全国高中数学联合竞赛一试（A卷）参照答案及评分原则一、 填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分1. 若正数满足，则值为_________答案：108.解：设，则，，，从而2. 设集合中最大元素与最小元素分别为，，则值为___________答案：解：由知，，当，时，得最大元素，又，当时，得最小元素3. 若函数在上单调递增，则实数取值范畴是________答案：解：在上，单调递增，等价于，即在上，单调递增，等价于，即，因而实数取值范畴是4. 数列满足，，则_____答案：解：由题设记数列前项和为，则因此将上面两式相减，得故5. 正四棱锥P—ABCD中，侧面是边长为1正三角形，M，N分别是边AB，BC中点，则异面直线MN与PC之间距离是____________答案：解：设底面对角线AC，BD交于点O，过点C作直线MN垂线，交MN于点H由于PO是底面垂线，故PO⊥CH，又AC⊥CH，因此CH⊥平面POC，故CH⊥PC因而CH是直线MN与PC公垂线段，又，故异面直线MN与PC之间距离是6. 设椭圆两个焦点是，过点直线与交于点则椭圆短轴与长轴比值为_______答案：解：不妨设，记椭圆长轴，短轴长度分别为，，焦距为，则，且由椭圆定义知，于是设为线段中点，则，且有。
由勾股定理知，即，解得，进而，因而椭圆短轴与长轴比值为7. 设等边三角形ABC内切圆半径为2，圆心为I，若点P满足PI=1，则△APB与△APC面积之比最大值为________答案：解：由PI=1知点P在以I为圆心单位圆K上设，在圆上取一点，使得取到最大值，此时应落在内，且是与圆切点由于，故 ①其中，由知，，于是，因此②依照①、②可知，当时，最大值为8.设A，B，C，D是空间四个不共面点，以概率在每对点之间连一条边，任意两对点之间与否连边是互相独立，则A，B可用（一条边或者若干条边构成）空间折线连接概率为__________答案：解：每对点之间与否连边有2种也许，共有种状况考虑其中A，B可用折线连接状况数1） 有AB边：共种状况2） 无AB边，但有CD边：此时A，B可用折线连接当且仅当A与C，D中至少一点相连，且B与C，D中至少一点相连，这样状况数为3） 无AB边，也无CD边：此时AC，CB相连有种状况，AD，DB相连也有种状况，但其中AC，CB，AD，DB均相连状况重复计了一次，故A，B可用折线连接状况数为以上三类状况数总和为32+9+7=48，故A，B可用折线连接概率为。
二、 解答题：本大题共3小题，共56分解答应写出文字阐明、证明过程或演算环节9.（本题满分16分）平面直角坐标系中，P是不在轴上一种动点，满足条件：过P可作抛物线两条切线，两切点连线与PO垂直设直线与直线PO，轴交点分别为Q，R1） 证明R是一种定点；（2） 求最小值解：（1）设点坐标为，易知记两切点，坐标分别为，，则，方程分别为 ① ②而点坐标同步满足①，②故，坐标均满足方程 ③，故③就是直线方程直线与斜率分别为与，由知，，故 ………4分从而③即为，故与轴交点是定点（2，0） …………8分（2）由于，故直线斜率，直线斜率设，则为锐角，且当时，最小值为 ……………………16分10.（本题满分20分）数列满足，求正整数，使得…解：由已知条件可知，对任意正整数，，且 ①由于，故由①得，，故即 …………………………10分因而，………（运用①）由，得 …………………20分11.（本题满分20分）拟定所有复数，使得对任意复数，均有解：记，则 ①如果存在复数、、，，使得，则由式①知注意到，，故即…………………………10分另一方面，对任意满足复数，令，，其中，则，而，故，，此时将，，代入①可得，，即。
综上所述，符合规定值为 ……………………20分。
