多项式长除法是代数中的一种算法，用一个同次或低次的多项式去除另一个多项式是常见算数技巧长除法的一个推广版本它可以很容易地手算，因为它将一个相对复杂的除法问题分解成更小的一些问题例计算写成以下这种形式：然后商和余数可以这样计算：1. 将分子的第一项除以分母的最高次项〔即次数最高的项，此处为*〕结果写在横线之上(*3÷* = *2).2. 将分母乘以刚得到结果〔最终商的第一项〕，乘积写在分子前两项之下 (*2· (*− 3) = *3− 3*2).3. 从分子的相应项中减去刚得到的乘积〔注意减一个负项相当于加一个正项〕，结果写在下面3− 12*2) − (*3− 3*2) = −12*2 + 3*2 = −9*2)然后，将分子的下一项“拿下来〞4. 重复前三步，只是现在用的是刚写作分子的那两项5. 重复第四步这次没什么可以“拿下来〞了横线之上的多项式即为商，而剩下的 (−123) 就是余数算数的长除法可以看做以上算法的一个特殊情形，即所有*被替换为10的情形除法变换使用多项式长除法可以将一个多项式写成除数-商的形式〔经常很有用〕考虑多项式P(*), D(*) 〔(D)的次数 < (P)的次数〕。
然后，对*个商多项式Q(*) 和余数多项式R(*) 〔(R)的系数 < (D)的系数〕，这种变换叫做除法变换，是从算数等式.[1]得到的应用:多项式的因式分解有时*个多项式的一或多个根，可能是使用rational root theorem得到的如果一个 n 次多项式 P(*) 的一个根 r ，则 P(*) 可以使用多项式长除法因式分解为 (*-r)Q(*) 的形式，其中 Q(*) 是一个 n-1 次的多项式简单来说，Q(*) 就是长除法的商，而又知 r 是 P(*) 的一个根、余式必定为零相似地，如果不止一个根是的，比方 r 和 s 这两个，则可以先从 P(*) 中除掉线性因子 *-r 得到 Q(*)，再从 Q(*) 中除掉 *-s，以此类推或者可以一次性地除掉二次因子 *2-(r+s)*+rs使用这种方法，有时超过四次的多项式的所有根都可以求得，虽然这并不总是可能的例如，如果 rational root theorem 可以用来求得一个五次方程的一个〔比例〕根，它就可以被除掉以得到一个四次商式；然后使用四次方程求根的显式公式求得剩余的根寻找多项式的切线多项式长除法可以用来在给定点上查找给定多项式的切线方程。
[2]如果 R(*) 是 P(*)/(*-r)2的余式——也即，除以 *2-2r*+r2——则在 *=r 处 P(*) 的切线方程是 y=R(*)，不管 r 是否是 P(*) 的根§2 一元多项式及整除性下面主要讨论带余除法，最大公因式，互素的性质，因式分解，重根判定，求有理根的方法学习本章应掌握：求最大公因式，求有理根的方法定义4 设是一个数域，是一个文字，形式表达式其中是数域中的数，是非负整数〕称为数域上的一元多项式，通常记为称为次项的系数例如：是多项式不是多项式，因为不是非负整数定义5 如果数域上多项式，同次项系数都相等，称与相等记为：=一个多项式里可以人员添上系数为0的项，约定定义6 在〔1〕中如果，称为多项式的次数，记为零多项式不定义次数下面给出多项式加法与乘法：设是数域是的多项式易验证多项式加法与乘法满足以下算律：加法交换律：加法结合律：乘法交换律乘法结合律乘法对加法的分配律关于多项式次数，我们有定理2 设，是数域上的两个多项式，则(1) 当+时+(2) 当时证明：略明显地利用定理5不难证明推论：假设则Top of Form一个三位数 1：三个数相加为202：百位上的数字比十位上的数大5。
3：个位上的数是十位上数的3倍，这个3位数是什么.Bottom of FormTop of Form设十位数为*，百位数〔*+5〕，各位3*相加为20，所以*+*+5+3*=20所以*=3，也就是839.第五讲多项式1.(一、多项式的整除概念)2.(二、最大公因式)(本页)3.(三、多项式的因式分解)4.(四、重因式五、多项式的函数)5.(六、复与实系数多项式的因式分解)6.(七、有理数域上的多项式)如果多项式既是的因式, 又是的因式, 则称为与的公因式.定义 3设. 如果上多项式满足以下条件:(1) 是与的公因式;(2) 与的任何公因式都是的因式,则称是与的一个最大公因式.引理如果有等式成立, 则, 和, 有一样的公因式.由于在上述引理中,我们可得到次数比的次数小的. 因此求, 的最大公因式的问题可转化为求次数低一些的一对多项式, 的最大公因式的问题. 如此下去, 这就是下面辗转相除法的思想.定理 3数域上任意两个多项式与一定有最大公因式, 且除相差一个非零常数倍外, 与的最大公因式是唯一确定的, 且与的任意最大公因式都可以表示成与的一个组合, 即有中的多项式, 使得当与不全为零时, 其最大公因式, 而与的任一最大公因式必为的形式, 其中为上非零数. 在这些最大公因式中有唯一的一个首项系数是1, 我们用来表示. 如果, 则最大公因式只有一个零多项式, 记作 (0,0)=0.例 2设求, 并把它表示成, 的一个组合.解用辗转相除法:第一步: 用除, 得商, 余式.第二步: 用除, 得商, 余式.第三步: 用除, 得商, 余式.最后一个不为0的余式是, 所以最终得:定义 4如果的最大公因式, 则称与互素.定理4两个多项式互素的充分必要条件是存在, 使得证明必要性如果与互素, 则. 由定理3, 存在, 使得充分性. 如果令是与的最大公因式. 于是从而, . 故必为零次多项式. 所以与互素.互素多项式的一些性质(1) 假设, 且, 则.(2) 假设, , 且, 则(提示5.2)我们可以自然地把最大公因式及互素等概念推广到任意多个多项式的情况.定义 5设(). 如果多项式满足以下两个条件:(1) ;(2) 的任何公因式都是的因式. 则称是的最大公因式.如果全等于0, 则其最大公因式等于0, 否则, 它们的最大公因式不等于0. 与的情况一样, 可知它们的任意两个最大公因式只差一个非零常数倍. 我们仍用表示它们中首项系数为1的最大公因式. 则有定理 5该定理告诉我们, 求多个多项式的最大公因式问题最终可归结为求两个多项式的最大公因式问题.例 3设, , . 求解利用定理5来计算. 由计算可知所以, .第二章多项式2.1 一元多项式的定义和运算2.2 多项式的整除性2.3 多项式的最大公因式2.4 多项式的分解2.5 重因式2.6 多项式函数多项式的根2.7 复数和实数域上多项式2.8 有理数域上多项式返回教案总目录2．2多项式的整除性一、教学思考1、在，除法不是永远可以施行的，因此关于多项式的整除性的研究，也就是一个多项式能否除尽另一个多项式的研究，在多项式理论中占有重要地位。
本节限于数域上讨论多项式的整除性，其与整数的整除性类似，注意对照学习2、多项式的整除性是多项式之间的一种关系〔等价关系〕，为加深对此概念的理解，需掌握一些特殊多项式〔零多项式，零次多项式〕间的整除关系及整除的性质3、数域上任意两个多项式总有带余除法结论成立，其证法思想是在中学代数中多项式的长除法的运算表示实质的一般化，唯一性用同一法4、证明的思想可从定义、带余除法得到的充要条件以及将分解成两项之和而每一项能被整除，或将别离出作为一个因子来考虑5、整除性不随数域扩大而改变是由带余除法得到的一个非显而易见的结论二、容、重点、要求1、容：一元多项式整除的定义、性质，带余除法2、重点：整除的定义、带余除法定理3、要求：正确理解掌握整除概念、性质，掌握带余除法定理三、教学过程约定：节在数域中讨论多项式，是上一元多项式环1、多项式的整除及性质〔1〕定义1：设假设使得〔1〕则称整除〔除尽〕；用符号表示用符号表示不整除当时，称是的一个因式，是的一个倍式注：〔1〕整除是多项式之间的一种关系，非多项式的运算〔2〕符号“〞不要与“〞混淆，后者是分式，后者中；而前者中由定义，即零多项式整除零多项式〔3〕多项式整除性与整数的整除性非常相似，而不同的是：在多项式整除定义中，只要求存在适合条件〔1〕的，不要求是否唯一，这就使得多项式整除比整数整除有更广的含义，如在多项式整除意义下。
〔2〕性质A〕假设、，则；〔传递性〕B〕假设、，则；C〕假设，则对有；特别，；D〕由B、C假设，则对，有；E〕零次多项式整除任一多项式；F〕对，有；特别；〔1〕本章讨论不涉及分式，有时用表示非零多项式整除所得的商，即假设时，用表示〔2〕因在数域中，一般不绝对唯一〔可差常数因子〕〔3〕整数整除不同G〕假设、，则以上性质由定义容易证明，下面仅证G〕：由条件，使得〔1〕，则有〔2〕假设，由〔1〕得；假设，则由〔2〕及消去律得，于是，从而，；这样是F中非零常数注：1〕由A、F、G知“整除关系〞是一种“等价关系〞；2〕B、C提供了证明的两个思路：一、要证，假设能将表示为，而；二、要证，假设能将表示为而或3〕为理解概念、性质，注意如下问题：A〕〔因对，有〕；B〕零多项式是否整除任意多项式.假设，由A〕；假设，对〔可知零多项式仅能整除零多项式〕C〕任意多项式是否整除零多项式.，使D〕性质B之逆是否成立.即假设，是否且如：〕E〕性质C之逆是否成立.即假设，是否或如：〕2、带余除法引例：中学代数里，用长除法求一个多项式去除另一个多项式得商式及余式即对，求使，其中或如：：作法：今写为：则商式为，余式为有上述过程具体可总结为：第一步：将写成降幂的形式，缺项补0；第二步：消最高次项〔首项〕；为此商，作差，得。
〔第三步：消的首项；为此商，作差，得〔完毕〕〔1〕注意格式，降幂排列，缺项补0由此，一般地可作如下：设，令假设，设，同样消首项，作得，且具有性质：或者或者重复对的讨论，由于，即，，的次数是递减的，而是有限数，因此有限步〔步〕后可得这样一个多项式〔为首项系数〕，而或者这样得一串等式：把这些等式加起来得：，于是有，满足要求〔1〕降幂排列；〔2〕消项：作商，作差〔3〕讨论上述结论表达为：定理〔带余除法〕设，且，则〔1〕使得；〔〕其中或〔2〕满足〔〕式及条件的只有一对〔分析：定理要求满足〔〕式及条件的存在且唯一，上述一般讨论已说明存在性，下重点证唯一性，注意条件，用同一法〕证明：〔1〕存在性：假设或，取便满足〔〕式；假设，由上述讨论可得成立〔2〕唯一性：假设还有使得，且或，上式与〔〕式相减得：假设，则，此时，而，矛盾；因此〔即〕，又，所以，即注：〔1〕定理的证明过程给出了求商式与余式的方法，实质为作长除法的过程〔2〕注意定理唯一性的条件是在或下〔3〕定理的理论意义及作用在下面讨论多项式的整除性及最大公因式时有重大作用注：设；〔1〕；〔2〕除的余式为0事实上：〔1〕由定义及零多项式的特征显然；〔2〕假设由使得，因此。
问题：设是两个数域，且，显然，假设，且〔在〕；问题在是否.〔下答〕推论2。