5.1 控制体和系统统 5.2 雷诺输诺输 运定理 5.3 连续连续 性方程 5.4 动动量方程 5.5 角动动量方程 5.6 能量方程 工程实实例第5章 流体动动力学I第5章 流体动力学I教学提示：本章利用雷诺输运公式将质点力学中的质量 守恒定律、动量定理（牛顿第二定律）、能量守恒和 转化定律转化为描述作为连续 介质的流体运动的动 力学规律，从而得到积分形式的流体动力学基本方程 本章的重点是流体动力学的基本方程及其物理意义 教学要求：掌握控制体和系统的基本概念，掌握流体动 力学基本方程的物理意义、适用条件及其应用5.1 控制体和系统在4.1节中我们已经知道，描述流体运动有两种方法，即 拉格朗日法和欧拉法两种方法的主要区别是研究对 象不同，因此将得到同一物理方程的不同数学形式 由拉格朗日法得到的基本方程直接对应质 点力学中的 基本方程，而欧拉形式的基本方程由拉格朗日形式的 基本方程转化得到（见5.2节）为了描述和得到两种 形式的基本方程，本节首先来引出两个概念 — 控制体 和系统 所谓控制体(Control Volume)就是空间的一个特定的区域 控制体的表面称为控制面(Control surface)。
流体不 断穿过控制面流动所谓系统统(System)就是空间上某 一团特定的流体控制体是欧拉法描述流场的研究对象，系统是拉格朗日 法描述流场的研究对象控制体是空间，系统是具有 不变质量的流体控制体和系统之间的关系如图5-1所 示 在本章以下的章节里，控制体的概念将更为重要控制 体可以具有固定不变的形状，比如如图5-2(a) 所示的 喷嘴；也可以改变形状，比如如图5-2(b) 所示的气球 可以是不动的，比如将如图5-2(a) 所示固定在基础 上的喷嘴；也可以是移动的，比如如图5-2(b)所示处 于上升过程的气球在本书的后续章节里，如果不特 殊说明，控制体总认为 是固定不动且不改变形状5.2 雷诺输运定理为了将质点力学中的基本方程转化为以控制体作为研究 对象的基本方程，需要寻求一个转换工具，这个转换 工具就是雷诺输运定理雷诺输诺输 运定理(The Reynolds Transport Theorem)的内容是：系统的某一物理量的 时间变 化率等于控制体内该物理量的时间变 化率与单 位时间内穿过该控制面的该物理量的净通量之和，其 数学表达式如下：下面我们来推导雷诺输运方程 考虑图5-3所示的流体系统通过控制体的情况。
流体系统 在t时刻位于图(a)中封闭虚线所围成的区域故系统 在t时刻所占据的空间正好与所选择的控制体(如图(a) 中封闭实线 所示)重合所以在t时刻系统中的流体正 好是控制体中的流体在t时刻后，流体系统离开了原 来的位置，在 时刻，系统成为图(b)中封闭虚线 所围成的区域，控制体的位置则与t时刻的位置相同， 没有改变5.3 连续性方程根据物质不灭定律，对于流体系统来说，其内部的流体 介质的质量是不变的，即物质守恒但是对于控制体 来说，不断有流体流进流出，其内部的流体介质的质 量是可能变化的那么如何将系统物质守恒的数学表 达式转换为 控制体上的数学表达式？雷诺输运方程为 我们提供了一条捷径 5.3.1连续连续 性方程的推导导若用Msys表示流体系统中的流体的质量，则根据物质守 恒，5.3.2 连续性方程的特殊形式例题题5.3.1 如图5-7所示，不可压缩的水在直径为R的圆直 管道中以稳定层流状态流动在过流断面1-1上速度呈 均匀分布，速度为U；在过流断面2-2上速度以轴线为 旋转轴呈抛物面形分布，管道壁面上速度为零，轴线 上速度最大，为umax试确定U和umax的关系；过流断 面2-2上的平均速度 和umax的关系。
例题题5.3.2 如图5-8所示，自一水龙头向一浴缸充水，水 龙头的流量稳定在0.57 l/s，浴缸的容积近似为长方形 试计算浴缸中水的深度的时间变 化率 解对浴缸中的水来说，本问题为 非稳定流动取浴缸中 的水所占据的空间为控制体，则控制体是变化的根 据物质守恒，单位时间内从水龙头流出的水的质量， 应该等于浴缸中水的质量的增量设即浴缸中水的高 度为h，水的密度为 ， 水龙头的流量为Q，水龙头 的截面积为A，则5.3.3 运动但不变形控制体例题题5.3.3 一旋转式草坪洒水器如图5-9所示，具有两个 喷嘴，水以1000 ml/s的稳定速度流入旋转喷头 ，如果 两支喷嘴的出口截面积均为30mm2，是确定在下列三 种情况下水离开喷嘴的相对速度1) 旋转喷头 静止 ；(2) 旋转喷头 以600rpm转速旋转；(3) 旋转喷头 的转 速由0加速到600rpm5.4 动量方程动量方程适用于解决解决流体与固体之间的相互作用力 的问题，是动量守恒定律在流体力学中的具体应用 5.4.1 惯惯性系中的动动量方程根据动量定理(牛顿第二定律)：系统中流体的动量对时 间的变化率等于作用在该系统上合外力的矢量和，即在工程应用中，积分形式的动量方程通常应用于一维流 动的场合。
对于一维流动，如图5-10所示，我们可以 对式(5-19)进一步简化为此引进动量修正系数 动动 量修正系数(Momentum Correction Factor)是用真实流 速计算的动量和用平均流速计算的流量的比值，即5.4.2 非惯性系中的动量方程方向向右 通过例题5.4.1，我们可以总结利用动量方程求解流体力 学问题的步骤如下： 1、确定控制体 2、对控制体中和控制面上流体的受力进行分析 3、建立所标系 4、判断是否为非惯性系，建立动量方程 5、解方程 6、对于反力，求解后需注意：如果所求反力为负值 ， 说明原假设反力方向相反另外需注意所求的力是否 是反作用力5.5 角动量方程5.5.1 惯惯性系中的角动动量方程角动量方程描述的是作用在流体质点上的合外力矩与流 体质点的角动量之间的关系，如图5-12所示根据角 动量定理，两者应该相等，即5.5.2 非惯性系中的动量方程与5.4节类似，非惯性系中的角动量方程在形式上与惯性 系中的角动量方程是一样的，只不过在合外力矩中应 包含惯性力矩，等号右边的速度应取相对速度，即例题题5.5.1 试根据角动量方程推导水泵的基本方程式水 泵的叶轮如图5-13所示。
解 首先做以下假设：（1）叶轮中的流动为稳 定流动；（2 ）忽略水的粘性；（3）认为水不可压缩；（4）忽略 重力 取图5-13中虚线围成的封闭空间为控制体，各符号的 含义如图5-13所示建立固定于地球上的直角坐标系 为参照系，则此直角坐标系为惯性系根据角动量方 程，可得……式(5-31)中，H为单位重量的水自叶轮中所获得的功率， 称其为水泵的扬程，单位为米，它表示水泵的叶轮能 够将1N的水扬起的高度式(5-31)称其为水泵的欧拉 方程，水泵的欧拉方程是水泵等叶轮机械的基本方程 ，在叶轮机械理论中具有重要地位5.6 能量方程5.6.1 能量方程的推导5.6.2 伯努利方程对于 (5-40) 式，如果进一步增加三个限制条件，则可以进 一步将其简化为代数方程这三个限制条件是：(1)不 可压缩流体，(2)一维流动，(3)沿流线下面推导出这 个代数方程在流场中沿流动方向取一根流管作为控 制体显然在流管的管壁上没有流体的流入和流出，伯努利方程的物理意义和几何意义可归纳如表5-1所示 需要注意，伯努利方程的适用条件是： (1)质量立只有重力； (2)绝热流动； (3)稳定流动； (4)理想流体； (5)系统与外界无轴功的交换； (6)不可压缩流体； (7)一维流动； (8)沿流线（微元流管的极限）。
5.6.3 总流的能量方程在实际应 用中，许多场合我们关心的是总流上某些过流 断面上参数的大小，比如平均流速、压强等的大小 这时我们将问题简 化为一维流动总流问题对于总 流问题，理想流体假设通常不能适用下面从式(5-39) 出发推导总流的能来能量方程为了推导出总流的能 来能量方程，我们首先引进两个概念 1、缓变缓变 流动动 称流线间夹 角很小的流动为缓变缓变 流动动(Gradually varied flow)，反之称为急变变流动动(Rapidly varied flow)引进 缓变流动的原因是因为在缓变流动的过流断面上遵守 类似静力学基本方程的规律，即可以证明在缓变流动 的过流断面上(5-56)式即为实际 流体总流的能量方程(The energy equation for total flows of real fluids )，其各项的物理 意义和几何意义与表5-1相同，唯一的区别是各项的速 度和压强值是总流过流断面上的平均值，z坐标取过 流断面的轴心线坐标 使用实际流体总流的能量方程需要具备以下限制条件： (1)质量立只有重力； (2)绝热流动； (3)稳定流动； (4)不可压缩流体； (5)过流断面应取在缓变流上。
(5-56)式在工程上有广泛的应用，一些应用实例参阅下 节和流动测量一章能量方程中各水头的大小 ，可形象地用途是的形 式来表示，如图5-15所 示在图中沿流线各 位置测压管水头的连 线称为静水头线，表 示沿流动方向静压强 的变化；沿流线各位 置测总水头的连线称 为总水头线，表示沿 流动方向总能量的变 化，很显然理想流体 的总水头线是一条水 平线。