人教人教2019A版版 选择性必修选择性必修 第三册第三册第八章成对数据的统计分析8.28.2一元线性回归模型及其应用一元线性回归模型及其应用 学习目标1.能通过具体实例说明一元线性回归模型修改的依据与方法.2.通过对具体问题的进一步分析，能将某些非线性回归问题转化为线性回归问题并加以解决，提高数学运算能力.3.能通过实例说明决定系数R2的意义和作用，提高数据分析能力问题导学通过前面的学习我们已经了解到，根据成对样本数据的散点图和样本相关系数，可以推断两个变量是否存在相关关系、是正相关还是负相关，以及线性相关程度的强弱等.如果能像建立函数模型刻画两个变量之间的确定性关系那样，通过建立适当的统计模型刻画两个随机变量的相关关系，那么我们就可以利用这个模型研究两个变量之间的随机关系，并通过模型进行预测.探究探究1:生活经验告诉我们,儿子的身高与父亲的身高相关.一般来说,父亲的身高较高时，儿子的身高通常也较高.为了进一步研究两者之间的关系，有人调查了14名男大学生的身高及其父亲的身高，得到的数据如表所示.问题探究编号1234567891011121314父亲身高/cm174170173169182172180172168166182173164180儿子身高/cm176176170170185176178174170168178172165182可以发现，散点大致分布在一条从左下角到右上角的直线附近，表明儿子身高和父亲身高线性相关.利用统计软件，求得样本相关系数为r0.886，表明儿子身高和父亲身高正线性相关，且相关程度较高。
父亲身高/cm180175170165160160165 170 175 180 185 190儿子身高/cm 185 探究2.根据表中的数据，儿子身高和父亲身高这两个变量之间的关系可以用函数模型刻画吗？问题探究编号1234567891011121314父亲身高/cm174170173169182172180172168166182173164180儿子身高/cm176176170170185176178174170168178172165182表中的数据，存在父亲身高相同而儿子身高不同的情况.例如，第6个和第8个观测父亲的身高均为172cm，而对应的儿子的身高为176cm和174cm；同样在第3，4个观测中，儿子的身高都是170cm，而父亲的身高分别为173cm，169cm.可见儿子的身高不是父亲身高的函数同样父亲的身高也不是儿子身高的函数，所以不能用函数模型来刻画.探究3：从成对样本数据的散点图和样本相关系数可以发现，散点大致分布在一条直线附近表明儿子身高和父亲身高有较强的线性关系.我们可以这样理解，由于有其他因素的存在，使儿子身高和父亲身高有关系但不是函数关系.那么影响儿子身高的其他因素是什么？ 影响儿子身高的因素除父亲的身外，还有母亲的身高、生活的环境、饮食习惯、营养水平、体育锻炼等随机的因素，儿子身高是父亲身高的函数的原因是存在这些随机的因素.探究3：由探究3我们知道，正是因为存在这些随机的因素，使得儿子的身高呈现出随机性各种随机因素都是独立的，有些因素又无法量化.你能否考虑到这些随机因素的作用，用类似于函数的表达式，表示儿子身高与父亲身高的关系吗？问题探究如果用x表示父亲身高，Y表示儿子的身高，用e表示各种其他随机因素影响之和，称e为随机误差，由于儿子身高与父亲身高线性相关，所以Y=bx+a.其中,Y称为因变量或响应变量,x称为自变量或解释变量;a和b为模型的未知参数,a称为截距参数,b称为斜率参数;e是Y与bx+a之间的随机误差,模型中的Y也是随机变量,其值虽然不能由变量x的值确定,但是却能表示为bx+a与e的和(叠加),前一部分由x所确定,后一部分是随机的,如果e=0,那么Y与x之间的关系就可用一元线性函数模型来描述.概念解析问题1.你能结合父亲与儿子身高的实例，说明回归模型的意义？问题探究问题2.你能结合具体实例解释产生模型中随机误差项的原因吗？产生随机误差e的原因有：（1）除父亲身高外,其他可能影响儿子身高的因素,比如母亲身高、生活环境、饮食习惯和锻炼时间等.（2）在测量儿子身高时，由于测量工具、测量精度所产生的测量误差.（3）实际问题中，我们不知道儿子身高和父亲身高的相关关系是什么，可以利用一元线性回归模型来近似这种关系，这种近似关系也是产生随机误差e的原因. 与函数模型不同，回归模型的参数一般是无法精确求出的，只能通过成对样与函数模型不同，回归模型的参数一般是无法精确求出的，只能通过成对样本数据估计这两个参数。
本数据估计这两个参数参数a和b刻画了变量Y与变量x的线性关系，因此通过样本数据估计这两个参数，相当于寻找一条适当的直线，使表示成对样本数据的这些散点在整体上与这条直线最接近.问题3：为了研究两个变量之间的相关关系，我们建立了一元线性回归模型达式刻画的是变量Y与变量x之间的线性相关关系，其中参数a和b未知，我们能否通过样本数据估计参数a和b?问题探究问题4.我们怎样寻找一条“最好”的直线，使得表示成对样本数据的这些散点在整体上与这条直线最“接近”？目标：从成对样本数据出发，用数学的方法刻画“从整体上看，各散点与直线最接近”方法：利用点到直线y=bx+a的“距离”来刻画散点与该直线的接近程度，然后用所有“距离”之和刻画所有样本观测数据与该直线的接近程度.我们设满足一元线性回归模型的两个变量的n对样本数据为(x1,y1),(x2,y2),(xn,yn),由yi=bxi+a+ei（i=1,2,n)，得|yi-(bxi+a)|=|e ei i|.显然|ei|越小，表示点(xi,yi)与点(xi,bxi+a)的“距离”越小，即样本数据点离直线y=bx+a的竖竖直距离直距离越小特别地,当ei=0时,表示点(xi,yi)在这条直线上.因此，可以用 来刻画各样本观测数据与直线y=bx+a的整体接近程度。
在实际应用中,因为绝对值使得计算不方便,所以人们通常用各散点到直线的竖直距离的平方之和来刻画“整体接近程度”残差平方和：残差平方和：求a，b的值,使Q(a,b)最小在上式中,xi,yi(i=1,2,3,n)是已知的成对样本数据,所以Q由a和b所决定,即它是a和b的函数,因为Q还可以表示为即它是随机误差的平方和,这个和当然越小越好,所以我们取使Q达到最小的a和b的值,作为截距和斜率的估计值下面利用成对样本数据求使Q取最小值的a,b.问题探究上式是关于上式是关于b b的二次函数，因此要使的二次函数，因此要使Q Q取得最小值，当且仅当取得最小值，当且仅当b b的取值为的取值为我们将称为Y关于x的经验回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线，这种求经验回归方程的方法叫最小二乘法概念解析问题5：利用下表的数据，依据用最小二乘估计一元线性回归模型参数的公式，求出儿子身高Y关于父亲身高x的经验回归方程通过信息技术，计算求得编号1234567891011121314父亲身高/cm174170173169182172180172168166182173164180儿子身高/cm176176170170185176178174170168178172165182问题探究问题6：当x=176时，,如果一位父亲身高为176cm,他儿子长大后身高一定能长到177cm吗？为什么？概念解析例如,对于右表中的第6个观测,父亲身高为172cm,其儿子身高的观测值为y=176(cm),预测值为96=0.839172+28.957=173.265(cm),残差为176-173.265=2.735(cm).类似地,可以得到其他的残差,如右表所示.问题7：儿子身高与父亲身高的关系，运用残差分析所得的一元线性回归模型的有效性吗？残差图：残差图：作图时纵坐标为残差,横坐标可以选为样本编号，或身高数据，或体重估计值等，这样作出的图形称为残差图观察表可以看到,残差有正有负,残差的绝对值最大是4.413.观察残差的散点图可以发现,残差比较均匀地分布在横轴的两边,说明残差比较符合一元线性回归模型的假定,是均值为0、方差为2的随机变量的观测值.可见,通过观察残差图可以直观判新模型是否满足一元线性回归模型的假设.一般地,建立经验回归方程后,通常需要对模型刻画数据的效果进行分析,借助残差分析还可以对模型进行改进,使我们能根据改进模型作出更符合实际的预测与决策。
概念解析(1)(2)(3)(4)问题8：观察以下四幅残差图，你认为哪一个残差满足一元线性回归模型中对随机误差的假定？问题探究所以，只有图(4）满足一元线性回归模型对随机误差的假设例1.经验表明,对于同一树种,一般树的胸径(树的主干在地面以上1.3m处的直径)越大,树就越高.由于测量树高比测量胸径困难，因此研究人员希望由胸径预测树高.在研究树高与胸径之间的关系时,某林场收集了某种树的一些数据如下表所示,试根据这些数据建立树高关于胸径的经验回归方程.编号123456胸径/cm18.120.122.224.426.028.3树高/m18.819.221.021.022.122.1编号789101112胸径/cm29.632.433.735.738.340.2树高/m22.422.623.024.323.924.7典例解析解: 以胸径为横坐标,树高为纵坐标作散点图如下： 散点大致分布在一条从左下角到右上角的直线附近，表明两个变量线性相关，并且是正相关，因此可以用一元线性回归模型刻画树高与胸径之间的关系.用d表示胸径,h表示树高,根据据最小二乘法,计算可得经验回归方程为编号胸径/cm树高观测值/m树高预测值/m残差/m118.118.819.4-0.6220.119.219.9-0.7322.221.020.40.6424.421.020.90.1526.022.121.30.8628.322.121.90.2729.622.422.20.2832.422.622.9-0.3933.723.023.2-0.21035.724.323.70.61138.323.924.4-0.51240.224.724.9-0.2根据经验回归方程，由胸径的数据可以计算出树高的预测值(精确到0.1)以及相应的残差，如下表所示. 以胸径为横坐标，残差为纵坐标，作残差图，得到下图. 观察残差表和残差图，可以看到残差的绝对值最大是 0.8，所有残差分布在以横轴为对称轴、宽度小于2的带状区域内 .可见经验回归方程较好地刻画了树高与胸径的关系，我们可以根据经验回归方程由胸径预测树高.(1)确定研究对象，明确哪个变量是解释变量，哪个变量是响应变量(2)画出解释变量与响应变量的散点图，观察它们之间的关系(如是否存性关系等)(3)由经验确定回归方程的类型(4)按一定规则（如最小二乘法）估计经验回归方程中的参数.(5)得出结果后需进行线性回归分析.残差平方和越小，模型的拟合效果越好.决定系数R2取值越大，说明模型的拟合效果越好.需要注意的是：若题中给出了检验回归方程是否理想的条件，则根据题意进行分析检验即可.建立线性回归模型的基本步骤：建立线性回归模型的基本步骤：归纳总结编号12345678年份18961912192119301936195619601968记录/s11.8010.6010.4010.3010.2010.1010.009.95例2.人们常将男子短跑100m的高水平运动员称为“百米飞人”.下表给出了1968年之前男子短跑100m世界纪录产生的年份和世界纪录的数据.试依据这些成对数据，建立男子短跑100m世界纪录关于纪录产生年份的经验回归方程。
解：以成对数据中的世界纪录产生年份为横坐标,世界纪录为纵坐标作散点图,得到下图，散点看上去大致分布在一条直线附近，似乎可用一元线性回归模型建立经验回归方程.用Y表示男子短跑100m的世界纪录,t表示纪录产生的年份 ,利用一元线性回归模型来刻画世界纪录和世界纪录产生年份之间的关系 . 根据最小二乘法,由表中的数据得到经验回归方程为：典例解析将经验。