案:[解] 通解为 18. 证明：当λ=0时， 当λ＞0时， 答案:[解] 当λ=0时， 当λ＞0且λ≠a时， 当λ＞0且λ=a时，y(x)=(bx+c)e-ax， 问题:19. 当0≤x≤b时，函数f(x)满足f'(x)=p(x)f(x)，f(0)=a；函数g(x)满足g'(x)≥p(x)g(x)，g(0)=a． 证明：g(x)≥f(x)，0≤x≤b． 答案:[证] 令F(x)=g(x)-f(x)，F(0)=0， F'(x)=g'(x)-f'(x)≥p(x)g(x)-p(x)f(x) =p(x)[g(x)-f(x)]=p(x)F(x)， 即F'(x)-p(x)F(x)≥0，有 即单调增加． 当0≤x≤b时，G(x)≥G(0)=0，所以，F(x)≥0，即g(x)≥f(x)，0≤x≤b． 解下列微分方程：20.答案:[解] ②令z=C(x)x2为方程①的解，代入并整理，得 ③原方程的通解为 21.答案:[解] ②设为①的解，代入并整理，得 ③原方程的通解 22. xydx=(2x2-y4)dy．答案:[解] 令z=C(y)y4为方程②的解，代入并整理，得 方程②的解为 原方程的通解为 问题:23. 设函数f(x)在[0，+∞)上连续，且f(0)＞0，已知它在[0，x]上的平均值等于f(0)与f(x)的几何平均值，求f(x)．答案:[解] 由题意得 有两边求导，得 即得 可求得 解下列微分方程：24. y"+4y'+4y=eax，其中a为实数；答案:[解] ①对应的特征方程为λ2+4λ+4=0，特征值λ1=λ2=-2，对应的齐次方程的通解为 y=(C1+C2x)e-2x． ②非齐次方程的一个特解y*为 故非齐次方程的通解为 25. y"+a22y=sinx，其中a＞0的常数；答案:[解] ①特征方程为λ2+a2=0，特征值λ=±ai，对应的齐次方程的通解为 y=C1cosax+C2sinax． ②非齐次方程的一个特解为 故非齐次方程的通解为 26. y"-4y'+4y=(1+x+…+x23)e2x．答案:[解] 特征方程为 ， 对应齐次方程通解为 y(x)=e2x(C1+C2x)． 非齐次方程特解 故原方程的通解为 解下列微分方程：27. y'''-y=sinx；答案:[解] 特征方程 λ3-1=0，即(λ-1)(λ2+λ+1)=0 对应齐次方程的通解为 非齐次方程特解为 故原方程通解为 28. y'''+y"+y'+y=cos3x；答案:[解] 特征方程为 对应齐次方程的通解为 y(x)=C1e-x+C2cosx+C3sinx． 非齐次方程的特解为 故原方程的通解为 29. y'''-2y"-3y'=x2+2x-1；答案:[解] 特征方程为 对应齐次方程通解为 y(x)=C1+C2e-x+C3e3x 非齐次方程特解为 故原方程的通解为 30. y"-6y'+9y=(x+1)e3x；答案:[解] 特征方程为 对应齐次方程的通解为 y(x)=e3x(C1+C2x)． 非齐次方程特解为 故原方程的通解为 31. y"-2y'+2y=xexcosx．答案:[解] 特征方程为 对应齐次方程的通解为 y(x)=ex(C1cosx+C2sinx)． 非齐次方程的特解为 因为cosx是eix的实部，所以先求再取实部，即得 故原方程的通解为 问题:32. 求初值问题y"+y=3|sin2x|， 答案:[解] 易求得齐次方程的通解为y=C1cosx+C2sinx．当时，方程为y"+y=3sin3x，可求得其特解为y1*=-sin2x，于是它的通解为 y=C1cosx+C2sinx-sin2x， 代入时，特解为 由该特解可得y(0)=0，可将它作为当时，方程y"+y=-3sin2x的初始条件，易求得当时，该方程的通解为 y=C1cosx+C2sinx+sin2x． 代入y(0)=0，该方程的特解为 于是原方程在初始条件下的特解为 问题:33. 求解差分方程yx+1+2yx=5x2．答案:[解] 特征方程 对应齐次方程通解 yA=C(-2)x， 令非齐次方程的一个特解为 将其代入方程 B0+B1(x+1)+B2(x+1)2+2(B0+B1x+B2x2)=5x2． 整理得 3B0+B1+B2+(3B1+2B2)x+3B2x2=5x2， 比较同次项系数，得 特解 故非齐次方程通解为 问题:34. 求差分方程yx+1-yx=2x2的通解．答案:[解] 特征方程 λ-1=0，λ=1，从而得yA=C(1)λ=C． 令非齐次方程的一个特解为 将其代入方程，整理得 故通解为 问题:35. 求解差分方程 答案:[解] 特征方程λ-2=0，于是yA=C(2)x=C2x， 非齐次方程的一个特解 故通解为 问题:36. 求解差分方程yx+1-5yx=-3．答案:[解] 特征方程λ-5=0，于是对应齐次方程通解yA=C5x． 非齐次方程的一个特解 故通解为 问题:37. 求差分方程yx+1-yx=x2x的通解．答案:[解] 特征方程λ-1=0，λ=1，齐次方程通解yA=C，2不是特征根，因此令非齐次方程的特解为 于是 非齐次方程的一个特解 故非齐次方程的通解 yx=C+2x(x-2)． 问题:38. 求差分方程yx+1-2yx=x2x的通解．答案:[解] 特征方程λ-2=0，特征根λ=2，由于b=2为特征根，因此，令非齐次方程的特解为 于是 非齐次方程的一个特解为 故非齐次方程的通解为 y=C·2x+2x-2(x2-x)． 问题:39. 已知曲线过(1，1)点，如果把曲线上任一点P处的切线与y轴的。