竞赛专题讲座-几个重要定理1.正弦定理 △ ABC中，设外接圆半径为2. 余弦定理 △ ABC中，有关系a2=b2+c2-2bccosA ； a=ccosB+bcosC ；b2=c2+a2-2cacosB ； 有时也用它的等价形式 b=acosC+ccosAc2=a2+b2-2abcosC ； c=acosB+bcosA.3. 梅涅（Menelaus）劳斯定理（梅氏线）ED CE 直线截△ ABC的边BC，CA AB或其延长线于D E、F. 则云豆転T4. 塞瓦定理（Ceva）（塞瓦点）BD CE设0是厶ABC内任意一点，AB BO CO分别交对边于D E、F，则DC EA FB5. 塞瓦定理逆定理在厶ABCE边所在直线BC CA AB上各取一点 D E、F， 氐•瓦「西 若则AD BE CE平行或共点6. 斯特瓦尔特定理在厶 ABC中，若 D是 BC上一点，且 BD=p DC=q AB=c，AC=b 则7. 托勒密（Ptolemy）定理 四边形的两对边乘积之和等于其对角线乘积的充要条件是该四边形内接于一圆 AB 2D • BC • AD = AC・BD的充要条件是ABCD共圆8.西姆松（Simson）定理（西姆松线）从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三角形的 外接圆上例题：1. 设人。
是厶ABC勺边BC上的中线，直线 CF交AD于FAE AF 求证： 2——ED FB【分析】CEF®^ ABD>圧-DC =1 （梅氏定理）ED CB FA【评注】也可以添加辅助线证明：过 A B D之一作CF的平行线2、过厶ABC的重心G的直线分别交 AB AC于 E、F,b 例1 交CB于DoE E + CF _ j求证：二「「一 一 o【分析】连结并延长AG交BC于 M则M为BC的中点BE AG MD_jDEG®^ ABM>— __ （梅氏定理）CF AG MD_jDGF®^ACM>…一二-- （梅氏定理）D B例2CBE CF GM （DB+DC） GM 2MD•••—「［_= 一丄 二一=「；工 二=1D B M3. D E、F分别在△ ABC的BC CA AB边上,_ _ 二— ,AD BE、CF交成△ LMN求Sa lm分析】梅氏定理4.以厶ABC各边为底边向外作相似的等腰△ CG相交于一点BCE △ CAF △ ABG 求证：AE、BF、【分析】塞瓦定理c【评注】梅氏定理5. 已知△ ABC中，/ B=2/ C求证：AC=AB+AB〃 BC【分析】托勒密定理过 A作BC的平行线交△ ABC的外接圆于D,连结BD则CD=DA=ABAC=BD 由托勒密定理，AC〃 BD=A〃 BC+CD AB1 1 1 = + 6. 已知正七边形 AiAAAAAA。
求证：-■.■- j【分析】托勒密定理7.过圆外一点P作圆的两条切线和一条割线，切点为 A, B.所作割线交圆于 C, D 两点，C在P, D之间.在弦CD上取一点Q,.DAQ 二/PBC.求证： DBQ =/PAC.8. △ ABC的BC边上的高AD的延长线交外接圆于 P, 交AC延长线于F求证：BC〃 EF=B〃 CE+B〃 CE【分析】西姆松定理(西姆松线)9.正六边形ABCDE的对角线AC CE分别被内分点CE=k且B、M N共线 23-IMO-5)【分析】面积法M N分成的比为AM AC=CN：AGF也BGF也BGD的面积分别为40, 30，35例1如图，G是厶ABC内一点AG BG CG的延长线分别交对边于 D, E, F,例2，已知AC CE是正六边行ABCDE的两条对角线，点M N分别内分AC, CE 且使如 CN =k如果B, M N三点共线，试求k的值AC CE变式，已知AC, CE是正六边形ABCDE的两条对角线，点M N分别内分AC, CEAM CN 3且使 '，求证：B, M N三点共线AC CE 3例3,如图，过也ABC的三个顶点A, B, C作它的外接圆的切线，分别和 BC, CA AB的延长线交于P, Q, R。
求证：P, Q, R三点共线CC例4设AF, BE, CD分别是 ABC的内角平分线，中线和高，且 AC=b,AB=c,#证：AF, BE, CD三线共点的充要条件是cosA=(b c)例5,在凸四边形 ABCD中, CAB= CAD E和F分别是边CD BC上的点，且 满足.CAF= CAE求证：AC, BE, DF三线共点变式：在四边形ABCD中 ,对角线AC平分N BAD在CD上取一点E , BE与AC相 交于G,延长DG交BC于F求证： FAC= EAC。